確率は測度論を使うべきか？ (215ﾚｽ)
確率は測度論を使うべきか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/
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51: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 07:33:15.75 ID:lZq/h9dU >>45 ナンセンスだな。 「可算無限個の箱にはどれも1〜6しか入れない」 と宣言すればいい。それでも時枝記事の不思議さは失われない。 つまり、時枝記事の不思議さを語る上で、 確率分布は全く本質的ではない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/51
52: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 07:36:54.07 ID:lZq/h9dU >>51の設定で (★) 回答者は当てずっぽうに1つの箱を選んで、 その中身を当てずっぽうに推測する という戦略を取った場合、回答者の勝率は自明に 1/6 である。 ここで重要なのは、 「(★)の戦略だと、1/6 を下回ることはないし、上回ることもない」 ということ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/52
53: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 07:39:07.56 ID:lZq/h9dU 実際、(★)の戦略の場合、回答者が「勝率ゼロ」を目指しても、 そうはいかず、どうしても 1/6 の確率で当たってしまう。 逆に、「勝率 1 」を目指して奮闘しても、 1/6 の上回ることはできない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/53
54: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 07:43:44.87 ID:lZq/h9dU 一方で、時枝記事の戦略は(★)ではなく、 ・ 回答者は i∈{1,2,…,100} を選ぶ。 というものである。そして、この戦略の場合、 時枝記事によれば、回答者の勝率は 99/100 以上になる。 (★)だと 1/6 が限界だったのに、時枝戦略なら 99/100 以上になる。 そこに時枝記事の不思議さがある。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/54
55: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 07:45:07.47 ID:lZq/h9dU このように、箱の中身を1〜6に制限しても、 時枝記事の不思議さは全く失われない。 確率分布は全く本質的ではない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/55
56: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 07:53:11.53 ID:lZq/h9dU つまり、>>51の設定のもとでは、時枝記事は 「回答者の勝率が 1/6 を上回るような戦略は存在するか？」 と聞いていることになる。そして、その答えは「YES」であると。 ここが時枝記事の不思議さであり、 確率分布は全く本質的ではない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/56
59: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 08:36:36.11 ID:lZq/h9dU >>57 ・ 出題者は s = (s1，s2，s3 ，・・・) を出題する。 ・ 回答者は i∈{1,2,…,100} を選ぶ。 回答者の推測が当たるか否かは、(s,i)が決まれば一意的に決まる。 A＝{(s,i)｜回答者の推測は当たる} と置けば、 確率 P(A) を求めればよいことになる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/59
60: １３２人目の素数さん [] 2024/10/21(月) 08:39:23.91 ID:lZq/h9dU s を固定するごとに、A における s の切片 A_s を考える。 つまり A_s＝{ i｜(s,i)∈A } である。 A_s ⊂ {1,2,…,100} であるから、A_s は高々100元の周元集合である。 よって、下記の標準的な確率空間 ・ ({1,2,…,100},pow({1,2,…,100}),η), η({i})＝1/100 において、A_s は可測である。 そして、時枝戦術により、A_s は99元または100元である。 すなわち、η(A_s)≧99/100 である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/60
61: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 08:40:40.21 ID:lZq/h9dU × A_s は高々100元の周元集合である。 〇 A_s は高々100元の有限集合である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/61
62: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 08:46:08.48 ID:lZq/h9dU ・ 求める確率はP(A)である。 ・ s を固定するごとに A_s は可測で、η(A_s)≧ 99/100 である。 ここまでが時枝記事で言っていること。 そして、時枝記事ではこれ以上のことは言ってない。 実際、A は非可測なので、P(A) は定義できない。 だから、もともとのAに関して 「回答者の勝率はゼロ(つまりP(A)＝0)」 は言えないし、 「回答者の勝率は正(つまりP(A)＞0)」 も言えない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/62
63: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 08:52:30.31 ID:lZq/h9dU そして、この議論において、確率分布の問題は本質的ではない。 箱の中に R 全体から実数を選んで格納していくのが もともとの設定だが、R から「等確率に」実数を選ぶ操作は不可能である。 ここだけ見ると、確率分布が問題であるかのように見えてしまうが、 それは本質的ではない。なぜなら、「箱の中身は1〜6のいずれかである」 と宣言すればいいからだ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/63
64: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 08:55:31.21 ID:lZq/h9dU 箱の中身を1〜6に制限しても時枝記事の議論は可能で、この場合は 「回答者の勝率が 1/6 を上回るような戦略は存在するか？」 と聞いていることになる。その答えとしては、 ・ s を固定するごとに A_s は可測で、η(A_s)≧ 99/100 である までは言える。しかし、Aは依然として非可測なので、P(A) は定義できない。 結局、確率分布の話は本質的ではなく、Aの可測性が問題である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/64
69: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 09:43:56.71 ID:lZq/h9dU >>65 ＞iを固定して、A における i の切片 A_i を考える。つまり A_i＝{ s_i｜(s,i)∈A } 。 細かいことだが、A_i＝{ s_i｜(s,i)∈A } ではなく A_i＝{ s｜(s,i)∈A } だろう。 ＞数列の項の値の範囲を[0,1]とすれば、A_i_d＝[0,1] よってA_i_dは可測 これは間違い。A_i_d ⊂ [0,1] ではあるが、ぴったり A_i_d ＝ [0,1] とは限らない。 この場合、以下の標準的な確率空間 ([0,1], ([0,1]内のルベーグ可測集合全体), μ), μ([a,b])＝b−a において、A_i_d は可測とは限らない。非可測のこともあり得る。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/69
70: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 09:51:35.02 ID:lZq/h9dU >>67 これもおかしい。 A_i_d ＝ { s_d } (1点集合) とはならないし、ましてや A_i_d ＝ { s_i_d } (1点集合) ともならない。切片という概念について混乱が見られる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/70
72: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 09:54:35.43 ID:lZq/h9dU >>71 ＞sの第i座標をs_iと表した sではなくs_i s の第i座標を s_i と置いたところで、 i∈{1,2,…,100}を固定したときの、i における A の切片 A_i は A_i＝{ s_i｜(s,i)∈ A } ではなく A_i＝{ s｜(s,i)∈ A } である。やはり、切片という概念について混乱が見られる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/72
75: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 09:59:26.06 ID:lZq/h9dU >>73 間違っている。 任意の集合 X,Y と、任意の集合 A ⊂ X×Y が与えられたとする。 y∈Y を固定したときの、y における A の切片 A_y は、 A_y：＝{ x∈X｜(x,y)∈A } と定義される。 x∈X を固定したときの、x における A の切片 A_x は、 A_x：＝{ y∈Y｜(x,y)∈A } と定義される。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/75
76: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 10:00:31.72 ID:lZq/h9dU 記号の見た目を寄せるために、X,YではなくS,Iで書いてみよう。 任意の集合 S,I と、任意の集合 A ⊂ S×I が与えられたとする。 i∈I を固定したときの、i における A の切片 A_i は、 A_i：＝{ s∈S｜(s,i)∈A } と定義される。 s∈S を固定したときの、s における A の切片 A_s は、 A_s：＝{ i∈I｜(s,i)∈A } と定義される。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/76
78: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 10:04:45.68 ID:lZq/h9dU >>76のように書いた時点で、君の解釈がおかしいことが分かる。 君の解釈では、>76のような一般的な状況下でも A_i＝{ s_i｜(s,i)∈A } と書くことになってしまう。しかし、一般の集合S,Iに対しては、 「s_i」という記号そのものが出てこない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/78
79: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 10:05:27.05 ID:lZq/h9dU ・ Sが実数列の集合で、I＝{1,2,…,100}のときに限っては、 A_i＝{ s_i｜(s,i)∈A } が成り立つのだ なんてことも言えない。依然として A_i＝{ s｜(s,i)∈A } である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/79
82: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 10:09:12.70 ID:lZq/h9dU >>77 ＞i切片ではなく、i & s_1,…,s_i-1,s_i+1,,s_100 切片 ＞d切片ではなく、d & s_i_1,…,s_i_d-1,s_i_d+1,… 切片 やっと間違いを認めたか。君が表現しようとしていた集合は「i切片」ではないよ。 実際、君も今回、「i切片ではなく」と書き直したからね。 結局、切片という概念について混乱していたのは君じゃないか。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/82
84: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 10:31:57.58 ID:lZq/h9dU >>83 たとえば「2024番目の箱」というチョイスを固定して、 「2024番目の箱の中身を毎回推測してみろ」 という設定にするなら、その箱の中身を正の確率で言い当てるのは不可能である。 しかし、時枝記事はこういう設定ではない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/84
85: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 10:35:52.45 ID:lZq/h9dU >>83 時枝記事では、何番目の箱をチョイスするのかは固定しておらず、 それは回答者が決めることである。 そして、何番目をチョイスするのかは、(s,i)に依存して決まる。 ・ある回のゲームでは、回答者は「 2024 番目の箱」をチョイスして、 その箱の中身を推測する ・別の回のゲームでは「 8 番目の箱」をチョイスして、 その箱の中身を推測する といった具合である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/85
93: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 16:50:33.10 ID:lZq/h9dU >>90 小事であることはその通りで、こちらも最初から釘をさしている。 ＞細かいことだが、A_i＝{ s_i｜(s,i)∈A } ではなく A_i＝{ s｜(s,i)∈A } だろう。 ほらね。「細かいことだが」と最初に断りを入れている。 それなのに君は、自分の間違いに気づかずに、 その「小事」に食い下がってきたんだよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/93
94: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 16:51:45.89 ID:lZq/h9dU で、後になって間違いに気づいたから、しれっと訂正して、 自分の振る舞いを棚にあげて「大事を見ず小事にこだわる」 なんて言い出す始末。その小事に関する間違いに気づかずに 食い下がってきてたのが君なんだわ。 いい加減にみっともないよ。 「すまん、間違ってたわ」の一言で終わる話だろ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/94
97: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 17:02:08.09 ID:lZq/h9dU >>96 はあ、みっともない。「すまん、間違ってたわ」 の一言が言えない大人になってはいけない、 という反面教師にはなるね。 ＞賢くなれるよ 君の振る舞いは全然かしこくないよ。 職場で仕事上のミスを指摘されたとき、 開き直って君のような振る舞いをしたら、 君が総スカン食らって終わりだよ。 そんな振る舞いのどこが賢いの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/97
101: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 17:14:36.23 ID:lZq/h9dU >>99 かたくなに「すまん」の一言が言えない大人に なってはいけない、という反面教師にはなるね。 職場でこんな押し問答してたら、君は総スカンだよ。 ＞職場でくだらないミスを指摘する君のような小者上司は確かにいる ＞まあそういう小者にはこういうまで ＞「てへぺろ！」 ほらね、君だってリアルではこんな押し問答はしないわけだろ？ 形だけでも「すまん」に相当する一言は発するわけだろ？ それはつまり、ここでの君の振る舞いが子供じみていることを、 君自身が薄々認めているということでもある。ほんと、みっともないね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/101
107: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 17:40:58.43 ID:lZq/h9dU >>102-104 結局のところ、君だってリアルだと「すまん」の一言を発する。 そうでなければ総スカンを食らってしまう。 そんな社会的なリスクは、君だって背負えない。 では、なぜ君は「総スカンを食らう」と思っているのか？ それは、君の振る舞いが子供じみていることを、 君自身が理解しているからだ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/107
108: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 17:42:33.97 ID:lZq/h9dU しかし、ここでは「すまん」と言わなくても社会的なリスクがない。 子供じみた言動をしても、特にデメリットは生じない。 ゆえに、ここでは君の本性が浮き彫りになる。 君は「すまん」の一言を言えない。それが君の本性。 つっつけば、つっつくほど、君はジタバタ暴れ回って、 子供に戻っていく。 みっともない。ひたすらに、みっともない。 ただそれだけ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/108
119: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 18:00:33.69 ID:lZq/h9dU >>113 Prussの見解については、特に思うところはない。 もともと A＝{(s,i)｜回答者が勝利する} は非可測なんだから、 Aに関して成り立っているべき性質が欠如していても不思議はない。 Pruss の最終的な結論が何だったかは覚えてないが、もし最終的な結論が 「ゆえに勝率はゼロである」 というものであるなら、そこは否定されるべき。 Aは非可測なのでP(A)が定義できず、 勝率はゼロとも言えないし、正とも言えない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/119
134: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 18:24:16.17 ID:lZq/h9dU 時枝記事がまさにこれ。「回答者が勝つ」という事象 A が 非可測のままなのが、ツッコミどころとして残ってしまい、 説得力が弱くなる。一応、 s を固定するごとに、A の s における切片 A_s は可測で、 標準的な確率空間 ({1,2,…,100},pow({1,2,…,100}), η), η({i})＝1/100 において η(A_s)≧99/100 である とは言えるが、もともとの A は非可測のまま。これが物足りない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/134
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