確率は測度論を使うべきか？

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18: １３２人目の素数さん [] 2024/10/18(金) 20:39:33.95 ID:9t5f0/lh

>>16
確率過程論までいかないと
真に確率空間の必要性、すなわち測度論的確率論
の必要性は、分らないと思う

1905年 アインシュタインのブラウン運動の理論が大きな刺激となって
確率過程の数学研究が盛んになり、測度論的確率論がその基礎付けに使われた
抽象的な測度論的確率論だけでは、理解は難しいのでは？

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E9%81%8E%E7%A8%8B
確率過程
数学的な定義
まず、時間のように一次元的なパラメタによって変化する確率変数を考えよう
確率空間 (Ω,F,P)・可測空間 (S, Σ)・全順序集合 T が与えられたとする
時刻 T で添字つけられる状態空間 S に値をとる確率過程 Xt とは
X:Ω×T→S
であり、すべての t ∈ T に対してXt がΩ 上の確率変数となるものである。換言すれば、ある確率空間で定義された確率変数の族
{X(ω,t)|t∈T}が確率過程である
普通、T としては離散時間 T = {1, 2, 3, …} や連続時間 T = [0, ∞) を考え、状態空間 S としてはユークリッド空間
R^d や整数 Z を考える

https://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic_process
Stochastic process

Definitions
Stochastic process
A stochastic process is defined as a collection of random variables defined on a common probability space
(Ω,F,P),

In other words, for a given probability space
(Ω,F,P) and a measurable space
(S,Σ), a stochastic process is a collection of
S-valued random variables, which can be written as:{X(t):t∈T}.
Historically, in many problems from the natural sciences a point
t∈T had the meaning of time, so X(t) is a random variable representing a value observed at time t.
A stochastic process can also be written as
{X(t,ω):t∈T} to reflect that it is actually a function of two variables,t∈T and ω∈Ω.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9%E3%82%A6%E3%83%B3%E9%81%8B%E5%8B%95
ブラウン運動
1905年、アインシュタインにより、熱運動する媒質の分子の不規則な衝突によって引き起こされているという論文が発表された
ブラウン運動の数学的に厳密なモデルとして、ノーバート・ウィーナーの名を冠してウィーナー過程と呼ばれる連続型確率過程がある
1次元ウィーナー過程について述べる
定義
確率空間
(Ω,F,P)
上で定義された連続な確率過程 W(t) で次の性質を満たすものをウィーナー過程という

https://en.wikipedia.org/wiki/Brownian_motion
Brownian motion
Mathematics
Lévy characterisation
The French mathematician Paul Lévy proved the following theorem, which gives a necessary and sufficient condition for a continuous Rn-valued stochastic process X to actually be n-dimensional Brownian motion. Hence, Lévy's condition can actually be used as an alternative definition of Brownian motion.
Let X = (X1, ..., Xn) be a continuous stochastic process on a probability space (Ω, Σ, P) taking values in Rn. Then the following are equivalent:

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/18

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