[過去ﾛｸﾞ] 高校数学の質問スレ Part437 (1002ﾚｽ)
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66(1): 2024/07/19(金)05:49 ID:1inNDuDx(1/9) AAS
>>50
分数解算出
画像ﾘﾝｸ
シミュレーションでの結果に近似しているが、
正しいかどうかに自信がもてないので、東大卒もしくはエリート高校生による検算を希望します。
さて、次の課題
1年を365日として、どの月日に生まれるかの確率は同じとする。
無作為に100人集めたときに誕生日が同じ月日の人が4人以上いる確率を求めよ。
（同じ誕生月日の人が4人以上いてもよい、それが複数組いてもよい）。
67(2): 2024/07/19(金)05:56 ID:1inNDuDx(2/9) AAS
検証のための演習問題
1年を365日として、どの月日に生まれるかの確率は同じとする。
（１）無作為に100人集めたときに誕生日が同じ月日の人が3人以上いる確率を分数でもとめよ。
（同じ誕生月日の人が３人以上いてもよい、それが複数組いてもよい）。
（２）（１）の値をシミュレーションにて検証せよ。
68(1): 2024/07/19(金)06:20 ID:1inNDuDx(3/9) AAS
>>67
朝めし前に実験
画像ﾘﾝｸ
記載した関数でよさげ。
83(1): 2024/07/19(金)14:36 ID:1inNDuDx(4/9) AAS
>>66
(*
1年を365日として、どの月日に生まれるかの確率は同じとする。
無作為に100人集めたときに誕生日が同じ月日の人が4人以上いる確率を分数で求めよ。
（同じ誕生月日の人が4人以上いてもよい、それが複数組いてもよい）。
*)
まず、シミュレーションで近似値を算出
Wolfram Language 14.0.0 Engine for Microsoft Windows (64-bit)
Copyright 1988-2023 Wolfram Research, Inc.
In[1]:= n=100;
In[2]:= c=365;
In[3]:= m=4;
In[4]:= k=10^6;
In[5]:=
In[5]:= N@Mean@Table[Boole@AnyTrue[Counts@RandomChoice[Range[c],n],#>=m&],k]
Out[5]= 0.063564
84(1): 2024/07/19(金)14:43 ID:1inNDuDx(5/9) AAS
>>67
(*
1年を365日として、どの月日に生まれるかの確率は同じとする。
無作為に100人集めたときに誕生日が同じ月日の人が4人以上いる確率を求めよ。
（同じ誕生月日の人が4人以上いてもよい、それが複数組いてもよい）。
*)
分数解算出（東大卒やエリート高校生による検算を希望します。）
Wolfram Language 14.0.0 Engine for Microsoft Windows (64-bit)
Copyright 1988-2023 Wolfram Research, Inc.
In[1]:= n=100;
In[2]:= c=365;
In[3]:= f2p[n_] := 1- Product[i/c,{i,c-n+1,c}]
In[4]:= fp3[n_] := f2p[n] - Sum[Binomial[c,j]Binomial[c-j,n-2j]n!/2!^j/c^n,{j,1,n/2}]
In[5]:= xyz={x,y,z} /. Solve[3x+2y+z==n && x>0 && y>=0 && z>=0,{x,y,z},Integers];
In[6]:= f[xyz_]:=(
{x,y,z}=xyz;
Binomial[c,x]Binomial[c-x,y]Binomial[c-x-y,z]n!/(3!^x 2!^y c^n)
)
In[7]:= fp3[n] - Total[f/@ xyz]
Out[7]= 67870466312626446713747697727978191774447916852065608350428117602214935104994907122948596990009\
> 6036895257893377921789273072154888497062568193349810394771314033470450505573121696667515422272436\
> 885892826025288870770744858052115188710509 /
> 10675558801540490113614505568967757056000643599161580678983105009840387607783626125880337139632164\
> 9760968554169551574837825872579970886526463636741252576368864064734050742178787272777248875435225\
> 98598588757567995344288647174835205078125
In[8]:=
In[8]:=
In[8]:= % // N
Out[8]= 0.0635756
86: 2024/07/19(金)15:04 ID:1inNDuDx(6/9) AAS
100万回シミュレーションして検証
Wolfram Language 14.0.0 Engine for Microsoft Windows (64-bit)
Copyright 1988-2023 Wolfram Research, Inc.
In[1]:= n=100;
In[2]:= c=365;
In[3]:= m=4;
In[4]:= k=10^6;
In[5]:=
In[5]:= N@Mean@Table[Boole@AnyTrue[Counts@RandomChoice[Range[c],n],#>=m&],k]
Out[5]= 0.063569
In[6]:=
よさげ。
87: 2024/07/19(金)15:11 ID:1inNDuDx(7/9) AAS
>>80
想定解合致。
f2p[n_,c_:365] := 1- Product[i/c,{i,c-n+1,c}]
fp3[n_,c_:365] := f2p[n,c] - Sum[Binomial[c,j]Binomial[c-j,n-2j]n!/2^j/c^n,{j,1,n/2}]
N[fp3 /@ {87,88},10]
{0.4994548506, 0.5110651106}
88で0.5を越えます。
88: 2024/07/19(金)15:12 ID:1inNDuDx(8/9) AAS
>84が完成したので次の課題。
1年を365日として、どの月日に生まれるかの確率は同じとする。
何人以上集めたときに誕生日が同じ月日の人が4人以上いる確率が0.5を超えるかを計算せよ。
93(2): 2024/07/19(金)18:02 ID:1inNDuDx(9/9) AAS
あとは芋づる式に立式すればいいので次のような計算も可能になる。
まあ、プログラムが正しければだが。
1年を365日としてどの月日に生まれる確率も等しいとする。
何人かを集めて、同じ月日に生まれた人が5人以上いる確率を95%以上にしたい。
（１）何人以上集めればよいか。
（２）条件をみたす最小人数のときの確率を分数で示せ。
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