高校数学の質問スレ Part437

[過去ﾛｸﾞ] 高校数学の質問スレ Part437 (1002ﾚｽ)
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997: １３２人目の素数さん [sage] 2024/08/10(土) 03:11:54.23 ID:v/1JeHxr

立方体の回転対称性を理解するためには、「固定する面を上にする」という概念を正確に理解する必要があります。この固定とは、立方体を回転させたときに、その回転の結果が異なるかどうかを判定するための手法です。以下で、この考え方を詳細に説明します。

【固定する面を上にするとは？】
「上に固定する」というのは、立方体の回転を理解するための便宜的な概念です。この場合、「上」というのは、立方体を回転させたときに、1つの面を特定の方向（例えば天井方向）に固定することを意味します。

具体的には、以下のような操作を考えます：

1. 立方体を持っていて、どの面を上にするか（固定する面）を決めます。立方体には6つの面があるので、6通りの選択肢があります。

2. その固定した面を基準にして、立方体をさらに回転させます。この回転は、固定した面を中心にして水平に90度、180度、270度回転させることが可能です。

この「固定する面を上にする」という操作は、立方体の回転対称性を分類するために行います。この操作により、全ての回転を網羅的に検討できます。

【向かい合う面と回転軸の関係】
向かい合う面が回転軸に対して同じ役割を果たすため、一方の面を固定した場合、もう一方の面も回転によって対応することになります。これは、同じ回転軸を共有しているためです。
ただし、立方体全体の回転対称性を網羅するためには、全ての6面について「上に固定」する操作を行う必要があります。なぜなら、どの面が上に来るかによって、その後の回転による配置の結果が異なる可能性があるためです。

【なぜ6面全てを回転させるのか】
6面全てを回転させる理由は、立方体の全ての対称性を網羅するためです。

・6面をそれぞれ固定する：
6つの面それぞれを上に固定して、その状態での回転を考慮します。

・各面の周りでの回転：
それぞれの面を上に固定した場合に、さらにその面を中心にして4通り（0度、90度、180度、270度）の回転が可能です。

この組み合わせを全て考慮すると、次のように計算できます：
6 × 4 = 24
これは、立方体の全ての対称性をカバーするために必要な回転の総数です。

続く

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721071007/997

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