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802(1): 04/05(土)13:29 ID:IOmqT4V+(1/3) AAS
{x_n} を実数列とします。集合 {x_1, x_2, …} は無限集合であるとします。{x_1, x_2, …} は唯一の集積点 x をもつとします。 {x_n} の部分列 {x_m(n)} で x に収束するようなものがあるとします。このとき、 {x_n} は x に収束することを証明してください。
803(1): 04/05(土)17:12 ID:IOmqT4V+(2/3) AAS
{a_n} に同じ数が無数に含まれることがなければ、 {a_n} が a に収束することは、 S が有界で a が S の唯一の集積点であることと同等である。
解析概論に書かれているこの注意を証明して下さい。
807(1): 04/05(土)20:01 ID:IOmqT4V+(3/3) AAS
>>803
S := {a_1, a_2, …} とする。
{a_n} に同じ数が無数に含まれることがなければ、 {a_n} が a に収束することは、 S が有界で a が S の唯一の集積点であることと同等である。
{a_n} が a に収束するとする。
収束する点列は有界だから、 S = {a_1, a_2, …} は有界である。
S に a 以外の集積点 b があるとする。
容易にわかるように、 b に収束する {a_n} の部分列が存在する。
a に収束する点列 {a_n} の部分列は、 a に収束するからこれは矛盾である。
よって、 S の集積点は a しかない。
逆に、 S が有界で a が S の唯一の集積点であるとする。
{a_n} が a に収束しないと仮定する。
すると、正の実数 ε で、 無数の自然数 n に対して、 x_n ∈ B(a, ε) でないようなものが存在する。
x_n ∈ B(a, ε) でないような自然数を小さい順にならべた列を m_1, m_2, … とする。
{a_n} には同じ数が無数に含まれることはないから、 {a_{m_1}, a_{m_2}, …} は無限集合である。
{a_{m_1}, a_{m_2}, …} ⊂ S で、 S は有界集合であるから、有名な定理によって、 {a_{m_1}, a_{m_2}, …} には集積点 b が存在する。
B(a, ε) の補集合 C は閉集合であり、 {a_{m_1}, a_{m_2}, …} ⊂ C だから、 b ∈ C である。
よって、 a ≠ b である。
b は S = {a_1, a_2, …} の集積点でもあるから、これは矛盾である。
よって、 {a_n} は a に収束する。
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