分からない問題はここに書いてね 472 (993ﾚｽ)
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抽出解除 必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) 自ID ﾚｽ栞 あぼーん

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28(1): 2024/04/16(火)15:55 ID:02gDREfj(1/2) AAS
〔問題104〕
　∫[0,π/2] sin(x)/(1+√sin(2x)) dx
を求めよ。

　高校数学の質問スレ_Part434−104,117

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29: 2024/04/16(火)15:58 ID:02gDREfj(2/2) AAS
x ⇔ π/2−x　の対称性から
(与式)
　= (1/2)∫[0,π/2] (sin(x)+cos(x))/(1+√sin(2x)) dx
　= ∫[0,π/4] (sin(x)+cos(x))/(1+√sin(2x)) dx
ここで
　cos(x)−sin(x) = sin(t),
　−(sin(x)+cos(x)) dx = cos(t) dt,
とおく。
(与式) = ∫[0,π/2] cos(t)/(1+cos(t)) dt
　= ∫[0,π/2] {1−1/(1+cos(t))} dt
　= ∫[0,π/2] {1−1/[2cos(t/2)^2]} dt
　= [ t−tan(t/2) ](0→π/2)
　= π/2 − 1.

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