[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ5 (1002ﾚｽ)
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24(2): 2023/07/01(土)10:23 ID:ST8m23Be(5/12) AAS
前スレより
2chｽﾚ:math
無限次元空間の測度 上 拡張定理 (紀伊國屋数学叢書 13) 単行本 – 1978/5/1
山崎泰郎 (著)
2chｽﾚ:math
・例えば、時枝記事 2chｽﾚ:math
後半「このふしぎな戦略を反省してみよう.
・同「R^N/～ の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている.その結果R^N →R^N/～の切断は非可測になる.ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系，1905年)にそっくりである」
ここ、そもそもR^Nには、そのままでは計量が入らないから、可測 or 非可測以前に問題がある
「有名なヴィタリの非可測集合の例(Q/Z)そっくり」というけれど
なにがどう”そっくり”なのか？
数列のしっぽの同値類という以外は、全く別ものでしょ？
(引用終り)
１）”ここ、そもそもR^Nには、そのままでは計量が入らないから、可測 or 非可測以前に問題がある”
を補足する
「有名なヴィタリの非可測集合の例(Q/Z)」は、1次元R^1にルベーグ測度(長さ)を入れた話
同様に、2次元R^2なら面積、3次元R^3なら体積、4次元R^4なら超体積・・となる
では、無限次元R^Nではどうか？
素朴に超体積r^Nを考える（一辺がrの超立方体）
0<=r<1 では、r^N＝0
1<r では、r^N＝∞ （r＝1のみr^N＝1）
つまり、有限次元で使える素朴なルベーグ測度の超体積の考えは
R^Nでは使えない
２）距離も同様で、例えばs∞ = (s1，s2，s3 ，・・，sm,・・・)∈R^N(無限次元)>>19
距離：二乗和の平方L=√(Σsm^2) で考えると、∀sm＝r (0＜ｒ)ではL→∞に発散する
（普通は、ヒルベルト空間(下記)のように一工夫必要で、そこのツッコミが上記”山崎”なのでしょうね）
３）なので、時枝さん「R^Nでしっぽの同値類を考えたら、ヴィタリR^1の非可測集合そっくり」は、飛躍ありまくりでしょ！ｗ
（もちろん、R^Nのしっぽの同値類や、その代表の集合が可測になるとは思わないが）
つづく
25(2): 2023/07/01(土)10:24 ID:ST8m23Be(6/12) AAS
>>24
つづき
追伸
・ついでに”選択公理や非可測集合を経由したからお手つき”（時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）「箱入り無数目」より）
もへんｗ
・例えば、下記ヴィタリで、π/4⊂区間[0,1]を考える。π/4∈V とできるよ
時枝流ならば、「（ある人が）π/4∈V としたから、”非可測集合を経由したからお手つき”だ！」となるが、”お手つき”ってｗｗ
（π/4が”お手つき”はヘン）
・時枝記事で使うのは、100個数列の同値類とその代表だから、π/4の話と同じでしょ
（そもそも、繰り返すが、無限次元R^Nの測度の処理が問題）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ヴィタリ集合
可測集合
集合には '長さ' や '重さ' が定まるものがある。例えば、区間 [0, 1]は長さ1を持つと思われる。; もっと一般的に、区間[a, b] (a <= b) は長さ b - a を持つと思われる。
構成と証明
有理数体 Q は実数体 R の普通の加法についての部分群を成す。なので加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている。この群の任意の元はある r ∈ R についての Q + r として書ける。
略
これは不可能である。一つの定数の無限和は 0 であるか無限大に発散するので、いずれにせよ [1, 3] の中には入らない。すなわち V は可測ではない。つまりルベーグ測度 λ はいかなる値も λ(V) の値として定義できない[3][4]。
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ヒルベルト空間
(引用終り)
以上
35: 2023/07/01(土)11:32 ID:uNBgRQTB(7/39) AAS
>>24
可測とか計量とかいう以前に、１は
>>13の我流挟み撃ちが全然誤りだという
>>33の指摘を百遍読み直せ
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