[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ5 (1002ﾚｽ)
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19(3): 2023/07/01(土)08:30 ID:ST8m23Be(2/12) AAS
>>15-16
ありがとう
スレ主です
>目からウロコがはがれるとはこのことかと思った
おサル 2chｽﾚ:math
よろこべ
褒められたよ
N大某ゼミなら良い点もらえそうだｗ
>X⊂Y の定義知ってる？
>x∈X ⇒ x∈Y ね
えーと
s = (s1，s2，s3 ，・・，sm)∈R^m(有限m次元 ∀m∈N)
↓
s∞ = (s1，s2，s3 ，・・，sm,・・・)∈R^N(無限次元)
これで分からなければ
s = (s1，s2，s3 ，・・，sm, 0,0,0,・・)
と、smより後ろは全て0が入っていると見なせば良いんじゃね？＊）
よって、R^m ⊂ R^N
注＊）
・これは、数学ではよく使う”手筋"ｗだね
・例えば、下記の多項式環 vs 形式的冪級数環の議論みたいなもの
・(s1，s2，s3 ，・・，sm)を、多項式とみて、f(x)=s1+s2x+s3x^2 +・・+smx^m と考えれば
これは形式的冪級数で、m+1次より大きな項の係数がすべて0 に置き換える議論と同じだ
多項式環⊂形式的冪級数環 だ
・なお、幾何学的にユークリッド空間において
素朴に”ｎ次元⊂ｎ+1次元⊂無限次元”であることを
いつものように（面倒くさく）形式論理に乗せる手筋でもあるだろう
(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
多項式環
注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと -つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 pk がすべて零であるということ- は、暗黙の了解である。多項式の次数とは X k の係数が零でないような最大の k のことである。
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
形式的冪級数
形式的冪級数（英: formal power series）とは、（形式的）多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。
形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。
20(1): 2023/07/01(土)08:50 ID:7xC/1QFF(4/7) AAS
>>19
>s = (s1，s2，s3 ，・・，sm, 0,0,0,・・)
>と、smより後ろは全て0が入っていると見なせば良いんじゃね？＊）
(s1，s2，s3 ，・・，sm) と (s1，s2，s3 ，・・，sm, 0,0,0,・・) が全く違うものであることは理解できる？
箱入り無数目の同値関係で「数列とその代表列はほとんどすべての項が一致している」という命題が前者は偽、後者は真。
で
>まず lim[m→∞]R^m の定義を書き、それが R^N と等しいことを示せ
はどうなった？
24(2): 2023/07/01(土)10:23 ID:ST8m23Be(5/12) AAS
前スレより
2chｽﾚ:math
無限次元空間の測度 上 拡張定理 (紀伊國屋数学叢書 13) 単行本 – 1978/5/1
山崎泰郎 (著)
2chｽﾚ:math
・例えば、時枝記事 2chｽﾚ:math
後半「このふしぎな戦略を反省してみよう.
・同「R^N/～ の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている.その結果R^N →R^N/～の切断は非可測になる.ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系，1905年)にそっくりである」
ここ、そもそもR^Nには、そのままでは計量が入らないから、可測 or 非可測以前に問題がある
「有名なヴィタリの非可測集合の例(Q/Z)そっくり」というけれど
なにがどう”そっくり”なのか？
数列のしっぽの同値類という以外は、全く別ものでしょ？
(引用終り)
１）”ここ、そもそもR^Nには、そのままでは計量が入らないから、可測 or 非可測以前に問題がある”
を補足する
「有名なヴィタリの非可測集合の例(Q/Z)」は、1次元R^1にルベーグ測度(長さ)を入れた話
同様に、2次元R^2なら面積、3次元R^3なら体積、4次元R^4なら超体積・・となる
では、無限次元R^Nではどうか？
素朴に超体積r^Nを考える（一辺がrの超立方体）
0<=r<1 では、r^N＝0
1<r では、r^N＝∞ （r＝1のみr^N＝1）
つまり、有限次元で使える素朴なルベーグ測度の超体積の考えは
R^Nでは使えない
２）距離も同様で、例えばs∞ = (s1，s2，s3 ，・・，sm,・・・)∈R^N(無限次元)>>19
距離：二乗和の平方L=√(Σsm^2) で考えると、∀sm＝r (0＜ｒ)ではL→∞に発散する
（普通は、ヒルベルト空間(下記)のように一工夫必要で、そこのツッコミが上記”山崎”なのでしょうね）
３）なので、時枝さん「R^Nでしっぽの同値類を考えたら、ヴィタリR^1の非可測集合そっくり」は、飛躍ありまくりでしょ！ｗ
（もちろん、R^Nのしっぽの同値類や、その代表の集合が可測になるとは思わないが）
つづく
31: 2023/07/01(土)11:15 ID:uNBgRQTB(3/39) AAS
>>19
Ｏ沢氏は、別に「箱入り無数目」が数学として間違ってるなんて言ってないけどな
１はなぜか有限列と無限列を
多項式と形式的ベキ級数と
言い換える悪癖があるが
ここでは代数構造は一切使ってないから
多項式とか形式的ベキ級数とか
一切考える必要がない
で、無限列集合の中の任意長有限列集合とは
「全部の項が０の数列と、尻尾同値な数列の全体」
である
逆にいうと
「全部の項が０の数列と同値で
無限個の項に非０の要素が入るものは存在しない」
つまり
「（架空の）最後の項だけに０が入り
それ以外の無限個ある全ての項が
非０であるような列」
なんてものは存在しない
手筋だかなんだか知らんが
こんな初歩で間違ったら
数学屋だけでなく物理屋にも
いや工学屋からも馬鹿にされるぞ
さすが大学にも入れん高校中退の中卒ってな
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