ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ5

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ5 (1002ﾚｽ)
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19: １３２人目の素数さん [] 2023/07/01(土) 08:30:21.31 ID:ST8m23Be

>>15-16
ありがとう
スレ主です

>目からウロコがはがれるとはこのことかと思った

おサル https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1674527723/5
よろこべ
褒められたよ
N大某ゼミなら良い点もらえそうだｗ

>X⊂Y の定義知ってる？
>x∈X ⇒ x∈Y ね

えーと
s = (s1，s2，s3 ，・・，sm)∈R^m(有限m次元 ∀m∈N)
　↓
s∞ = (s1，s2，s3 ，・・，sm,・・・)∈R^N(無限次元)

これで分からなければ
s = (s1，s2，s3 ，・・，sm, 0,0,0,・・)
と、smより後ろは全て0が入っていると見なせば良いんじゃね？＊）
よって、R^m ⊂ R^N

注＊）
・これは、数学ではよく使う”手筋"ｗだね
・例えば、下記の多項式環 vs 形式的冪級数環の議論みたいなもの
・(s1，s2，s3 ，・・，sm)を、多項式とみて、f(x)=s1+s2x+s3x^2 +・・+smx^m と考えれば
　これは形式的冪級数で、m+1次より大きな項の係数がすべて0 に置き換える議論と同じだ
　多項式環⊂形式的冪級数環 だ
・なお、幾何学的にユークリッド空間において
　素朴に”ｎ次元⊂ｎ+1次元⊂無限次元”であることを
　いつものように（面倒くさく）形式論理に乗せる手筋でもあるだろう

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0
多項式環
注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと -つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 pk がすべて零であるということ- は、暗黙の了解である。多項式の次数とは X k の係数が零でないような最大の k のことである。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
形式的冪級数
形式的冪級数（英: formal power series）とは、（形式的）多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。
形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1687778456/19

24: １３２人目の素数さん [] 2023/07/01(土) 10:23:45.29 ID:ST8m23Be

前スレより
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1683585829/990
無限次元空間の測度 上 拡張定理 (紀伊國屋数学叢書 13) 単行本 – 1978/5/1
山崎泰郎 (著)
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1683585829/956
・例えば、時枝記事 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1674744315/1
　後半「このふしぎな戦略を反省してみよう.
・同「R^N/～ の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている.その結果R^N →R^N/～の切断は非可測になる.ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系，1905年)にそっくりである」
　ここ、そもそもR^Nには、そのままでは計量が入らないから、可測 or 非可測以前に問題がある
　「有名なヴィタリの非可測集合の例(Q/Z)そっくり」というけれど
　なにがどう”そっくり”なのか？
　数列のしっぽの同値類という以外は、全く別ものでしょ？
(引用終り)

１）”ここ、そもそもR^Nには、そのままでは計量が入らないから、可測 or 非可測以前に問題がある”
　を補足する
　「有名なヴィタリの非可測集合の例(Q/Z)」は、1次元R^1にルベーグ測度(長さ)を入れた話
　同様に、2次元R^2なら面積、3次元R^3なら体積、4次元R^4なら超体積・・となる
　では、無限次元R^Nではどうか？
　素朴に超体積r^Nを考える（一辺がrの超立方体）
　0<=r<1 では、r^N＝0
　1<r では、r^N＝∞ （r＝1のみr^N＝1）
　つまり、有限次元で使える素朴なルベーグ測度の超体積の考えは
　R^Nでは使えない
２）距離も同様で、例えばs∞ = (s1，s2，s3 ，・・，sm,・・・)∈R^N(無限次元)>>19
　距離：二乗和の平方L=√(Σsm^2) で考えると、∀sm＝r (0＜ｒ)ではL→∞に発散する
（普通は、ヒルベルト空間(下記)のように一工夫必要で、そこのツッコミが上記”山崎”なのでしょうね）
３）なので、時枝さん「R^Nでしっぽの同値類を考えたら、ヴィタリR^1の非可測集合そっくり」は、飛躍ありまくりでしょ！ｗ
　（もちろん、R^Nのしっぽの同値類や、その代表の集合が可測になるとは思わないが）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1687778456/24

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