[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）13 (1002ﾚｽ)
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600(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/07/21(金)16:19 ID:L/LQf6Gh(1/6) AAS
>>591
>「箱入り無数目」の決定番号を潰す話を、あとで書こうと思う
スレ主です
＜「箱入り無数目」の決定番号を潰す話＞
１）決定番号については、下記をご参照
2chｽﾚ:math
２）記号を整備しよう
有限長さnの数列：sn = (s1，s2，s3 ，・・，sn)
可算有限長さの数列：sN = (s1，s2，s3 ，・・・)
可算有限長さ一点コンパクト化の数列：sN+ = (s1，s2，s3 ，・・・，sω)
３）集合の包含記号を濫用して
sn ⊂ sN ⊂ sN+ とできることは見やすい
（勿論、sn-1 ⊂ sn も成り立つ）
４）いま、snの極限を考えよう。nが下記のリーマン球面で、北極点に到達するとして
lim n→ω sn＝sN+ となる
可算有限長さの数列 sN = (s1，s2，s3 ，・・・)は、一点コンパクト化の数列 sN+からsωを除いたものになる
５）「確率測度は？」（そら耳かも知れないが、ゼミの先生が言ったような気がしたｗ）
いま、箱 s1，s2，s3 ，・・・，sωたちは、確率論の意味で独立と仮定する
（独立の定義は、一般の確率論の本の通り。また、いまの議論では独立の場合を扱えば十分）
独立の仮定より 確率測度は 1次元空間 si∈R i∈{1，2，3 ，・・・，sω}=N∪ω
を考えれば良いことになる
いま、確率測度を考えるために、簡単に区間[0,1]に限定して考える
（R全体を考えるのは、確率測度としては発散が入り、不都合）
（なお、区間[0,1]の実数→コイントスなら{0.1}、サイコロなら{1,2,3・・6}、確率pで{1,2,3・・1/p}(但し1/pは自然数)など、適宜に換えればよい
また、区間[0,1]の実数の場合の1点的中は、p＝0である（区間[0,1]のルベーグ測度による確率測度から従う））
つづく
601(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/07/21(金)16:22 ID:L/LQf6Gh(2/6) AAS
>>600
つづき
６）一つの箱に確率pで数が入れられるとする。また、一つの同値類内で考える
lemma 1：有限長さnの数列 snで、決定番号n-1以下の確率p、nの確率1-p
証明：決定番号n-1以下の場合、n-1番目が一致しているべきで確率p、nの確率は余事象で1-p
lemma 2：確率p＝0で、有限長さnの数列 snで、決定番号n-1以下の確率0、nの確率1
証明：lemma 1で、p＝0とすればよい
lemma 3：確率p＝0で、可算有限長さ一点コンパクト化の数列 sN+において、決定番号ωの確率1、ω未満(つまり有限n)の確率0
証明：lemma 2において、上記４）のlim n→ω sn＝sN+ を適用すればよい
lemma 4：確率p＝0で、可算有限長さの数列 sN = (s1，s2，s3 ，・・・)において、決定番号ω未満(つまり有限n)の確率0
証明：lemma 3で、sN+からωを除いて、数列 sNとして適用すればよい
７）つまり lemma 4より、「箱入り無数目」のp＝0での決定番号が有限nの確率0が導かれる
この傍証として、決定番号が有限nとは、n番目より以降の無限の箱の数が一致する確率であり p^∞＝0となると考えることができることを付言しておく
（なお、可算有限長さの数列 sN における決定番号の確率の和は、1にならない
詳しくは、2chｽﾚ:math 非正則事前分布を見よ）
８）結論として、「箱入り無数目」の想定している有限の決定番号{d1,d2,・・d100}などは
p＝0で確率0の事象であり、仮に99/100が得られても、(99/100)*0＝0であり
「箱入り無数目」の決定番号を使った確率計算は、無意味である QED
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
コンパクト化
一点コンパクト化の例
自然数全体（離散位相）Nの一点コンパクト化は Nに最大元ω を付け加えた順序集合N∪ω の順序位相と同相になる
（下記のリーマン球面の自然数部分＋北極点）
画像ﾘﾝｸ
複素平面の一点コンパクト化。複素数 A を埋め込み写像P により球面（リーマン球面と呼ばれる）の上の一点 α に写す。図でP (∞)と書かれている部分が無限遠点である
(引用終り)
604: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/07/21(金)16:48 ID:L/LQf6Gh(3/6) AAS
>>600 補足
ツッコミがある前に
（R全体を考えるのは、確率測度としては発散が入り、不都合）
↓
（R全体の一様分布を考えるのは、確率測度としては発散が入り、不都合）
追伸
ガウス分布（正規分布）のように、無限大で早く減衰する分布ならば
R全体を考えることは可
（L^2の手法も似た思想ですかね？ｗ）
612(4): 2023/07/21(金)20:55 ID:Dpf9+zTy(2/6) AAS
>>600-601
スレ主です
＜「箱入り無数目」の決定番号を潰す話＞
に加えて
＜開けた箱と 開けていない箱の比較の話＞
をしよう
これが、時枝「箱入り無数目」のトリックの一つ
これを、以下説明する
１）いま、二人が居て、箱が一つずつ計二つ
これを、AとBとしよう
いま、サイコロの目を入れる
大きい数の人が勝ち（同数は引き分け）
同時に開けるならば、勝ち負けの確率は1/2だ
しかし、Aの箱を開けて1だったら？ 引き分け以上は望めない
一方、Aの箱を開けて6だったら？ 負けはない
平均の3だったら？ 勝ち負け半々だ
２）さて、いま上記は数の範囲に制限があり、平均値3の話です
ところが、決定番号には上限がなく、平均値も∞に発散している
いま仮に、決定番号が、自然数Nの一様な分布だとしよう
Aの箱を開けて有限のｍだったら？ 平均値が∞に発散しているのだから、まず勝てない
（Bの箱は未開封で、有限のｍより大きいと予想されるから）
３）つまり、決定番号のように上限がなく、平均値も∞に発散している場合
Aの箱を開けて有限のｍを得たら、Bは平均値も∞に発散しているのだから
未開封のBの箱の数は、ｍより大と予想され、Aは勝てないという予想になる
これは一見おかしな話に見えるが、その原因は、
”決定番号のように上限がなく、平均値も∞に発散している”数との大小比較を問題にしているからである
つまり、分かっている数ｍ（有限）と、”上限がなく、平均値も∞に発散している”分布の数との比較をすることから来るトリックなのです
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