純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）13

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523(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/07/19(水)12:01 ID:nRDluDzX(1/11) AAS
>>522
スレ主です

> ３）なぜ、”ハマリ”か？

ここは>>498 以下に書いたので、いま書いても屋上屋
なので>>531の
”2列でね（実は、過去2016年ころにもプロらしい人が来て2列の議論をして行った）”
について、下記をば引用する

（参考）
純粋・応用数学(含むガロア理論)8 2chｽﾚ:math
525 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/27
確率論の専門家さんが来訪したときの記録を下記に引用する
彼は、二つの指摘をしていった
１）下記の519と522で、「それの証明ってあるかな？ 100個中99個だから99/100としか言ってるようにしか見えないけど」
　「二列で考えると、P(h(Y)>h(Z))=1/2であれば嬉しい．hが可測関数ならばこの主張は正しいが，hが可測かどうか分からないのでこの部分が非自明」
　と指摘している。つまり、時枝記事を成り立たせている一番重要な部分に証明が無いってこと
　ここを補足すると、>>451に書いたように、数列が有限長ならば、同値類は最後の箱ｎのみで殆ど決定されてしまうので、時枝氏の論法は使えない
　では、数列が無限長ならば？その証明が無いという指摘だ(なお、有限長数列同様に、ダメ(証明できない)だろう(下記２)))

２）次に下記の528と523で、「hに可測性が保証されないので，d_Xとd_Yの可測性が保証されないそのためd_Xとd_Yがそもそも分布を持たない可能性すらあるのでP(d_X≧d_Y)≧1/2とはいえないだろう」
　と指摘している
　ここを補足すると、「可測性が保証されない」は、ビタリ集合のような非可測ではなく、
　全体（全事象）の積分（和）が無限大になるため
　コルモゴロフの確率の公理、つまり全体に確率1を与えて、
　個別事象に有限確率値を与えるような測度の定義が、不可ってこと（個別事象に確率0を割り当てることはできるのだが）
　>>451に書いたように、決定番号ｄは必ずしもある有限値に収まらないので、
　>>371の非正則分布のようになってしまうってことです（本当は、>>371の非正則分布よりひどいことになるのだが）

つづく

524(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/07/19(水)12:01 ID:nRDluDzX(2/11) AAS
>>523
つづき

（参考）
旧ガロアスレ20 （512 2016/07/03 確率論の専門家さん来訪 ID:f9oaWn8A と ID:1JE/S25W ）
2chｽﾚ:math
1）
　519 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 22:27:11.14 ID:f9oaWn8A [4/13]
>>518
X=(X_1,X_2,…)をR値の独立な確率変数とする．
時枝さんのやっていることは
無限列x=(x_1,x_2,…)から定められた方法によって一つの実数f(x)を求める．
無限列x=(x_1,x_2,…）から定められた方法によって一つの自然数g(x)を求める．
P(f(X)=X_{g(X)})=99/100
ということだが，それの証明ってあるかな？
100個中99個だから99/100としか言ってるようにしか見えないけど．
　522 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 22:40:29.88 ID:f9oaWn8A [5/13]
面倒だから二列で考えると
Y=(X_1,X_3,X_5,…）とZ=(X_2,X_4,X_6,…)独立同分布
実数列x=(x_1,x_2,…)から最大番号を与える関数をh(x)とすると
P(h(Y)>h(Z))=1/2であれば嬉しい．
hが可測関数ならばこの主張は正しいが，hが可測かどうか分からないのでこの部分が非自明
（529の修正 (R,B(R))ではなくすべて(R^N,B(R^N))だなを入れた）

２）
　528 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 23:03:57.29 ID:f9oaWn8A [8/13]
おれが問題視してるのはの可測性
正確にかくために確率空間(Ω,F,P)を設定しよう
Y,Zはそれぞれ(Ω,F)から(R^N,B(R^N))の可測関数である．
もしhが(R^N,B(R^N))から(N,2^N)への可測関数ならば
h(Y),h(Z)はそれぞれ可測関数となって{ω|h(Y(ω))>h(Z(ω)}∈FとなりP({ω|h(Y(ω))>h(Z(ω)})=1/2となるけど
hが(R^N,B(R^N))から(N,2^N)への可測関数とは正直思えない
　532 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 23:15:17.47 ID:f9oaWn8A [11/13]
>>530
> 2個の自然数から1個を選ぶとき、それが唯一の最大元でない確率は1/2以上だ
残念だけどこれが非自明．
hに可測性が保証されないので，d_Xとd_Yの可測性が保証されない
そのためd_Xとd_Yがそもそも分布を持たない可能性すらあるのでP(d_X≧d_Y)≧1/2とはいえないだろう
(引用終り)
以上

525(1): 2023/07/19(水)12:24 ID:4yn9tDSJ(1/19) AAS
>>523
>１）下記の519と522で、「それの証明ってあるかな？ 100個中99個だから99/100としか言ってるようにしか見えないけど」
100個中99個であること、ランダム選択であることから99/100

>　「二列で考えると、P(h(Y)>h(Z))=1/2であれば嬉しい．hが可測関数ならばこの主張は正しいが，hが可測かどうか分からないのでこの部分が非自明」
確率論の専門家が P(h(Y)>h(Z))=1/2 を前提にしていると勘違いしているだけ。時枝先生は P(h(Y)>h(Z))=1/2 を前提にしていない。
hが可測でないなら P(h(Y)>h(Z))=1/2 は言えない。
しかーし、Y,Zのいずれかをランダムに選択した方をa、他方をbと置けば、「ランダム」の定義から P(h(a)>h(b))=1/2 が言える。
時枝先生は P(h(Y)>h(Z))=1/2 ではなく P(h(a)>h(b))=1/2 だとおっしゃっている。これは正しい。

>　ここを補足すると、>>451に書いたように、数列が有限長ならば、同値類は最後の箱ｎのみで殆ど決定されてしまうので、時枝氏の論法は使えない
>　では、数列が無限長ならば？その証明が無いという指摘だ(なお、有限長数列同様に、ダメ(証明できない)だろう(下記２)))
有限列で成立する命題が無限列でも成立することの証明が無い。（実際「最後の項が存在する」は有限列では真だが無限列では偽）

>２）次に下記の528と523で、「hに可測性が保証されないので，d_Xとd_Yの可測性が保証されないそのためd_Xとd_Yがそもそも分布を持たない可能性すらあるのでP(d_X≧d_Y)≧1/2とはいえないだろう」
上と同じで時枝先生はそもそも P(d_X≧d_Y)≧1/2 と言ってない。確率論の専門家が勘違いしてるだけ。

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