純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）13

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228(2): 2023/03/16(木)08:15 ID:viNWkpRf(4/5) AAS
>>227

つづき

L のコバノフホモロジーは、この複体 C(D) のホモロジー H(L) である。コバノフホモロジーは実際に L の不変量となっていて、図形の選択には依存しないことが分かる。H(L) 次数付きオイラー標数は、L のジョーンズ多項式であることも分かる。H(L) は、ジョーンズ多項式以上の L の情報を持っていることが示されているが、完全な詳細は未だ完全には理解されていない。

2006年にドロール・バー-ナタン（英語版）(Dror Bar-Natan)は、任意の結び目のコバノフホモロジー(もしくはカテゴリ)を計算するに十分なコンピュータプログラムを開発した。[1]

関連する理論
コバノフホモロジーでもっとも興味を持たれている側面の一つに、完全系列が形式的に3次元多様体（英語版）のフレアーホモロジーの完全系列に似ていることである。さらに、ゲージ理論やその類似を使い示すことでのみ、結果を再現することがある。ヤコフ・ラスムッセン（英語版）(Jacob Rasmussen)のクロンハイマーとムロフカの定理の別の新しい証明があり、これはミルナー予想の証明である（以下を参照のこと）。予想であるが、コバノフホモロジーをピーター・オズバス（英語版）(Peter Ozsvath)とゾルタン・ザボー(Zoltan Szabo)のフレアーホモロジーに関係づけるスペクトル系列がある（ダンフィールド他の2005年も参照）。別のスペクトル系列 (オズバス-ザボー 2005) は、コバノフホモロジーの変形を結び目に沿った分岐した二重被覆のヒーガードフレアーホモロジーと関係づける。三番目 (ブルーム 2009) は、分岐した二重被覆のモノポールフレアーホモロジーの変形に（コバノフホモロジーが）収束するという結果もある。

つづく

229(1): 2023/03/16(木)08:15 ID:viNWkpRf(5/5) AAS
>>228
つづき

コバノフホモロジーはリー代数 sl2 の表現論に関係する。

応用
コバノフホモロジーの第一の応用は、ヤコフ・ラスムッセンにより与えられた。彼はコバノフホモロジーを使い、s-不変量（英語版）を定義し、この結び目の整数に値を持つ不変量は、スライス種数（英語版）を有限とし、ミルナー予想を証明することができた。

2010年には、クロンハイマー（英語版）(Peter B. Kronheimer)とムロフカ（英語版）(Tomasz Mrowka)は、コバノフホモロジーが、自明な結び目か否かを識別することを証明した。カテゴリ化された理論は、カテゴリ化されていない理論よりも多くの情報を持ってる。従って、コバノフホモロジーが自明な結び目か否かを識別するからといって、ジョーンズ多項式が自明な結び目か否かを識別するとは限らない。
(引用終り)
以上

230(1): 2023/03/16(木)09:10 ID:YDR7EwZZ(1) AAS
>>225-229　真逆だね

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