[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）13 (1002ﾚｽ)
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600(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/07/21(金)16:19 ID:L/LQf6Gh(1/6) AAS
>>591
>「箱入り無数目」の決定番号を潰す話を、あとで書こうと思う
スレ主です
＜「箱入り無数目」の決定番号を潰す話＞
１）決定番号については、下記をご参照
2chｽﾚ:math
２）記号を整備しよう
有限長さnの数列：sn = (s1，s2，s3 ，・・，sn)
可算有限長さの数列：sN = (s1，s2，s3 ，・・・)
可算有限長さ一点コンパクト化の数列：sN+ = (s1，s2，s3 ，・・・，sω)
３）集合の包含記号を濫用して
sn ⊂ sN ⊂ sN+ とできることは見やすい
（勿論、sn-1 ⊂ sn も成り立つ）
４）いま、snの極限を考えよう。nが下記のリーマン球面で、北極点に到達するとして
lim n→ω sn＝sN+ となる
可算有限長さの数列 sN = (s1，s2，s3 ，・・・)は、一点コンパクト化の数列 sN+からsωを除いたものになる
５）「確率測度は？」（そら耳かも知れないが、ゼミの先生が言ったような気がしたｗ）
いま、箱 s1，s2，s3 ，・・・，sωたちは、確率論の意味で独立と仮定する
（独立の定義は、一般の確率論の本の通り。また、いまの議論では独立の場合を扱えば十分）
独立の仮定より 確率測度は 1次元空間 si∈R i∈{1，2，3 ，・・・，sω}=N∪ω
を考えれば良いことになる
いま、確率測度を考えるために、簡単に区間[0,1]に限定して考える
（R全体を考えるのは、確率測度としては発散が入り、不都合）
（なお、区間[0,1]の実数→コイントスなら{0.1}、サイコロなら{1,2,3・・6}、確率pで{1,2,3・・1/p}(但し1/pは自然数)など、適宜に換えればよい
また、区間[0,1]の実数の場合の1点的中は、p＝0である（区間[0,1]のルベーグ測度による確率測度から従う））
つづく
601(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/07/21(金)16:22 ID:L/LQf6Gh(2/6) AAS
>>600
つづき
６）一つの箱に確率pで数が入れられるとする。また、一つの同値類内で考える
lemma 1：有限長さnの数列 snで、決定番号n-1以下の確率p、nの確率1-p
証明：決定番号n-1以下の場合、n-1番目が一致しているべきで確率p、nの確率は余事象で1-p
lemma 2：確率p＝0で、有限長さnの数列 snで、決定番号n-1以下の確率0、nの確率1
証明：lemma 1で、p＝0とすればよい
lemma 3：確率p＝0で、可算有限長さ一点コンパクト化の数列 sN+において、決定番号ωの確率1、ω未満(つまり有限n)の確率0
証明：lemma 2において、上記４）のlim n→ω sn＝sN+ を適用すればよい
lemma 4：確率p＝0で、可算有限長さの数列 sN = (s1，s2，s3 ，・・・)において、決定番号ω未満(つまり有限n)の確率0
証明：lemma 3で、sN+からωを除いて、数列 sNとして適用すればよい
７）つまり lemma 4より、「箱入り無数目」のp＝0での決定番号が有限nの確率0が導かれる
この傍証として、決定番号が有限nとは、n番目より以降の無限の箱の数が一致する確率であり p^∞＝0となると考えることができることを付言しておく
（なお、可算有限長さの数列 sN における決定番号の確率の和は、1にならない
詳しくは、2chｽﾚ:math 非正則事前分布を見よ）
８）結論として、「箱入り無数目」の想定している有限の決定番号{d1,d2,・・d100}などは
p＝0で確率0の事象であり、仮に99/100が得られても、(99/100)*0＝0であり
「箱入り無数目」の決定番号を使った確率計算は、無意味である QED
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
コンパクト化
一点コンパクト化の例
自然数全体（離散位相）Nの一点コンパクト化は Nに最大元ω を付け加えた順序集合N∪ω の順序位相と同相になる
（下記のリーマン球面の自然数部分＋北極点）
画像ﾘﾝｸ
複素平面の一点コンパクト化。複素数 A を埋め込み写像P により球面（リーマン球面と呼ばれる）の上の一点 α に写す。図でP (∞)と書かれている部分が無限遠点である
(引用終り)
604: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/07/21(金)16:48 ID:L/LQf6Gh(3/6) AAS
>>600 補足
ツッコミがある前に
（R全体を考えるのは、確率測度としては発散が入り、不都合）
↓
（R全体の一様分布を考えるのは、確率測度としては発散が入り、不都合）
追伸
ガウス分布（正規分布）のように、無限大で早く減衰する分布ならば
R全体を考えることは可
（L^2の手法も似た思想ですかね？ｗ）
608: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/07/21(金)17:36 ID:L/LQf6Gh(4/6) AAS
>>603
手直しありがとうございます。
>>有限長さnの数列：sn = (s1，s2，s3 ，・・，sn)
>これはベクトルか点で数列ではない
>>可算有限長さの数列：sN = (s1，s2，s3 ，・・・)
>時枝記事では数列
・似た手直しは、別スレでもご指摘ありましたね（覚えてますよ）
・通常の記法から外れているとしても（下記）
時枝「箱入り無数目」の記法が
2chｽﾚ:math
”実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s ～ s'と定義しよう(いわばコーシ ーのべったり版).”
となっているので、それに合わせています
（実は、この文章のタイプ起こしは
私が、2015年当時に数学セミナー201511月号の記事「箱入り無数目」をスキャナーでOCRをかけて
５ｃｈ投稿用に手直ししたものです。手元に記事のPDFもありまして、いま確認しました）
・なるほど、正規の記法は下記wikipediaですかね
（簡便に、時枝記法を流用したのですが、プロの趣味には合わないか。常道を外れて気持ちが悪いかな？ ）
>>可算有限長さ一点コンパクト化の数列：sN+ = (s1，s2，s3 ，・・・，sω)
>これ不要
ふふ
生きている石に手を入れるが如しかｗ
まあ、あとの素人談義を想定しての布石なのですが
多分プロとへぼの違いかも
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
数列
定義
S を自然数全体の集合 N またはその n における切片 {0, 1, 2, …, n} とするとき、S から実数（あるいは複素数）への関数 a を数列（すうれつ、英: sequence）と呼び、順序付けられた数の並びとして
a0, a1, a2, …, an, …
のように記す。
609(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/07/21(金)17:47 ID:L/LQf6Gh(5/6) AAS
>>605
>ま、時枝記事を否定したいなら、
> 2個以上の有限個の点からなる標本空間ではなく
> 1点だけからなる標本空間を考えざるを得ないが、
>このときはゲームが成立しないから時枝記事の否定にはなっていない
・いや、そもそもが、出発点は、可算無限個の閉じられた箱の数当て
よって、標本空間R^Nですよね
・”1点だけからなる標本空間を考えざるを得ない”？
1点r だけからなる標本空間Ω＝[r] ？
だったら、的中でしょ？
時枝氏の主張する確率 1-ε と類似
ゲームは成立し、時枝記事の肯定になりますよ
610: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/07/21(金)17:50 ID:L/LQf6Gh(6/6) AAS
>>605
>ま、時枝記事を否定したいなら、
> 2個以上の有限個の点からなる標本空間ではなく
> 1点だけからなる標本空間を考えざるを得ないが、
>このときはゲームが成立しないから時枝記事の否定にはなっていない
これ、ひょっとして おっちゃんか
なるほど
お元気そうで
なによりです
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