現代数学の系譜　カントル　超限集合論2

[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜　カントル　超限集合論2 (1002ﾚｽ)
上下前次 1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

243: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/01/02(木) 21:37:19.47 ID:YLjNnjPy

>>221 補足
>＞だいたい…{{}}…はただしくはシングルトンですらない
>＞集合ですらないからだｗ

現代数学が分かってないな〜
まず、定義ありきだよ
（下記の渕野先生の不完全性定理の話とか、ZFCGの話を見てごらんｗ（＾＾；）

その定義されたω＝可算無限シングルトン を、どう理解するのか？
それは、極限から定まる性質を見ることだ

あなた方のいうことは、定義されたωを括弧={と }と を使ってどう表現すべきかってことでしょ？
一番外に 括弧= {と }とが、表現に、必要なら
｛ …{{}}… ｝と表現するように、”表現”を定義すれば、良いだけのことだよｗ

(参考：渕野先生)
https://researchmap.jp/?action=cv_download_main&upload_id=212146
カントルの精神の継承
無限集合の数学／超数学理論としてのカントルの集合論のその後の発展と，その「数学」へのインパクト
渕野 昌 2018 年 11 月 10 日 (23:10 CET) 版
P14
5 ゲーデルの加速定理と数学の自由性 ? 22世紀の数学としての集合論
P17
本稿の最初に引用した，[Cantor 1883] でのカントルの「数学の自由性」に関す
る言及は，広義の数学という意味で「科学の自由性」と読み替えたときにも，十
分に意義を持つものと思う

ゲーデルの第 1 不完全性定理は，数学の無尽蔵性と解釈することもできる (こ
の解釈に関しては，[渕野 2013],[渕野 2016] 等も参照されたい)．

この考察を超数学で考察することで高次の証明を得
るという， 新しいタイプの数学研究を行なうことで，人間にとって
理解可能な数学の領域を拡張してゆくことが，近未来における
数学の存続のための重要な鍵の一つとなる，ということは十分に
ありうるし，むしろ，それ以外のシナリオはありえないようにも思えるのである．

（参考：ZFCで足りないなら、新たに別の公理を加えたZFCG）
https://ja.yourpedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論 Yourpedia
(抜粋)
グロタンディーク宇宙
圏の一般理論はZFCだけでは展開できないが、ZFCに新たに別の公理を加えたZFCGにおいては展開できるようになる。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/243

252: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/01/03(金) 10:11:10.17 ID:ivt0JCXh

>>251 補足

１．完備化という概念がある
２．完備化 (順序集合)（英語版）下記
　”Dedekind cut”について、説明されている
３．カントールは、完備化にコーシー列を使ったという（下記）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E5%8C%96
完備化 (順序集合)（英語版）（Dedekind-MacNeille completion へ飛ぶ）

https://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind%E2%80%93MacNeille_completion
Dedekind-MacNeille completion
(抜粋)
Examples
If Q is the set of rational numbers, viewed as a totally ordered set with the usual numerical order, then each element of the Dedekind-MacNeille completion of Q may be viewed as a Dedekind cut, and the Dedekind-MacNeille completion of Q is the total ordering on the real numbers, together with the two additional values ±∞.[7]
The construction of the real numbers from the rational numbers is an example of the Dedekind completion of a totally ordered set, and the Dedekind-MacNeille completion generalizes this concept from total orders to partial orders.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97
コーシー列
(抜粋)
コーシー列（コーシーれつ、Cauchy sequence）は、数列などの列で、十分先のほうで殆ど値が変化しなくなるものをいう。
数学史における位置付け
19世紀後半には実数を算術的に定義する方法が盛んに研究され、
その中で現在コーシー列と呼ばれる概念を導入したのがカントールである。
カントールがこの成果を発表したのは1872年で、1821年に発表されたコーシーの収束判定法を満たす数列を用いて実数を定義しようという、当時一般的だった考え方に基づいている。
このコーシーの収束判定法を満たす数列としてコーシー列が用いられ、実数はコーシー列の極限として定義された。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/252

255: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/01/03(金) 10:49:20.99 ID:ivt0JCXh

>>253
おつです

岡潔（下記）
制限をつけていくのではなく、むしろ逆にもっと理想化した難しい問題を設定して、それを解くべきであると言った

これにならって、Neumann流、Zermelo流に拘らずに、もっと一般に後者関数を考えるべき
そうすれば、自然に後者関数のn→∞の極限の概念に到達するだろう

その後で、個別の後者関数に応じて、極限によって得られる集合がどのようなものかを考えるべし（＾＾；
（下記、ペアノの公理もご参照）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%83%E4%B8%AD%E5%B9%B3%E7%A5%90
広中平祐
(抜粋)
特異点解消問題について、1963年に日本数学会で講演した。その内容は、一般的に考えるのでは問題があまりに難しいから、様々な制限条件を付けた形でまずは研究しようという提案であった。
その時、岡潔が立ち上がり、問題を解くためには、広中が提案したように制限をつけていくのではなく、むしろ逆にもっと理想化した難しい問題を設定して、それを解くべきであると言った。
その後、広中は制限を外して理想化する形で解き、フィールズ賞の受賞業績となる[4]。

（>>152より）
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
(抜粋)
任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。

存在と一意性
集合論における標準的な構成によって、ペアノシステムの条件を満たす集合が存在することを示せる。
まず、後者関数を定義する; 任意の集合 a に対してその後者を suc(a) := a ∪ {a} と定義する。
集合 A が後者関数に関して閉じているとき、つまり 「a が A の元であるならば suc(a) も A の元である」が成り立つときに、 A は帰納的集合であるという。

任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理）
二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[2]。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/255

上下前次 1-新書関写板覧索設栞歴

あと 741 ﾚｽあります
ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ

ぬこの手ぬこTOP 0.022s