現代数学の系譜　カントル　超限集合論2

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232(1): 2020/01/02(木)16:43 ID:v54b6Yz+(5/7) AAS
>>231
>>221の
>シングルトンの後者関数の極限で、ωを定義するってこと
>ωを、可算無限シングルトンと名付けるってこと
という趣旨に従って>>229を書いた。
◆e.a0E5TtKEの意図に従った「…」は、数列を表すときなどに用いるような、いわゆるどこまでも同じ状態が続くという意味での「…」の解釈になると思われる。

233: 2020/01/02(木)16:52 ID:v54b6Yz+(6/7) AAS
>>232の一番下の行の「いわゆるどこまでも同じ状態が続くという意味」とは、
任意の第n項が1である数列 1、1、1、… における「…」のような意味のこと。

234: 2020/01/02(木)16:53 ID:v54b6Yz+(7/7) AAS
それじゃ、おっちゃんもう寝る。

235(1): 2020/01/02(木)16:54 ID:G/YeCJ4m(1/8) AAS
>>201
>４）こうやって構成したペアノシステムによるシングルトンのωが、正則性公理に反するはずもない
妄想乙

>Zermeloの後者関数「0 := {}, suc(a) := {a} 」
>の
>順序位相（英語版）に関する極限点として
>ωが定義される
>それだけのこと
バカは他人も自分と同じくらいバカだと思いたいようだが、それも妄想

236: 2020/01/02(木)16:55 ID:G/YeCJ4m(2/8) AAS
バカは直観で数学が理解できると妄想し続ける
だから死ぬまでバカのまま

237(1): 2020/01/02(木)17:19 ID:G/YeCJ4m(3/8) AAS
>>221
>シングルトンの後者関数の極限で、ωを定義するってこと
おまえが言ってるのは「lim[n→∞]nは収束する」と同じことだｗ
近所の高校生に教わってこいｗ

238(1): 2020/01/02(木)17:24 ID:G/YeCJ4m(4/8) AAS
>>221
>お前は、数学の定義分かってないな
>後者関数の極限が、存在しない？？
>笑えるよ
おまえ自分で自分を「あほバカ」って言ってる割に自信たっぷりに上から目線だなｗ
口先では謙遜しておきながら実際の行動はまるで逆ｗ
真のサイコパスはおまえｗ

239(1): 2020/01/02(木)17:29 ID:G/YeCJ4m(5/8) AAS
>>221
>時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）の最初の設定はこうだった。
まったく的外れな引用
「コーシー」という単語に脊髄反射してるだけｗ　アホ過ぎｗ

240: 2020/01/02(木)17:36 ID:lJNP8tAT(19/23) AAS
>>239
数セミ記事の話は御免だな　面倒くさいｗ

ただ「無限列全体共通の尻尾なんてない」という基本的な事柄を
全く認めることができない◆e.a0E5TtKEは正真正銘の馬鹿

馬鹿は∩(n∈N){x∈N|x>n}が空集合であることが理解できないｗ

241: 2020/01/02(木)17:43 ID:G/YeCJ4m(6/8) AAS
>それは、◆e.a0E5TtKEの集合の表し方が間違っていることを指摘している。
バカはよく {{…{}…}} のように書くが、これは有限個のカッコを表すｗ
無限個のカッコはこのようには書けない。
何故なら上記のカッコ列には終端のカッコが存在しており、無限の定義に反するから。
ちょっと考えれば分ることだが、白痴だから考えることができない。

242: 2020/01/02(木)17:52 ID:G/YeCJ4m(7/8) AAS
>>224
間違いを認められない自惚れ野郎ｗ

243(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/01/02(木)21:37 ID:YLjNnjPy(10/11) AAS
>>221 補足
>＞だいたい…{{}}…はただしくはシングルトンですらない
>＞集合ですらないからだｗ

現代数学が分かってないな〜
まず、定義ありきだよ
（下記の渕野先生の不完全性定理の話とか、ZFCGの話を見てごらんｗ（＾＾；）

その定義されたω＝可算無限シングルトンを、どう理解するのか？
それは、極限から定まる性質を見ることだ

あなた方のいうことは、定義されたωを括弧={と }とを使ってどう表現すべきかってことでしょ？
一番外に括弧= {と }とが、表現に、必要なら
｛ …{{}}… ｝と表現するように、”表現”を定義すれば、良いだけのことだよｗ

(参考：渕野先生)
外部ﾘﾝｸ:researchmap.jp
カントルの精神の継承
無限集合の数学／超数学理論としてのカントルの集合論のその後の発展と，その「数学」へのインパクト
渕野昌 2018 年 11 月 10 日 (23:10 CET) 版
P14
5 ゲーデルの加速定理と数学の自由性 ? 22世紀の数学としての集合論
P17
本稿の最初に引用した，[Cantor 1883] でのカントルの「数学の自由性」に関す
る言及は，広義の数学という意味で「科学の自由性」と読み替えたときにも，十
分に意義を持つものと思う

ゲーデルの第 1 不完全性定理は，数学の無尽蔵性と解釈することもできる (こ
の解釈に関しては，[渕野 2013],[渕野 2016] 等も参照されたい)．

この考察を超数学で考察することで高次の証明を得
るという，新しいタイプの数学研究を行なうことで，人間にとって
理解可能な数学の領域を拡張してゆくことが，近未来における
数学の存続のための重要な鍵の一つとなる，ということは十分に
ありうるし，むしろ，それ以外のシナリオはありえないようにも思えるのである．

（参考：ZFCで足りないなら、新たに別の公理を加えたZFCG）
外部ﾘﾝｸ:ja.yourpedia.org
宇宙際タイヒミュラー理論 Yourpedia
(抜粋)
グロタンディーク宇宙
圏の一般理論はZFCだけでは展開できないが、ZFCに新たに別の公理を加えたZFCGにおいては展開できるようになる。
(引用終り)

244(1): 2020/01/02(木)21:46 ID:lJNP8tAT(20/23) AAS
>>243
＞一番外に括弧= {と }とが、表現に、必要なら
＞｛ …{{}}… ｝と表現するように、
＞”表現”を定義すれば、良いだけのことだよ

馬鹿ｗｗｗ　ほんと正真正銘の馬鹿ｗｗｗｗｗｗｗ

あのな、ωがもしシングルトン｛ｘ｝だったら
その唯一の要素ｘが、ωの前者ω−１ということになって
ωが極限順序数だという設定に反するだろ？

おまえってほんと底抜けの馬鹿だなｗｗｗｗｗｗｗ

245: 2020/01/02(木)21:51 ID:lJNP8tAT(21/23) AAS
外部ﾘﾝｸ:ja.yourpedia.org

このページつくったやつ、素人だろ？

ZFCGってなんだよｗｗｗ

グロタンディク宇宙は到達不可能基数の存在を認めればできそうだから
IUTを実現するには適当な巨大基数の存在公理を追加すればよさそうだが、
本当にそれがABC予想の解決に必要かどうかは疑わしい

246: 2020/01/02(木)21:55 ID:lJNP8tAT(22/23) AAS
Zermelo構成のωは無限集合

なぜならいかなる自然数ｎについてもｎ＜ｍとなる自然数ｍが存在するから
∀ｎ∈Ｎ∃ｍ∈Ｎ．ｎ＜ｍ
したがってωの要素となる自然数の中に最大値が存在してはならないので
必然的に無限集合になる

247(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/01/02(木)22:01 ID:YLjNnjPy(11/11) AAS
>>244
おサルの数学は、定義と表現が倒錯しているぞ
倒錯した数学は、ヒトの数学ではない！
だから、数学落ちこぼれで、「数学科修士は出たけれど」となる（＾＾

（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
大学は出たけれど
(抜粋)
大学は出たけれどは、
・小津安二郎監督の1929年公開の映画。
・野村芳太郎監督の1955年公開の映画。
本項では両映画とも記述する。

248: 2020/01/02(木)22:17 ID:lJNP8tAT(23/23) AAS
>>247
倒錯してるのは◆e.a0E5TtKE　貴様

だいたいお前大学出るどころか入ったことないだろ

お前みたいな馬鹿　Ｆラン大学でも落ちるわいｗ

249(1): 2020/01/02(木)23:24 ID:G/YeCJ4m(8/8) AAS
0,1,2,… が収束しないように、{},{{}},{{{}}},… は収束しないだろｗ　何が極限だｗ

250(3): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/01/03(金)09:45 ID:ivt0JCXh(1/8) AAS
>>249
＞0,1,2,… が収束しないように、{},{{}},{{{}}},… は収束しないだろｗ　何が極限だｗ

Yes！！（＾＾；
（有限内に）”収束しない”は、全く正しい

自然数のノイマン構成：空集合から出発して、後者関数はそれ以前に出来た全ての数とする
無限集合N＝自然数の集合に至る
（有限内に）”収束しない”が、極限は存在する（＾＾；

Zermelo構成に同じ（>>153ご参照）

（>>176より）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
自然数
(抜粋)
集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。
・空集合を 0 と定義する。
　0:=Φ ={}
・任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。
suc(a):=a∪{a}
・0 を含み後者関数について閉じている集合のひとつを M とする。
・自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される。
無限集合の公理により集合 M が存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
等々である[3]。
[3]^ (von Neumann 1923)
(引用終り)

251(2): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/01/03(金)09:53 ID:ivt0JCXh(2/8) AAS
>>250 参考

下記、「上極限と下極限は（無限大をとることを許せば）必ず存在する」の
”（無限大をとることを許せば）”に、ご注目（＾＾；

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
上極限と下極限
(抜粋)
性質
数列 (an) の上極限と下極限は（無限大をとることを許せば）必ず存在する。これは極限値が存在するかどうか分からないのと対照的である。

252(2): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/01/03(金)10:11 ID:ivt0JCXh(3/8) AAS
>>251 補足

１．完備化という概念がある
２．完備化 (順序集合)（英語版）下記
　”Dedekind cut”について、説明されている
３．カントールは、完備化にコーシー列を使ったという（下記）

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
完備化 (順序集合)（英語版）（Dedekind-MacNeille completion へ飛ぶ）

外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Dedekind-MacNeille completion
(抜粋)
Examples
If Q is the set of rational numbers, viewed as a totally ordered set with the usual numerical order, then each element of the Dedekind-MacNeille completion of Q may be viewed as a Dedekind cut, and the Dedekind-MacNeille completion of Q is the total ordering on the real numbers, together with the two additional values ±∞.[7]
The construction of the real numbers from the rational numbers is an example of the Dedekind completion of a totally ordered set, and the Dedekind-MacNeille completion generalizes this concept from total orders to partial orders.

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
コーシー列
(抜粋)
コーシー列（コーシーれつ、Cauchy sequence）は、数列などの列で、十分先のほうで殆ど値が変化しなくなるものをいう。
数学史における位置付け
19世紀後半には実数を算術的に定義する方法が盛んに研究され、
その中で現在コーシー列と呼ばれる概念を導入したのがカントールである。
カントールがこの成果を発表したのは1872年で、1821年に発表されたコーシーの収束判定法を満たす数列を用いて実数を定義しようという、当時一般的だった考え方に基づいている。
このコーシーの収束判定法を満たす数列としてコーシー列が用いられ、実数はコーシー列の極限として定義された。

253(2): 【最底辺】【225円】 2020/01/03(金)10:22 ID:/G0ULS+T(1) AAS
その概念を最後は持ち出すだろうとはおもってたけどダメですよ。
今問題になっているのはいわゆる1,2,‥の上極限として
極限が存在するとした議論が矛盾しないのか？
ではなく
上極限としてどのような集合をあてがうべきなのか
を議論しているのだから。
上極限が存在し得ないならあなたの言うようにNeumann流のあてがい方だろうが、Zermelo流のあてがい方だろうが矛盾しますが、今はそんな事を議論しているのではなく、あなたの主張である

Zermelo流ではωにあてがわれる集合Ωとしては
Ω自身も、その元も、そのまた元も、‥
どこまで行ってもsingletonしか現れないものがあてがわれる。
その存在を認めてもZFCの公理となんら矛盾しない。

という事が問題になっているのだから。

254(2): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/01/03(金)10:32 ID:ivt0JCXh(4/8) AAS
>>252 補足

１．コーシー列による完備化では、極限の概念が不可欠
２．無限数列 (xn) について、有理数よりなる数列（n有限では） xn∈Qで
　その極限で lim n→∞ xn ＝r not∈Q なる無限数列 (xn) が定義できる
　（それが出来なければ、実数Rは構成できない）
３．要するに、一般的に言って、極限は、もとの有限の場合の集合の外に出る場合があるってこと
　有理数よりなるコーシー列 (xn) の極限は、Q内の場合もあれば、Q外の場合もあるってこと

４．似た例が、時枝記事の議論の時に
　”帰納法の反例”だとしてｗ、
　”開集合Onの積集合 ∩On が、一点に収束するときに、一点だから閉集合になる
　だから、「帰納法の反例だ」”という主張があった
　おれは、「それって、（帰納法の反例でなく）極限でしょ」と言ってやったんだ

５．要するに、極限 lim n→∞ xn には、xnをその属する集合の外に出す力があるという理解が正しいのだ
　Zermelo構成のシングルトンによる後者関数についても同じ
　おサルが、有限の場合に外側に{}があるの無いのとか、一番右の}は何だとか、右から二番目の}があるの無いの
　そういう有限シングルトンとの対比でもって、シングルトンの極限の存在を否定することはできません
６．これ、数学の基本の ”き”

255(3): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/01/03(金)10:49 ID:ivt0JCXh(5/8) AAS
>>253
おつです

岡潔（下記）
制限をつけていくのではなく、むしろ逆にもっと理想化した難しい問題を設定して、それを解くべきであると言った

これにならって、Neumann流、Zermelo流に拘らずに、もっと一般に後者関数を考えるべき
そうすれば、自然に後者関数のn→∞の極限の概念に到達するだろう

その後で、個別の後者関数に応じて、極限によって得られる集合がどのようなものかを考えるべし（＾＾；
（下記、ペアノの公理もご参照）

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
広中平祐
(抜粋)
特異点解消問題について、1963年に日本数学会で講演した。その内容は、一般的に考えるのでは問題があまりに難しいから、様々な制限条件を付けた形でまずは研究しようという提案であった。
その時、岡潔が立ち上がり、問題を解くためには、広中が提案したように制限をつけていくのではなく、むしろ逆にもっと理想化した難しい問題を設定して、それを解くべきであると言った。
その後、広中は制限を外して理想化する形で解き、フィールズ賞の受賞業績となる[4]。

（>>152より）
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ペアノの公理
(抜粋)
任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。

存在と一意性
集合論における標準的な構成によって、ペアノシステムの条件を満たす集合が存在することを示せる。
まず、後者関数を定義する; 任意の集合 a に対してその後者を suc(a) := a ∪ {a} と定義する。
集合 A が後者関数に関して閉じているとき、つまり「a が A の元であるならば suc(a) も A の元である」が成り立つときに、 A は帰納的集合であるという。

任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理）
二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[2]。
(引用終り)

256(3): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/01/03(金)10:52 ID:ivt0JCXh(6/8) AAS
>>255
補足

あと、>>254に書いたように
”極限 lim n→∞ xn には、xnをその属する集合の外に出す力があるという理解が正しい”のです

で、極限 lim n→∞ xnが、その属する集合の外に出たことをもって
「正則性公理に反する」などと、噴飯ものの議論でしかないのです

257(3): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/01/03(金)11:20 ID:ivt0JCXh(7/8) AAS
>>256 追加

　>>250より
自然数のノイマン構成：空集合から出発して、後者関数はそれ以前に出来た全ての数とする

>>164より
（ノイマン構成）に倣って、
後者関数suc (a)に対して、
それまでに出来た集合の和 ∪a との対応を考えよう
番号　　　　∪a
0:=Φ　　
1:={Φ}　　　{0}
2:={{Φ}}　　{0,1}
　・
　・
n:={・・{Φ}・・}　{0,1・・n-1}
　・
　・
　↓（極限 lim n→∞ ）
ω:=・・・{Φ}・・・　{0,1・・n-1・・}（＝：N（自然数）)）
(引用終り)

という対応になる
もし、ノイマン構成のN（自然数）が、
下記のフォン・ノイマン宇宙
Vω+ω：ordinary mathematicsの宇宙であり、ツェルメロの集合論のモデル
内の存在とすれば、
　>>176より
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { Φ, {Φ} }→{{Φ}}（→は、一番右のΦを残すように不要の{}とΦを除く操作）
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { Φ, {Φ}, { Φ, {Φ} } }→{{{Φ}}}（同上）
というように
ノイマン構成の集合に対応して
→：（→は、一番右のΦを残すように不要の{}とΦを除く操作）
という集合操作を行うと、Zermeloのシングルトンが生成されるのです

なので、ノイマン構成のN（自然数）から、
→：（→は、一番右のΦを残すように不要の{}とΦを除く操作）
という集合操作、それは”超限回”の操作
で、Zermeloのシングルトンが生成されると解釈することも可能
なので、Zermeloのシングルトンも、Vω+ωの宇宙内（ツェルメロの集合論のモデル）です（＾＾；

つづく

258(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/01/03(金)11:21 ID:ivt0JCXh(8/8) AAS
>>257
つづき

（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
フォン・ノイマン宇宙
フォン・ノイマン宇宙 Vとは、遺伝的整礎集合全体のクラスである。
この集まりは、ZFCによって定義され、ZFCの公理に解釈や動機を与えるためにしばしば用いられる。
整礎集合の階数(rank)はその集合の全ての要素の階数より大きい最小の順序数として帰納的に定義される。 [1]
特に、空集合の階数は0で、順序数はそれ自身と等しい階数をもつ。
Vの集合はその階数に基づいて超限個の階層に分けられ、その階層は累積的階層と呼ばれる。

Vと集合論
ω を自然数全体の集合とすると、
Vωは遺伝的有限集合全体の集合であり、無限公理の成り立たない集合論モデルである。
Vω+ωはordinary mathematicsの宇宙であり、ツェルメロの集合論のモデルである。

k が到達不能基数ならば、VkはZFCのモデルである。
そして、Vk+1はモース-ケリー集合論のモデルである。

V は二つの理由によって、"全ての集合による集合"とは異なるものである。第一に、これは集合ではない。各階層Vαがそれぞれ集合でも、その和であるVは真のクラスであるからだ
(引用終り)
以上

259: 2020/01/03(金)11:27 ID:glmNLmg1(1/11) AAS
>>250
>極限は存在する

その言い方は誤り

「極限となる集合を構成できる」が正しい

で、Zermelo構成（suc(a)={a})の場合、
どういう性質を維持してωを構成できるか
が重要

suc(a)={a} では、
「前者aのみを要素とする集合」
として後続順序数suc(a)を構成している
そしてそれだけで
「0={}への有限長∈降下列」
が実現できる

ωを実現するにあたり維持すべき性質は以下
・ωから任意の自然数nへの∈降下列が存在する

その場合、一個の要素では実現不可能
というのは、どの自然数nを要素としても
必ずn＜mとなる自然数mが存在してしまい
mへの∈降下列が作れないから

自然数の無限集合であれば
全ての自然数を要素としなくても
任意の自然数nへの∈降下列が実現できる

260: 2020/01/03(金)11:29 ID:glmNLmg1(2/11) AAS
>>251
>”（無限大をとることを許せば）”

今なすべきことは「無限大」をどうやって構成するかなので
”（無限大をとることを許せば）”は論点先取の誤り

261: 2020/01/03(金)11:33 ID:glmNLmg1(3/11) AAS
>>252
>完備化という概念がある
>完備化 (順序集合)
>”Dedekind cut”について、説明されている
>カントールは、完備化にコーシー列を使ったという

今やろうとしてるのは
Qの完備化ではなくNの完備化

デデキント切断もコーシー列も要らない

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