[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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1(2): 2019/10/05(土)09:57 ID:JrhjRl4x(1/46) AAS
関連スレ
１）現代数学はインチキのデパート
2chｽﾚ:math
直接には、ここの28からの続き
２） １）の前スレ
現代数学はインチキだらけ
2chｽﾚ:math
３） ２）の中の正則性公理に関する議論の前のスレ（＾＾
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77
2chｽﾚ:math
2: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)10:00 ID:JrhjRl4x(2/46) AAS
まあ、カッカとせずに、のんびりやりましょう（＾＾
あと、関連事項は、>>1のスレから適宜写してくることにしましょう（＾＾
3(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)10:01 ID:JrhjRl4x(3/46) AAS
スレを移すと、先に書いたことへのリンクが面倒になるが、まあ、やむなしですね（＾＾
4(7): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)10:05 ID:JrhjRl4x(4/46) AAS
さて、>>1に関連した議論の続きです
現代数学はインチキのデパート より
2chｽﾚ:math
どうも、ガロアスレのスレ主です（＾＾
昨日のID:4Fu/lmU2さん（>>21）と
今日のID:kZwmbLNIさん（>>25）と
が、同一人物かどうか？ それが分からない
それと、二つのIDの中に、私がガロアスレで論争していた人がいるかどうか？
一応、ここでは、二つのIDは同一人物で、私がガロアスレで論争していた人とは別人という前提で対応します
（そのうち分かってくるかも知れませんが。ああ、（>>28）「私はサル石ではありません」と書かれましたね）
なお、議論の前提として、ある程度、標準的に認められている現代数学の成果
テキストや、ウェブサイトにある、現代数学の成果は認めるものとしましょう
（そうしないと、全てを公理からの構成や厳密な証明を求めるようなことをすると、余白が足りない（時間も足りない））
さて、論点を整理しましょう
（>>3より）
１）正則性公理(>>16)は、無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ を禁止する
（が、無限上昇列を禁止するものではない）
なお、無限上昇列から、ノイマン構成により自然数N＝ωの構成が認められる
２）ツェルメロ構成で、{{…{}…}}（{}の多重無限）が考えられるが、正則性公理に反するか？
で、
１）正則性公理において、>>17に示した ノイマン構成の∈の2項関係の列について
0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・ ∈N＝ω
これは、正則性公理には反しないまでは合意（>>23-24）できましたね
つづく
5: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)10:09 ID:JrhjRl4x(5/46) AAS
>>4 補足
ああ、
（>>3より）などのリンクは、
元のスレの現代数学はインチキのデパートのものです
今後も、そういう類いがあると思いますが、
おかしなリンクと思ったときは、元のスレの「現代数学はインチキのデパート」
2chｽﾚ:math
を覗いてみてください（＾＾
6(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)10:16 ID:JrhjRl4x(6/46) AAS
>>4
つづき
１）の論点の
「正則性公理(>>16)は、無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ を禁止する
が、無限上昇列を禁止するものではない」
について
ノイマン構成の∈の2項関係の列
0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・ ∈N＝ω
これは、正則性公理には反しない
これは、当たり前。無限上昇列を禁止したら、現代数学の公理系としては機能しない
そして、無限上昇列が出来たら、それを逆に辿る、無限下降列でしょ
それとの折り合いをどうつけるか？
ID:kZwmbLNIさんは
現代数学はインチキのデパート
2chｽﾚ:math
(抜粋)
ｍ∈Nで、ｍは自然数であるなら
0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・m∈N＝ω
は”明らかに”有限長です。
(引用終り)
と解釈することで折り合いを付けた
ここは、ちょっと異論があるのですが、後で（＾＾
つづく
7(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)10:22 ID:JrhjRl4x(7/46) AAS
>>6
つづき
まず、タイポ訂正
そして、無限上昇列が出来たら、それを逆に辿る、無限下降列でしょ
↓
そして、無限上昇列が出来たら、それを逆に辿ると、無限下降列でしょ
分かると思うが（＾＾
さて、>>4より
(引用開始)
議論の前提として、ある程度、標準的に認められている現代数学の成果
テキストや、ウェブサイトにある、現代数学の成果は認めるものとしましょう
（そうしないと、全てを公理からの構成や厳密な証明を求めるようなことをすると、余白が足りない（時間も足りない））
(引用終り)
これを合意したものとして
下記、正則性公理より、
「フォン・ノイマン宇宙、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラス」
という存在を認めることにしましょうね（＾＾
(参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
正則性公理
(抜粋)
V=WF
ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。
ZF公理系の他の公理系から得られる種々の集合演算(対集合、和集合、冪集合) の結果としての集合は常にWF内に含まれるため、V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。
(引用終り)
つづく
14(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)11:03 ID:JrhjRl4x(8/46) AAS
>>7
つづき
>「フォン・ノイマン宇宙、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラス」
>という存在を認めることにしましょう
さて、この前提で
下記より、冪集合で P({a})={Φ,{a}}
つまり、 P({a})は{a}という一元集合の冪集合です
ここで、{Φ,{a}}から、{{a}}という集合を作ることができるということを認めることにしましょう
（注：{Φ,{a}}から、元Φを取り除くだけですけど（多分、分出公理を使う）
あるいは、 P({Φ,{a}})={Φ,{Φ},{{a}},{Φ,{a}}}としても、{{a}}は作ることができる ）
まあ、要するに
{a}という集合に対して、一つ{}が多い{{a}}を、冪集合作る操作で、構成することができるということ
ここで、フォン・ノイマン宇宙の「0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合」を認めると
空集合Φ={}に、ω回冪集合の演算を繰り返して
ツェルメロ構成で、集合 {{…{}…}}（{}の多重無限）（>>4）が、出来ました（＾＾
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
冪集合
(抜粋)
冪集合（べきしゅうごう、英: power set）とは、数学において、与えられた集合から、その部分集合の全体として新たに作り出される集合のことである。
定義
集合 S が与えられたとき、S のどの部分集合をも元とする集合
P(S):={A：a set｜A⊆S}}
を S の冪集合と呼ぶ。例えば
・ P({a})={Φ,{a}}
外部ﾘﾝｸ:tnomura9.exblog.jp
tnomuraのブログ
冪集合公理 by tnomura9 | 2018-02-02 08:02
(抜粋)
これまで調べた、外延性の公理、空集合の公理、対の公理、和集合の公理、冪集合公理から構築できる公理的集合論の世界は、空集合 {} を base case にして {{}}, {{{}}}, {{}, {{{}}}}, などのように有限集合を無限に作り出していく集合の生成体系で、そのなかでは和集合の演算が導入されている。
また、その中にはそれらの集合の冪集合も含まれる。
17(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)11:12 ID:JrhjRl4x(9/46) AAS
>>8
ID:kZwmbLNIさん、どうも
お付き合い頂きありがとうございます（＾＾
「古典ガロア理論も読む」は削除、雑談は残しました
あなたくらいまともなレベルで議論できる人が、いまの５CH数学板には居なくなりましたね（＾＾
よろしくお願い致します
なお、繰返しますが、適度にやりましょう
それから、これも繰り返しですが
５CH数学板では、書けない数学記号（高度なやつ）が結構あるので
お互い、どこかのテキストにあって、ネットから確認できる合意文献は
お互い認めることにしましょうね
（数学記号制限ありで、字数や行数制限ありの板では、外の世界の数学と同様の数学の議論は無理ですから。本当なら、板書とか図とか書きたいのですがね（＾＾ ）
20(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)11:18 ID:JrhjRl4x(10/46) AAS
>>11
>この議論では必然的に通常の数学のωと、今話題のωが両方出てきてどっちの話してんのかわけわかめになる。
私は、今話題のωと通常の数学のωとは、同じ意味で使っていますよ
>>12
＞ 上記を認めても、1の言われる
その「1の言われる」とかいう表現やめてもらえますかね？
「1の言われる」という表現は、いままでサル石しか使っていません
あなたは、サル石ですか？
サル石なら、議論は打ち切りますよ
サル石とは、ガロアスレ以外では相手をするつもりがないのでね
26(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)11:42 ID:JrhjRl4x(11/46) AAS
>>18
どうも、ガロアスレのスレ主です（＾＾
ああ、貴方が
現代数学はインチキのデパート
2chｽﾚ:math
のID:4Fu/lmU2さんだったか（＾＾
１）もし可能なら、前スレ21とか>>18の出典 手元のテキストでもなんでも良いですが
ご紹介ください。他のROMさんたちにも、その方が良いでしょう
２）あと、分出公理、冪集合公理、無限公理その他を、私は使います。まあ、それは自分で貼りますよ
３）あと、”哲学の話をしたいならご自由に”ですね、どちらかと言えば、私はそちらです
そもそも、これは私の持論ですが、５CH数学板で、数学ゼミでやるような厳密な議論はしない方が良いと考えていますので
（それ、時間と余白のムダ。相手が誰かも分からない名無しさんとの議論は、普通に議論していても、だいたいが議論が議論が噛み合いませんしね。
「現代数学でいうところの ‘well defined’ と呼べる定義」なんて、∀と∃のてんこ盛りの式書いても、記号制限もある不便な板では、余計混乱するだけだと
まあ、落ちているそういう定義は、コピペできる範囲で、拾ってきますけど。
でも、たいてい、特殊記号の制限と文字化けで、えらく苦労しています（＾＾； ）
上記、可能な範囲で
よろしくお願いします（＾＾
27: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)11:49 ID:JrhjRl4x(12/46) AAS
>>23-25
>誠意がないものとして、「議論」を打ち切ります
ええ、結構ですよ
５CHでの「議論」には、それほど価値を置いていませんので
そもそも、お二人の数学の資格とレベルは？
それが、この数学板で証明できますか？
証明できないなら、どこのだれもと知れないですよね
（中学生なのか高校生なのか大学生なのか院生なのか教員なのか研究者なのか？ 教員、研究者は無いと思うけど ）
だから、名無しさんと、時間をかけて、ここで議論する意味は、あまりないでしょ？
私は、勝手に書きたいことを、続けて書きますので
悪しからず、ご了承ください（＾＾；
31(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)12:08 ID:JrhjRl4x(13/46) AAS
>>19
(引用開始)
ノイマン宇宙のV_ωには
{}、{{}}、{{{}}}、…
という{}の有限重の集合は全て存在する
しかし、{}の無限重の集合は存在しない
(引用終り)
おやおや
公理的集合論では、どんな奇妙な集合でも、禁止されていない集合は存在しうる
だから、出現して困る集合は、公理で禁止する必要がある
そのための、正則性公理
そうして、正則性公理は、無限上昇列を禁止するものではない
例 ノイマンの自然数構成N＝ω （>>6）
0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・ ∈N＝ω
では、ツェルメロの自然数構成で
0：Φ
1：{Φ}
2：{{Φ}}
・
・
n：{・・{Φ}・・} n重
これで、全ての有限の自然数は構成できる
無限公理で、Nとωが出来たあとに、
ω：{・・{Φ}・・} ω重
と定義すれば良い
まあ、これが、ツェルメロの自然数構成の弱点であり、批判されるところでもあります（＾＾
自然に、N＝ωが出るノイマン構成の方がはるかに綺麗です
32(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)12:11 ID:JrhjRl4x(14/46) AAS
>>28
>つまりω = {?}と書くのなら何を要素に持っているの？ということを
>書いてくれと他の人は言っているんですよ
そうあせらないで（＾＾
そのうち、しばらくすれば、分かってきますから
定義も、準備が必要なんです（＾＾
34(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)12:20 ID:JrhjRl4x(15/46) AAS
>>30
どうも、ありがとう
>しかし俺が読んだのは確か共立出版の公理的集合論って本だったかな？
あなたは、なかなか誠実な人ですね
よく分かりました
>あなたのωを仮にΩと書くなら、このΩは数学の世界では全くコンセンサスは取れてません。
>論理式を用いて正確に定義してください。
>でなければそもそも議論が始まりません。
いや、>>32に書いたけど
そうあせらないで
定義の前に、{・・{}・・}と、多重かつ可算無限（厳密には最小のω）に{}が重なった集合が存在しうるかどうか？
私は、存在しうると考えています
もし、存在できないとすれば、存在を規制する公理が存在するべき
それは、正則性公理ですか？
まず、存在しうるか否か
それを決着させましょうよ（＾＾
なんか、存在し得ないという反論側が、「要素が分からない」とか云々とか横道へ
その前に、どの公理に反するのかと、その公理をどう適用して存在しないことを主張するのかを明確に（＾＾
42(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)14:02 ID:JrhjRl4x(16/46) AAS
>>6
(引用開始)
ID:kZwmbLNIさん
現代数学はインチキのデパート
2chｽﾚ:math
(抜粋)
ｍ∈Nで、ｍは自然数であるなら
0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・m∈N＝ω
は”明らかに”有限長です。
(引用終り)
と解釈することで折り合いを付けた
ここは、ちょっと異論があるのですが、後で（＾＾
(引用終り)
ここに戻ります
最小の超限順序数 ωは、極限点です。集積点とも言います
T1-空間（＝”任意の相異なる二点が分離できる”。実数Rはそうです）では
集積点ωは、”任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である”
つまり、閉区間[0,1]内の数列
0=1-1/1,1-1/2,1-1/3,・・,1-1/n,・・
を考えます。n→∞で、1-1/n→1に収束します。そして、[0,1]の点1は、集積点です
もうお分かりでしょう。1-1/nが順序数nに対応し、点1は∞つまり順序数nに対応します
点1は集積点で、”任意の近傍が S の点を無限に含む”ですから、閉区間[0,1]の内側に少しでも入れば
無限の1-1/nたちを含みます。無数の順序数nたちを含みます
なので、あなたの上記証明は、「ωは、極限点」という性質を反映していませんね
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
極限順序数
任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω
(抜粋)
特徴付け
極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる:
・順序数全体の成す類（クラス）において順序位相に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
集積点/極限点
(抜粋)
集積点あるいは極限点は、位相空間 X の部分集合 S に対して定義される概念
定義
位相空間 X の部分集合 S に対し、X の点 x が S の集積点であるとは、x を含む任意の開集合が少なくとも一つの x と異なる S の点を含むことを指す
この条件は T1-空間においては、x の任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
T1空間
(抜粋)
X が T1-空間であるとは、X の任意の相異なる二点が分離できるときに言う
(引用終り)
44: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)14:05 ID:JrhjRl4x(17/46) AAS
>>37
ID:o3KPqddgさん、どうも
>では頑張って定義見つけて下さい。
>面白そうな定義が見つかればまた拝見します。
そうそう
しばし、ご猶予を
また、お願いします（＾＾
45: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)14:07 ID:JrhjRl4x(18/46) AAS
>>43
閉集合、開集合、位相空間ですか？(゜ロ゜;
48(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)14:48 ID:JrhjRl4x(19/46) AAS
>>31
さて、
「自然数 ノイマン構成の集合Nから、{・・・{Φ}・・・}（{}はω重）なる集合が取り出せる」話（＾＾
・自然数
ノイマン構成
0：Φ
1：{Φ｝
2：{Φ,{Φ}}→{{Φ}}（一番右以外のΦを除く。{}は2重）
3：{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}}→{{{Φ}}}（一番右以外のΦを除くことを繰返す）
・
・
n：{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},・・}→{・・{Φ}・・}（一番右以外のΦを除くことを繰返す。{}はn重）
・
・
ω：N＝{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},・・・}→{・・・{Φ}・・・}（一番右以外のΦを除くことを繰返す。{}はω重）
自然数 ノイマン構成の集合Nから、{・・・{Φ}・・・}（{}はω重）なる集合が取り出せる
これが、ツェルメロ構成のω {・・・{Φ}・・・}（{}はω重）に相当しますね
つまり、ノイマン構成とツェルメロ構成とは、一対一に対応していますよ。当たり前ですが（＾＾
なので、ノイマン構成でωが可能なら、ツェルメロ構成でそれに相当する集合ωが存在し得るのです
ここで、
”（一番右以外のΦを除くことを繰返す。{}はn重）”とか
”（一番右以外のΦを除くことを繰返す。{}はω重）”とかは
分出公理（下記）を（繰り返し）使うと思います
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ペアノの公理
(抜粋)
この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる[1]。
外部ﾘﾝｸ:tech-blog.rei-frontier.jp
Rei Frontier Tech Blog
2017-11-02
ZFC公理系について：その1
(抜粋)
分出公理と共通部分
次の公理を導入しましょう。
(Set6') 分出公理
∀a∃b∀x(x∈b⇔x∈a∧P(x)).
"普通の言葉"で述べると、
「任意の集合aに対して、P(x)が成り立つようなaの元xの全体からなるaの部分集合bが存在する」といえます。
番号にダッシュ'がついているのは、分出公理は後々に出てくる公理から証明されるので、ZFCに数える必要がないためです。
外延性公理によってこのようなbは確定し、
{x∈a?P(x)}
と表されます。
(引用終り)
50(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)15:07 ID:JrhjRl4x(20/46) AAS
>>46
＞反駁するなら集合論の中でやってください
えーと、これなんかどうしょうか
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
順序数
(抜粋)
順序数の大小関係
任意の順序数 α, β, γ に対して次が成り立つことが示される：
α not∈ α,
α ∈ β かつ β ∈ γ ⇒ α ∈ γ,
α ∈ β または α = β または β ∈ α 。
そこで、α ∈ β のとき β は α より大きいといい、α < β と書く。
この定義と順序数の要素はまた順序数であるという性質から、すべての順序数は自分自身より小さな順序数全体の集合と等しいと言うことができる。
ω より小さな順序数（すなわち自然数）を有限順序数と呼び、ω 以上の（すなわち ω と等しいか ω より大きい）順序数を超限順序数と呼ぶ。
順序数の大小関係に関して次が成り立つ：
5.順序数からなる空でない集合には必ず最小元が存在する。
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。
そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。
その後、それらの最小上界（後に ω + ω と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く。
だがそれで終わりではない。
無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、... のように順序数の列は"永遠に"続いていくのである。
51(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)15:11 ID:JrhjRl4x(21/46) AAS
>>49
>◆e.a0E5TtKEさん、あなたの躓いた石を見つけましたよ
>N={Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},・・・}に一番右の要素は存在しません
いえいえ
極限ですよ
有限の
n：{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},・・}→{・・{Φ}・・}（一番右以外のΦを除くことを繰返す。{}はn重）
ここで、n→∞とする
n→∞の極限を正統化するのが、無限公理でしょ（＾＾
n→∞の極限が分からないと、>>42の極限順序数 ωが集積点であるということが理解できない
52(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)15:17 ID:JrhjRl4x(22/46) AAS
>>42
補足します
閉区間[0,1]内の数列
0=1-1/1,1-1/2,1-1/3,・・,1-1/n,・・
を考えます。n→∞で、1-1/n→1に収束します。そして、[0,1]の点1は、集積点です
１）nが任意の自然数では、数列は、半開区間[0,1 ）内です
２）nが自然数Nの全ての要素を渡りきって、ωに到達したときに、1-1/n→1に到達します
３）任意の1-1/nから点1の間に、無数の数列を構成する点があるということ
53(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)15:26 ID:JrhjRl4x(23/46) AAS
>>4
（再録）
なお、議論の前提として、ある程度、標準的に認められている現代数学の成果
テキストや、ウェブサイトにある、現代数学の成果は認めるものとしましょう
（そうしないと、全てを公理からの構成や厳密な証明を求めるようなことをすると、余白が足りない（時間も足りない））
(引用終り)
これ思い出しておいてくださいね
それで
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
極限順序数
任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω
(抜粋)
特徴付け
極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる:
・順序数全体の成す類（クラス）において順序位相に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
集積点/極限点
(抜粋)
集積点あるいは極限点は、位相空間 X の部分集合 S に対して定義される概念
定義
位相空間 X の部分集合 S に対し、X の点 x が S の集積点であるとは、x を含む任意の開集合が少なくとも一つの x と異なる S の点を含むことを指す
この条件は T1-空間においては、x の任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である
(引用終り)
これ、認めましょうね
超限順序数 ωが、極限点であること、任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値であること
だから、超限順序数 ωから、任意の有限順序数ｎの間には、「S の点を無限に含む」つまり、無限の順序数がある
54(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)15:35 ID:JrhjRl4x(24/46) AAS
>>50 >>53
補足します
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
順序数
(抜粋)
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。
そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。
その後、それらの最小上界（後に ω + ω と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く。
だがそれで終わりではない。
無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、... のように順序数の列は"永遠に"続いていくのである。
(引用終り)
このような、順序数の無限の列が、ZFCで構成できる
多分、ノイマン宇宙とかですかね。あるいは、到達不能な巨大基数か（＾＾
で、例えば、最小の超限順序数 ωなどから、
下の有限順序数ｎの世界へ行くのに
無限上昇列を逆に辿れば、無限に降下する列になる
でも、これを正則性公理で禁止するということはおかしいですよ
つまり、正則性公理のいう無限降下列禁止と、
超限順序数 ωなどから無限上昇列を逆に辿る話とは別ものと考えざるをえないということ
61(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)15:58 ID:JrhjRl4x(25/46) AAS
>>54 追加
さて
・正則性公理では、「無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ は存在しない」と規定するが
・順序数では、「順序数からなる空でない集合には必ず最小元が存在する」
一方
「0, 1, 2, 3, ............, ω」
「すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である」
（ここでノイマン構成では
0∈1∈2∈ 3∈ ............∈ω となる順序が形成されている）
となる
・二つを比較すると、
正則性公理の無限下降列には、最小元が存在しない
順序数の無限下降列には、最小元が存在する
という違いがある
これ、大きなポイントでしょうね（＾＾
・あとは、これをどう解釈するのかだけです
１）順序数の無限下降列には、最小元が存在するから、もともと、正則性公理には反していない
２）無限列が、極限順序数ωなどを跨ぐ場合は、除外（ωは集積点ですから、跨げば必ず無限列を成す）
３）クラスの違いで考える。有限順序数の集合の属するクラスと、ωの集合の属するクラスとでは
クラスが別で、クラスを跨ぐ数列には、正則性公理は適用できないと考える（∵ 元々ZFCは、クラスを扱えない）
この１）〜３）のどれか（あるいは全て）
こんなところじゃないでしょうか
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
正則性公理
(抜粋)
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。
・任意の空でない集合xに対して、∃y∈x,x∩y=0
・∀xについて、∈がx上well-founded
・∀xについて、無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ は存在しない。
つづく
62: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)15:58 ID:JrhjRl4x(26/46) AAS
>>61
つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
順序数
(抜粋)
順序数の大小関係に関して次が成り立つ：
5.順序数からなる空でない集合には必ず最小元が存在する。
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。
そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。
(引用終り)
以上
64: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)16:00 ID:JrhjRl4x(27/46) AAS
>>56
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ようこそ
お元気そうでなによりです
68(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)16:09 ID:JrhjRl4x(28/46) AAS
>>57 >>60
あなたが必死に否定しようとしている
無限に関する
{・・・{Φ}・・・}（{}はω重）
なる集合の存在に対する論法
まるで、哀れな素人さんの論法そっくりですよ
70(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)16:20 ID:JrhjRl4x(29/46) AAS
>>65
>順序数の順序の列と∈列は異なります
ノイマン構成では、順序数の順序の列と∈列は一致するのでは？（＾＾
下記より
”集合 x について以下はZFで同値である。
・x は順序数である。
・x は推移的集合であり帰属関係 ∈ に関する整列集合である。 (ジョン・フォン・ノイマンの定義)[3][4]”
とありますよ
一方、ツェルメロ構成では、一致しない。そこは批判されています（＾＾
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org順序数
順序数
定義
整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする関数 G A,<を超限帰納法によって
GA,< の値域 ran(GA,<) を (A, <) の順序数といい、これを ord(A, <) で表す。ある整列集合の順序数であるような集合を順序数と呼ぶ[2]。
順序数の特徴付け
集合 x について以下はZFで同値である。
・x は順序数である。
・x は推移的集合であり帰属関係 ∈ に関する整列集合である。 (ジョン・フォン・ノイマンの定義)[3][4]
注釈
2．^ 順序数は本来、上で述べた定義とは異なる仕方で定義されていた。
その定義とは、順序集合全体の集まりを「同型である」という "同値関係" によって類別したとき、順序集合 (A, <) の "同値類" を (A, <) の順序型（order type）と呼び、特に整列集合の順序型を順序数と呼ぶというものである。
ところが現代の標準的な集合論においては、A が空集合でない限り (A, <) と同型な順序集合全体の集合といったものは存在しないことが示される。したがって、このような順序数の定義の仕方は正当な方法であるとは認められない。
これを克服するために考えられたのが上で述べた定義であり、現在は上の定義（あるいはそれと同値な定義）が広く用いられている。
だが、順序型というアイデア自体が排除されたわけではない。順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できるということが知られている。
ただし、整列集合の順序型と順序数は別のものになる。
詳細は「順序型」を参照。
(引用終り)
72(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)16:23 ID:JrhjRl4x(30/46) AAS
分出公理、冪集合公理、無限公理、貼っておきます（＾＾
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
公理的集合論
(抜粋)
分出公理
置換公理はフレンケルによって次の分出公理の代わりにおかれたものである（1922年）。分出公理は上に述べた ZF の公理から示すことができる。
分出公理 任意の集合 X と A を自由変数として使用しない論理式 ψ(x) に対して、X の要素 x で ψ(x) をみたすような x 全体の集合が存在する：
∀X∃A∀x(x∈A←→(x∈X∧ψ(x)))。
この公理は、論理式 ψ をパラメータとする公理図式である。
論理式 ψ を決めたとき、X に対して分出公理が存在を主張する集合はただ一つであることが外延性の公理から言えるので、
これを {x∈X｜ψ(x)}で表す。
{x∈X｜x∈Y} を X∩Yで表す。
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冪集合公理
(抜粋)
略
A の冪集合 P(A)
この公理を通常の言葉で言い直すと、次のようになる：
任意の集合 A が与えられたとき、任意の集合 B が P(A) に属するようなある集合 P(A) が存在するための必要十分条件は、B のすべての元が A の元でもあることである。
部分集合関係は公理的に定義されるため、形式言語において部分集合は用いられない。＊）
外延性公理により、上記の集合は一意であり、このことはすべての集合に冪集合が存在することを意味する。
冪集合公理は集合論のほとんどの公理化において現れる。それは一般に問題を生じさせるものではないが、構成的集合論（英語版）においては可術性（predicativity）に関する懸念を解消するためにより弱いバージョンの冪集合公理が好まれている。
(引用終り)
注：＊）ここ直訳ぽいけど、要するに、冪集合公理の記述には、”部分集合”という用語は使わないってことです
つづく
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