[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む76 (1002ﾚｽ)
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602(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/09/01(日)22:28 ID:dvD9YE7H(37/39) AAS
>>601
>>601
分かってないな（＾＾
>到達しないから無限公理が必要なんだよ
中学数学からの常識でしょ？ｗ
「無限公理」は、デフォルトであり、”標準”です
「有限主義」を唱えない限り、”標準”です
数学的帰納法＋「無限公理」は、デフォルトであり、”標準”です
分かってないな
下記よめ
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
数学的帰納法
(抜粋)
数学的帰納法の形式的な取り扱い
従って有限回のステップでは有限個の n に対してしか P(n) を結論づける事ができず、「無限個ある自然数全てに対して P(n) が成り立つ」という数学的帰納法の結論について有限の長さの証明が与えられたとはいえない。これが前述した直観的説明におけるギャップである。
そこで、ペアノ算術などの形式的な体系では、数学的帰納法を証明に用いてよいことが公理として仮定されるのが普通である。つまり、形式的には、自然数の性質から数学的帰納法の正しさが証明できるのではなく、逆に自然数の本質的な性質を与える推論規則として数学的帰納法が仮定される、ということになる。
つづく
603: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/09/01(日)22:28 ID:dvD9YE7H(38/39) AAS
>>602
同値な定式化
集合論の枠組みでは、数学的帰納法の原理を次のように表すことができる[1]。
自然数 N の部分集合 A が空でないとき、A に属する最小の自然数が存在する。
この原理からもともとの形の数学的帰納法が導かれることは，次のようにして示せる。帰納法の仮定 1., 2. を満たす論理式 P(n) が与えられたとする。自然数の部分集合 A を A = { n ∈ N : ¬ P(n) } によって定める。この A が空集合であるということを示したい。
そうでないと仮定すると、Aに属する最小の自然数 a を取ることができるが、P(0)は成り立っていることから a は0でない。従って、ある自然数 b について a = b + 1となっているが、a は A に属する最小の自然数であったということから、b not∈ A であり、P(b) は成り立つことになる。帰納法の仮定から P(a) も成り立つことになり、これは矛盾である。
逆に、「n 以下の任意の自然数 k について k not∈ A」という形の命題 P(n) を考えることで、数学的帰納法から上の原理を導くことができる。A を自然数のある集合とし、A に属する最小の自然数が存在しないと仮定する。
もし P(0) が成り立たないと、0 が A に属する最小の自然数となって仮定に反するから、P(0) は成り立つ。P(n) が成り立つとし、もし P(n + 1) が成り立たないとすると、n + 1 が A の最小の自然数となって仮定に反するから、P(n + 1) も成り立つ。よって数学的帰納法により A は空となる。
(引用終り)
以上
607(2): 2019/09/01(日)23:23 ID:IVtPZNby(8/8) AAS
>>602
> 「無限公理」は、デフォルトであり
だから箱の数を数学的帰納法で無限個に増やすのはナンセンスだと
いっているのだが
> 中学数学からの常識でしょ？ｗ
スレ主がその常識に従っていないんだよ
{X1}, {X1, X2}, ... , {X1, X2, ... , Xn}, ... (**)と数学的帰納法で
やっていっても{X1, X2, ... , Xn, ... }は作れないんだよ
(**)の末尾の , ... (= 無限にという意味)は帰納法では{}の中に入れられない
自然数の場合は
{0}, {0, 1}, ... , {0, 1, ... , n}, ... と同様の形になるが
1 = {0}, 2 = {0, 1}, ... , n + 1 = {0, 1, ... , n} と定義できるから
{1, 2, ... , n, ... } = (無限集合)N と定義できる
ただしNは自然数全体の集合であって自然数ではない
625(1): 2019/09/02(月)19:24 ID:WeHO/pQm(2/2) AAS
>>602
>>数学的帰納法＋「無限公理」は、デフォルトであり、”標準”です
既に>>623より、数学的帰納法では無限公理は証明できないことを示したｗ
有限集合論では無限公理の否定が成り立つ つまり
「任意の集合ｓは、｛｝を要素としないか
あるｘが存在して、ｘを要素としてもｘ∪｛ｘ｝が要素でない」
無限公理がデフォルトで標準とかわめくのは
平行線公理がデフォルトで標準とか
同時の絶対性がデフォルトで標準とか
わめく偏執狂と同じ精神構造
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