[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む76 (1002ﾚｽ)
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603: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/09/01(日)22:28 ID:dvD9YE7H(38/39) AA×
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603: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/09/01(日) 22:28:56.53 ID:dvD9YE7H >>602 同値な定式化 集合論の枠組みでは、数学的帰納法の原理を次のように表すことができる[1]。 自然数 N の部分集合 A が空でないとき、A に属する最小の自然数が存在する。 この原理からもともとの形の数学的帰納法が導かれることは，次のようにして示せる。帰納法の仮定 1., 2. を満たす論理式 P(n) が与えられたとする。自然数の部分集合 A を A = { n ∈ N : ¬ P(n) } によって定める。この A が空集合であるということを示したい。 そうでないと仮定すると、Aに属する最小の自然数 a を取ることができるが、P(0)は成り立っていることから a は0でない。従って、ある自然数 b について a = b + 1となっているが、a は A に属する最小の自然数であったということから、b not∈ A であり、P(b) は成り立つことになる。帰納法の仮定から P(a) も成り立つことになり、これは矛盾である。 逆に、「n 以下の任意の自然数 k について k not∈ A」という形の命題 P(n) を考えることで、数学的帰納法から上の原理を導くことができる。A を自然数のある集合とし、A に属する最小の自然数が存在しないと仮定する。 もし P(0) が成り立たないと、0 が A に属する最小の自然数となって仮定に反するから、P(0) は成り立つ。P(n) が成り立つとし、もし P(n + 1) が成り立たないとすると、n + 1 が A の最小の自然数となって仮定に反するから、P(n + 1) も成り立つ。よって数学的帰納法により A は空となる。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566715025/603
同値な定式化 集合論の枠組みでは数学的帰納法の原理を次のように表すことができる 自然数 の部分集合 が空でないとき に属する最小の自然数が存在する この原理からもともとの形の数学的帰納法が導かれることは次のようにして示せる帰納法の仮定 を満たす論理式 が与えられたとする自然数の部分集合 を によって定めるこの が空集合であるということを示したい そうでないと仮定するとに属する最小の自然数 を取ることができるがは成り立っていることから はでない従ってある自然数 について となっているが は に属する最小の自然数であったということから であり は成り立つことになる帰納法の仮定から も成り立つことになりこれは矛盾である 逆に 以下の任意の自然数 について という形の命題 を考えることで数学的帰納法から上の原理を導くことができる を自然数のある集合とし に属する最小の自然数が存在しないと仮定する もし が成り立たないと が に属する最小の自然数となって仮定に反するから は成り立つ が成り立つとしもし が成り立たないとすると が の最小の自然数となって仮定に反するから も成り立つよって数学的帰納法により は空となる 引用終り 以上

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