現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む75

[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む75 (1002ﾚｽ)
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5: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/08/15(木) 21:42:57.41 ID:brP98meI

＜過去スレ＞
（そのままクリックで過去ログが読める。また、ネット検索でも過去ログ結構読めます）
（数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。
High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。）
（が、最近関数論の芽茎層の理論との親和性に気付いたので、後でテンプレに入れます。（＾＾ ）
過去スレリンク集
（下記以外で抜けている分は、スレ68の https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560374890/4-6 ご参照 ）
74 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/
73 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1563282025/
72 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1562292879/
71 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/
70 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560684578/ 842 てへぺろ☆(・ω<)さん来訪
69 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560510589/
68 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560374890/ 前スレ
64 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1556253966/ 868-869 時枝記事否定派のAlexander Pruss先生が、意外に大物で数学のプロであること判明。勝負あり～！（＾＾
47 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/ 時枝記事関連資料豊富
46 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/ ＜スレ46の422に書いた定理“系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない”＞
45 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1508931882/ 哀れな素人さん 79-92
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1565872684/5

339: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/08/18(日) 10:26:38.41 ID:CwMq/yUw

>>320
>http://blog.thetheorier.com/entry/emptyset
>空集合はなぜ任意の集合の部分集合なのか もう一人のＹ君 20160429

これ読んでみたけど
けっこう無茶苦茶書いていて、まさに宗教ですな（＾＾；

まあ、”空集合はなぜ任意の集合の部分集合なのか”について
　>>311の
https://padic.wicurio.com/index.php?%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%BE%A9
Encyclopedia of P-adic Numbers
Top > 自然数の定義
から
”定義1（１桁の自然数の定義）
0:=Φ 1:=0∪{0} 2:=1∪{1} 3:=2∪{2} 4:=3∪{3}
5:=4∪{4} 6:=5∪{5} 7:=6∪{6} 8:=7∪{7} 9:=8∪{8}
空集合の存在公理から0は集合であり、また任意の集合Sに対してS∪{S}が集合をなすことから、上で定義した0から9までの記号は全て集合を表します。
この定義の良いところの１つは、0の要素が０個、1の要素が１個、2の要素が２個、3の要素が３個、のように元の「個数」がその自然数の記号と一致していることです。”

を採用します。

そして、自然数の和が普通に定義されたとします（ぐだぐだ書きません）
（簡単にいうと、和集合として定義されるとします）
任意の自然数nに対して、
n＋0＝n
和集合で書くと
n∪Φ＝n

数学ではよく使う頻出テクニックで
n∪Φ＝nは
n∪Φ→n
n∪Φ←n
です
n→ n＝n∪Φ → Φ⊂ｎ
です
つまり、任意の自然数nには、必ず空集合Φを含むまでは言えました

同じ要領で、
任意の集合Aに対して、A∪Φ＝A
が言えるので、A→ A＝A∪Φ → Φ⊂A
が分り易いかな（＾＾

下記の背理法もよく見ますが、なんだかなー

http://herb.h.kobe-u.ac.jp/nst/node5.html
1.4 空集合 TAKAHASHI Makoto
(抜粋)
定理 1.51
空集合は任意の集合の部分集合である．すなわち，任意の集合 Aに対し， Φ ⊆ Aが成り立つ．

証明： 背理法で示す．
Φ ⊆ Aとなる集合 Aが存在したとする．
このとき， x ∈ Φ ∧ x not∈ Aとなる元 x が存在することになるが，これは空集合の定義に反する．
よって，任意の集合 Aに対し， Φ ⊆ Aが成り立つ．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1565872684/339

546: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/08/20(火) 23:21:27.41 ID:FmpY0/8E

>>545
つづき

Indeed, we can say something stronger: the set S is not a measurable set, and consequently Pr(p < q) is not defined.
If it were, then the conditions for applying Fubini’s Theorem would be satisfied.
We could compute the measure of S by iterated integrals and it would not matter whether we used horizontal or vertical cross-sections.
These two ways of computing the integral would give the same result.
We know that they do not: The measure of each vertical cross-section is 0, while the measure of each horizontal cross-section is 1. Hence, S is not measurable.7

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%93%E3%83%8B%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
フビニの定理

数学においてフビニの定理（フビニのていり、英: Fubini's theorem）とは、Guido Fubini (1907) によって導入された、逐次積分による二重積分の計算が可能となるための条件に関する一結果である。すなわち、次のような計算が可能となる。

この結果、積分の順序（英語版）は逐次積分において変えることが可能となる。フビニの定理は、ある二変数函数が可積分であれば、上記のような二回の繰り返しの積分は等しいことを意味する。Leonida Tonelli (1909) によって導入されたトネリの定理（Tonelli's theorem）も同様のものであるが、その定理が適用される函数は可積分ではなくとも非負であればよい。

空間が σ-有限でないなら、フビニの定理が成立しないような異なる積測度が存在する可能性もある。例えば、ある積測度と非負可測函数 f に対して、|f| の二重積分はゼロとなるが二つの逐次積分は異なる値となることが起こり得る（後述の、反例に関する節を参照）。

反例
次の例では、フビニの定理およびトネリの定理のいくつかの仮定が満たされないとき、どのようにして定理が成立しないかを示す。

非可測函数に対してフビニの定理が成立しないこと
たとえ |f| が可積分でいずれの逐次積分が well-defined であっても、非可測であればフビニの定理が成立しないことがある

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1565872684/546

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