現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む75

[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む75 (1002ﾚｽ)
上下前次 1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

11: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/08/15(木) 22:47:40.52 ID:brP98meI

>>10
つづき

例
1.離散距離は超距離である。
2.p-進数全体の成す集合は完備超距離空間を成す。
3.適当な字母集合 Σ 上の任意の（つまり有限か無限かに関わらない）長さの語からなる集合を考える。二つの異なる語に対し、それらの語が初めて異なる文字となる位置が n であるとき、それらの間の距離を 2?n と定めて得られる距離函数は超距離である。
4.適当な字母集合 Σ 上の、終端が始端と繋がった長さ n の語の集合は、p-close 距離について超距離空間となる。ここで二つの語 x と y が p-close であるとは、p (p < n) 個の連続する文字からなる任意の部分文字列が x と y において同じ回数（0 の場合もある）現れることをいう[3]。
5.r = (r*n) を上から単調に 0 に収斂する実数列とするとき、|x|r := lim sup n→∞ |xn|^(r*n) は、それが有限の値となる複素数列 x = (xn) (|x|r < ∞) 全体の成す空間上の超距離を導く（斉次性がないため、|?|r は半ノルムではないことに注意されたい。
途中の項 r*n が 0 となることも許す場合には、やや稀な規約だが 0^0 = 0 であるものとする）。
6.G が辺重み付き無向グラフであり、すべての辺の重みは正で、d(u,v) は u と v の間のミニマックス経路（英語版）の重み（すなわち、重みを最小化するように経路を選んだときの、ある辺の最大の重み）であるなら、d によって測られる距離に関してそのグラフの頂点は超距離空間を構成する。すべての有限の超距離空間は、この方法で表現されうる[4]。

応用
収縮写像は、計算の最後の結果を近似する方法として知られている（バナッハの不動点定理によってそのような結果の存在は保証される）。
同様の考えは、領域理論でも用いられる。p-進解析では、p-進距離が超距離の性質を持つことが重きを以って用いられる（例えば、p-進の解析函数は、複素解析における振る舞いとは異なり、解析接続によって定義域を真に延長することができない）。
応用例は、固体物理学、すなわちジョルジオ・パリージ（英語版）と共同研究者によるレプリカ理論[5]におけるスピングラスの扱いや、非周期的な固体の理論においても見られる[6]。
超距離はまた、UPGMAやWPGMAを使った系統樹の構成や分類学において利用されている[6]。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1565872684/11

13: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/08/15(木) 23:27:45.74 ID:brP98meI

スレ74 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/992
サルが1つ覚えで、
アルキメデス距離のみしか考えていないみたいだったのでｗ
非アルキメデス距離の例を出しましたｗｗ（＾＾；

（ご参考：下記より）
”有理数体 Q の一点コンパクト化（英語版）は (0)、(1) を満たすが (2)、(3) を満たさない”
”ハウスドルフだが局所コンパクトにならない例
・有理数の空間 Q（に R の通常の位相からの相対位相を入れたもの）は、その任意のコンパクト部分集合が内点を持たないから、それをコンパクト近傍として持つ点も存在しない。”
”ハウスドルフでない局所コンパクト空間の例
・有理数の空間 Q の一点コンパクト化（英語版）はコンパクトゆえ、各点が（閉）近傍を持つという意味では局所コンパクトだが、コンパクト近傍からなる近傍基を持つという意味での局所コンパクト性は持たない。”
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%80%E6%89%80%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93
局所コンパクト空間
(抜粋)
数学において、位相空間 X が局所コンパクト（きょくしょコンパクト、英: locally compact[1]）というのは、雑に言って、X の各点の近傍ではコンパクトであるという性質をもつことである。
位相空間がコンパクトであるための条件は非常に厳しく、コンパクトな空間が数学において特殊な位置を占めているのに対して、数学で扱う重要な位相空間の多くが局所コンパクトである。
特に局所コンパクトなハウスドルフ空間は数学の中で重要な位置を占める。

3 性質
3.1 無限遠点
3.2 局所コンパクト群

定義
位相空間 X が局所コンパクトであるとは、任意の点 x ∈ X に対して、x の近傍 U でコンパクトなものが存在することである。
これと類似した以下の様な定義が採用されることもある。
0. 任意の点 x ∈ X に対して、x の近傍 U でコンパクトなものが存在する。
1. 任意の点 x ∈ X に対して、x の閉近傍 U でコンパクトなものが存在する。
2. 任意の点 x ∈ X に対して、x のコンパクトな近傍が x の近傍基をなす。
3. 任意の点 x ∈ X に対して、x のコンパクトな閉近傍が x の近傍基をなす。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1565872684/13

17: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/08/15(木) 23:54:01.09 ID:brP98meI

>>16
つづき

例
以下は完全不連結空間の例である。

・離散空間
・有理数全体
・無理数全体
・p 進数全体や p 進整数全体、より一般に、射有限群
・カントール集合
・ベール空間
・ゾルゲンフライ直線（英語版）
・0次元 T1 空間
・extremally disconnected（英語版） なハウスドルフ空間
・ストーン空間
・Knaster?Kuratowski fan（英語版） は連結空間であるが、一点を取り除くと完全不連結空間になる
・エルデシュ空間（英語版）  ｌ^p( Z )∩Q^ω は次元 0 でない完全不連結空間である

性質
・完全不連結空間の部分空間、積、余積は完全不連結である。
・完全不連結空間は、一元集合が閉であるので、T1 空間である。
・完全不連結空間の連続像は完全不連結であるとは限らない。実際、すべてのコンパクト距離空間はカントール集合の連続像である。
・局所コンパクトハウスドルフ空間が 0 次元 であることと完全不連結であることは同値である。
・すべての完全不連結コンパクト距離空間は、離散空間の可算個の積の部分集合に同相である。
・すべての開集合が閉集合でもあるということは一般には正しくない。
・すべての開集合の閉包が開であるということは一般には正しくない、つまり、すべての完全不連結ハウスドルフ空間が extremally disconnected であるわけではない。

不連結空間を構成
X を任意の位相空間とする。関係 〜 を x 〜 y ⇔ y ∈ conn?(x) によって定める。
（conn?(x) は x を含む最大の連結部分集合を表す。）
これは明らかに同値関係である。
X?/?〜 に商位相、すなわち、写像  m： x→  conn (x) が連続になる最も粗い位相を与える。
少し考えれば X?/?〜 が完全不連結であることが分かる。
さらに次の普遍性が成り立つ。  f： X→ Y が完全不連結空間への連続写像であれば、
一意的な連続写像  fv： (X/〜 )→ Yによって  f=fv ◯ m と分解する。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1565872684/17

22: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/08/16(金) 07:37:43.12 ID:9z79us+y

>>13 追加補足

（参考）
https://www.math.csi.cuny.edu/~ikofman/top_hw2.pdf
Homework 2
Topology I, Math 70700, Fall 2015
Instructor: Ilya Kofman
Department of Mathematics
College of Staten Island
City University of New York
(抜粋)
Problems
2. Consider the rationals Q ⊂ R with the usual subspace topology.
(a) Show that Q is not locally compact.
(b) Show that the one-point compactification CQ is not Hausdorff.

https://math.stackexchange.com/questions/1886801/show-that-the-one-point-compactification-of-mathbbq-is-not-hausdorff
Show that the one point compactification of Q is not Hausdorff asked Aug 9 '16 at 8:15 Olorin
(抜粋)
https://en.wikipedia.org/wiki/Alexandroff_extension
Definition: one point compactification
Let X be any topological space, and let ∞ be any object which is not already an element of X. Put X*=X∪{∞}, and topologize X* by taking as open sets all the open subsets U of X together with all subsets V which contain ∞ and such that X＼V is closed and compact
Show that the one point compactification of Q which is Q* is Not Hausdorff.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%89%E3%83%AB%E3%83%95%E7%A9%BA%E9%96%93
ハウスドルフ空間
(抜粋)
数学におけるハウスドルフ空間（ハウスドルフくうかん、英: Hausdorff space）とは、異なる点がそれらの近傍によって分離できるような位相空間のことである。
これは分離空間(separated space)またはT2 空間とも呼ばれる。位相空間についてのさまざまな分離公理の中で、このハウスドルフ空間に関する条件はもっともよく仮定されるものの一つである。
ハウスドルフ空間においては点列（あるいはより一般に、フィルターやネット）の極限の一意性が成り立つ。

代数学におけるザリスキ位相を考えた代数多様体や、可換環のスペクトルなどの位相空間はしばしばハウスドルフ空間にならない。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1565872684/22

上下前次 1-新書関写板覧索設栞歴

あと 962 ﾚｽあります
ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ

ぬこの手ぬこTOP 0.023s