[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む75 (1002ﾚｽ)
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11: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/15(木)22:47 ID:brP98meI(11/17) AAS
>>10
つづき
例
1.離散距離は超距離である。
2.p-進数全体の成す集合は完備超距離空間を成す。
3.適当な字母集合 Σ 上の任意の（つまり有限か無限かに関わらない）長さの語からなる集合を考える。二つの異なる語に対し、それらの語が初めて異なる文字となる位置が n であるとき、それらの間の距離を 2?n と定めて得られる距離函数は超距離である。
4.適当な字母集合 Σ 上の、終端が始端と繋がった長さ n の語の集合は、p-close 距離について超距離空間となる。ここで二つの語 x と y が p-close であるとは、p (p < n) 個の連続する文字からなる任意の部分文字列が x と y において同じ回数（0 の場合もある）現れることをいう[3]。
5.r = (r*n) を上から単調に 0 に収斂する実数列とするとき、|x|r := lim sup n→∞ |xn|^(r*n) は、それが有限の値となる複素数列 x = (xn) (|x|r < ∞) 全体の成す空間上の超距離を導く（斉次性がないため、|?|r は半ノルムではないことに注意されたい。
途中の項 r*n が 0 となることも許す場合には、やや稀な規約だが 0^0 = 0 であるものとする）。
6.G が辺重み付き無向グラフであり、すべての辺の重みは正で、d(u,v) は u と v の間のミニマックス経路（英語版）の重み（すなわち、重みを最小化するように経路を選んだときの、ある辺の最大の重み）であるなら、d によって測られる距離に関してそのグラフの頂点は超距離空間を構成する。すべての有限の超距離空間は、この方法で表現されうる[4]。
応用
収縮写像は、計算の最後の結果を近似する方法として知られている（バナッハの不動点定理によってそのような結果の存在は保証される）。
同様の考えは、領域理論でも用いられる。p-進解析では、p-進距離が超距離の性質を持つことが重きを以って用いられる（例えば、p-進の解析函数は、複素解析における振る舞いとは異なり、解析接続によって定義域を真に延長することができない）。
応用例は、固体物理学、すなわちジョルジオ・パリージ（英語版）と共同研究者によるレプリカ理論[5]におけるスピングラスの扱いや、非周期的な固体の理論においても見られる[6]。
超距離はまた、UPGMAやWPGMAを使った系統樹の構成や分類学において利用されている[6]。
(引用終り)
12: 2019/08/15(木)23:09 ID:eHJsXL8K(1) AAS
スレ主、問題に答えられずコピペ連投で誤魔化すの図ｗ
13(5): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/15(木)23:27 ID:brP98meI(12/17) AAS
スレ74 2chｽﾚ:math
サルが1つ覚えで、
アルキメデス距離のみしか考えていないみたいだったのでｗ
非アルキメデス距離の例を出しましたｗｗ（＾＾；
（ご参考：下記より）
”有理数体 Q の一点コンパクト化（英語版）は (0)、(1) を満たすが (2)、(3) を満たさない”
”ハウスドルフだが局所コンパクトにならない例
・有理数の空間 Q（に R の通常の位相からの相対位相を入れたもの）は、その任意のコンパクト部分集合が内点を持たないから、それをコンパクト近傍として持つ点も存在しない。”
”ハウスドルフでない局所コンパクト空間の例
・有理数の空間 Q の一点コンパクト化（英語版）はコンパクトゆえ、各点が（閉）近傍を持つという意味では局所コンパクトだが、コンパクト近傍からなる近傍基を持つという意味での局所コンパクト性は持たない。”
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
局所コンパクト空間
(抜粋)
数学において、位相空間 X が局所コンパクト（きょくしょコンパクト、英: locally compact[1]）というのは、雑に言って、X の各点の近傍ではコンパクトであるという性質をもつことである。
位相空間がコンパクトであるための条件は非常に厳しく、コンパクトな空間が数学において特殊な位置を占めているのに対して、数学で扱う重要な位相空間の多くが局所コンパクトである。
特に局所コンパクトなハウスドルフ空間は数学の中で重要な位置を占める。
3 性質
3.1 無限遠点
3.2 局所コンパクト群
定義
位相空間 X が局所コンパクトであるとは、任意の点 x ∈ X に対して、x の近傍 U でコンパクトなものが存在することである。
これと類似した以下の様な定義が採用されることもある。
0. 任意の点 x ∈ X に対して、x の近傍 U でコンパクトなものが存在する。
1. 任意の点 x ∈ X に対して、x の閉近傍 U でコンパクトなものが存在する。
2. 任意の点 x ∈ X に対して、x のコンパクトな近傍が x の近傍基をなす。
3. 任意の点 x ∈ X に対して、x のコンパクトな閉近傍が x の近傍基をなす。
つづく
14(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/15(木)23:28 ID:brP98meI(13/17) AAS
>>13
つづき
ハウスドルフ空間ではこれらは全て同値になる。
(0) はここでの定義であり、この中で一番弱く (1)、(2)、(3) は (0) を含意している。 (3) はこの中で一番強く (0)、(1)、(2) を含意している。
無限集合に補有限位相を入れたものは (0)、(1)、(2) を満たすが (3) を満たさない。
有理数体 Q の一点コンパクト化（英語版）は (0)、(1) を満たすが (2)、(3) を満たさない。
自然数全体 N0 に「開 ⇔ 0を含む又は空」となる位相を入れた空間は (0)、(2) を満たすが (1)、(3) を満たさない。
前述の例の２つ目と３つ目の空間の直和は (0) を満たすが (1)、(2)、(3) を満たさない。
例とそうでない例
コンパクトハウスドルフな例
任意のコンパクトハウスドルフ空間はもちろん局所コンパクトであり、コンパクト空間の例はコンパクト空間の項目へ詳細を譲るがここでは
・単位閉区間 [0,1];
・任意の閉位相多様体;
・カントール集合;
・ヒルベルト立方体
などを挙げておこう。
つづく
15: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/15(木)23:28 ID:brP98meI(14/17) AAS
>>14
つづき
コンパクトでない局所コンパクトハウスドルフ空間の例
・p-進数の空間 Qp は、カントール集合から一点を除いたものに同相ゆえ、局所コンパクトである。従って、局所コンパクト空間は古典的な解析学におけると同様に p-進解析においても有用である。
ハウスドルフだが局所コンパクトにならない例
後の節において述べるとおり、ハウスドルフ空間が局所コンパクトならば、それは必ずチホノフ（英語版） である（チホノフでないハウスドルフ空間の例については該当の項を参照のこと）が、逆に局所コンパクトでないようなチホノフ空間の例は存在する。
・有理数の空間 Q（に R の通常の位相からの相対位相を入れたもの）は、その任意のコンパクト部分集合が内点を持たないから、それをコンパクト近傍として持つ点も存在しない。
ハウスドルフでない局所コンパクト空間の例
・有理数の空間 Q の一点コンパクト化（英語版）はコンパクトゆえ、各点が（閉）近傍を持つという意味では局所コンパクトだが、コンパクト近傍からなる近傍基を持つという意味での局所コンパクト性は持たない。
(引用終り)
以上
16(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/15(木)23:53 ID:brP98meI(15/17) AAS
>>13 追加参考
（参考：完全不連結空間 別の例は p-進数体 Qp で、代数的整数論において重要な役割を果たす ）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
完全不連結空間
位相空間論やそれに関わる分野において、完全不連結空間 (totally disconnected space) は非自明な連結部分集合を持たないという意味で最も不連結な位相空間である。
すべての位相空間において空集合と1点集合は連結である。完全不連結空間においてはこれらしか連結部分集合がない。
完全不連結空間の重要な例の1つはカントール集合である。
別の例は p-進数体 Qp で、代数的整数論において重要な役割を果たす。
目次
1 定義
2 例
3 性質
4 不連結空間を構成
5 参考文献
6 関連項目
定義
位相空間 X は、X の連結成分が一点集合であるときに、完全不連結 (totally disconnected) であるという。
つづく
17(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/15(木)23:54 ID:brP98meI(16/17) AAS
>>16
つづき
例
以下は完全不連結空間の例である。
・離散空間
・有理数全体
・無理数全体
・p 進数全体や p 進整数全体、より一般に、射有限群
・カントール集合
・ベール空間
・ゾルゲンフライ直線（英語版）
・0次元 T1 空間
・extremally disconnected（英語版） なハウスドルフ空間
・ストーン空間
・Knaster?Kuratowski fan（英語版） は連結空間であるが、一点を取り除くと完全不連結空間になる
・エルデシュ空間（英語版） ｌ^p( Z )∩Q^ω は次元 0 でない完全不連結空間である
性質
・完全不連結空間の部分空間、積、余積は完全不連結である。
・完全不連結空間は、一元集合が閉であるので、T1 空間である。
・完全不連結空間の連続像は完全不連結であるとは限らない。実際、すべてのコンパクト距離空間はカントール集合の連続像である。
・局所コンパクトハウスドルフ空間が 0 次元 であることと完全不連結であることは同値である。
・すべての完全不連結コンパクト距離空間は、離散空間の可算個の積の部分集合に同相である。
・すべての開集合が閉集合でもあるということは一般には正しくない。
・すべての開集合の閉包が開であるということは一般には正しくない、つまり、すべての完全不連結ハウスドルフ空間が extremally disconnected であるわけではない。
不連結空間を構成
X を任意の位相空間とする。関係 〜 を x 〜 y ⇔ y ∈ conn?(x) によって定める。
（conn?(x) は x を含む最大の連結部分集合を表す。）
これは明らかに同値関係である。
X?/?〜 に商位相、すなわち、写像 m： x→ conn (x) が連続になる最も粗い位相を与える。
少し考えれば X?/?〜 が完全不連結であることが分かる。
さらに次の普遍性が成り立つ。 f： X→ Y が完全不連結空間への連続写像であれば、
一意的な連続写像 fv： (X/〜 )→ Yによって f=fv ◯ m と分解する。
(引用終り)
以上
18: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/15(木)23:56 ID:brP98meI(17/17) AAS
>>17
＞X?/?〜 に商位相、すなわち、写像 m： x→ conn (x) が連続になる最も粗い位相を与える。
妙なところが文字化けしている
”?/?”で？の半角部分はスペースなんだけど、特殊文字なのか（＾＾；
まあ、原文見てください（＾＾
19: 2019/08/16(金)00:31 ID:W6QnSuYA(1/35) AAS
いまさら必死にコピペ連投したところで白紙回答は誤魔化せないｗ
20: 2019/08/16(金)06:37 ID:WjfkqcDK(1/40) AAS
スレ主は位相が全然わかってないね
コンパクト性と連結性は直接関係ないよ
コンパクトとか連結の定義を知らずに
ただ言葉の関係だけを見る「空中戦」だけ
やってるから地に足のつかない馬鹿になるｗ
21(8): 2019/08/16(金)06:40 ID:WjfkqcDK(2/40) AAS
スレ主に質問
・３進カントール集合を[0,1]と同相にする簡単な方法は？
22(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/16(金)07:37 ID:9z79us+y(1/5) AAS
>>13 追加補足
（参考）
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.csi.cuny.edu
Homework 2
Topology I, Math 70700, Fall 2015
Instructor: Ilya Kofman
Department of Mathematics
College of Staten Island
City University of New York
(抜粋)
Problems
2. Consider the rationals Q ⊂ R with the usual subspace topology.
(a) Show that Q is not locally compact.
(b) Show that the one-point compactification CQ is not Hausdorff.
外部ﾘﾝｸ:math.stackexchange.com
Show that the one point compactification of Q is not Hausdorff asked Aug 9 '16 at 8:15 Olorin
(抜粋)
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Definition: one point compactification
Let X be any topological space, and let ∞ be any object which is not already an element of X. Put X*=X∪{∞}, and topologize X* by taking as open sets all the open subsets U of X together with all subsets V which contain ∞ and such that X＼V is closed and compact
Show that the one point compactification of Q which is Q* is Not Hausdorff.
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ハウスドルフ空間
(抜粋)
数学におけるハウスドルフ空間（ハウスドルフくうかん、英: Hausdorff space）とは、異なる点がそれらの近傍によって分離できるような位相空間のことである。
これは分離空間(separated space)またはT2 空間とも呼ばれる。位相空間についてのさまざまな分離公理の中で、このハウスドルフ空間に関する条件はもっともよく仮定されるものの一つである。
ハウスドルフ空間においては点列（あるいはより一般に、フィルターやネット）の極限の一意性が成り立つ。
代数学におけるザリスキ位相を考えた代数多様体や、可換環のスペクトルなどの位相空間はしばしばハウスドルフ空間にならない。
23(2): 哀れな素人 2019/08/16(金)07:40 ID:ICTHoPFf(1/40) AAS
ID:WjfkqcDK
これはいうまでもなくアホのサル石(笑
前スレの珍答は何だ(笑
仕方がないから僕が答えてやろう(笑
まず>>988の質問だが、最初は｛｝で、
二回目も｛｝で、三回目も｛｝で、
何回やっても｛｝という空集合である(笑
だからこの時点で
現代数学の無限公理の定義は誤りだと分る(笑
24: 哀れな素人 2019/08/16(金)07:42 ID:ICTHoPFf(2/40) AAS
次に>>987の質問。
最初は｛1｝、二回目は｛1、1｝、三回目は｛1、1、1｝で、
ｎ回目は｛1、1、1、……、1｝で、1がｎ個並んでいる集合である。
そしてｎをどんなに増やそうが、
結局ｎが有限個並んでいる集合だから有限集合である(笑
つまり現代数学の無限公理による無限集合とは有限集合である(笑
ちなみに、このように元の個数をいくらでも増やせることを
可能無限というのであって、現代数学の無限公理とは
可能無限公理にすぎない(笑
25(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/08/16(金)07:44 ID:9z79us+y(2/5) AAS
サルのε-δ の理解は狭い
ε-δをC++みたく、∀∃を丸暗記していますでは狭い
位相空間と一緒に理解するのが、人の理解の仕方で、これが正解です
そうすると、アルキメデス距離と、非アルキメデス距離とがあると分る
Ｑの１点コンパクト化も分る
同じように、サルは時枝不成立が分らない
∵ 確率論と確率過程論とが分っていないから
確率論と確率過程論とを修得した、数学科3〜4年以上は
時枝不成立が分る
∵ ヒトだから
（＾＾；
26(1): 哀れな素人 2019/08/16(金)07:48 ID:ICTHoPFf(3/40) AAS
前スレのサルの珍答を見ると、このアホが
空集合とは０という数字のことだと思っていることが分る(笑
空集合とは元がないということであって
数字の０はれっきとした元だ(笑
このアホはそういうことすら理解できないのだ(笑
27(2): 2019/08/16(金)07:55 ID:ICTHoPFf(4/40) AAS
またｘ＝１のとき、 x ∪ {x} を要素に持つ集合とは
「「１または１という元を持つ集合」の集合」という意味だから
｛1、1｝という集合であって、
決して｛1、2｝というような集合ではない(笑
つまり前スレの>>925の定義からは
決して1、2、3のような自然数は出て来ないのだ(笑
アホだから全然分っていない(笑
28: 2019/08/16(金)08:02 ID:WjfkqcDK(3/40) AAS
>>25
スレ主はやっぱ全然わかってないな
p進数は、Qの一点コンパクト化じゃないぞｗ
したがってアルキメデス距離と非アルキメデス距離の話は見当違い
ま、ε-δも∀∃もわからん工業高校卒の馬鹿じゃ仕方ないか
で、>>21の質問には答えられないか やっぱ正真正銘の馬鹿だなｗ
29(2): 2019/08/16(金)08:06 ID:WjfkqcDK(4/40) AAS
>>27
ｘ＝１＝｛０｝のとき
ｘ∪ {x} ＝１∪｛１｝＝｛０｝∪｛１｝＝｛０，１｝＝２な
したがってx ∪ {x} を要素に持つ集合とは
１のみならず２も要素として持つ
｛｝は０
XをｎとすればX∪｛X}はｎ＋１
したがって、ωはすべての自然数を要素とするｗ
30: 2019/08/16(金)08:08 ID:WjfkqcDK(5/40) AAS
>>25
スレ主には時枝成立が分からない
∵ 集合論が分っていないから
選択公理を知る数学科１年以上は時枝成立が分る
∵ ヒトだから
ギャハハハハハハ！！！
31(2): 哀れな素人 2019/08/16(金)08:09 ID:ICTHoPFf(5/40) AAS
>>29
ドアホ(笑
>>26-27を読め(笑
32(6): 2019/08/16(金)08:09 ID:WjfkqcDK(6/40) AAS
>>21
スレ主にしつこく質問
・３進カントール集合を[0,1]と同相にする簡単な方法は？
33(2): 2019/08/16(金)08:11 ID:WjfkqcDK(7/40) AAS
>>31
読んだ だから貴様の間違いを>>29で正した
読め 理解するまで書き込むなｗ
ああ、それから集合論では０は｛｝としてコード化される
これ常識 覚えとけ 忘れるなｗ
34(1): 哀れな素人 2019/08/16(金)08:17 ID:ICTHoPFf(6/40) AAS
>>33
ドアホ(笑
任意の要素 xのｘとは元の個数のことではない(笑
集合の要素とは集合の元の個数のことではない(笑
ｘ＝１の１とは１という自然数のことであって、
元が１個あるという意味ではないぞアホのサル(笑
35(1): 2019/08/16(金)08:20 ID:WjfkqcDK(8/40) AAS
>>34
集合論では１とは{0}＝{{}}という集合
集合論では、集合以外のアトムは存在しない
これ常識 覚えとけ 忘れるなｗ
36(1): 哀れな素人 2019/08/16(金)08:23 ID:ICTHoPFf(7/40) AAS
>>35
何の反論にもなっていない(笑
お前の信仰しているその集合論が誤りだ、
ということに気付いていないアホ(笑
前スレの>>925の定義自体が誤りなのである(笑
37(1): 2019/08/16(金)08:27 ID:WjfkqcDK(9/40) AAS
>>36
＞集合論が誤りだ
無限公理ぬきの有限集合論も誤りだという意味か？
では、集合論の公理から矛盾を導いてくれたまえ
それが集合論が誤りであることの証明
38(2): 2019/08/16(金)08:32 ID:ICTHoPFf(8/40) AAS
>>37
分らんアホだな(笑
お前の信仰している無限公理が誤りだと言っているのだ(笑
誤りである証明はすでに>>23で証明している(笑
つまり空集合をいくら集めても空集合だということ(笑
39(1): 2019/08/16(金)08:43 ID:WjfkqcDK(10/40) AAS
>>38
集合論は、無限公理と無関係に構築される
自然数を有限集合でコード化するだけなら無限公理は必要ない
{}と{{}}は異なる集合 もちろん{{},{{}}}も両者と異なる
だからいってるだろ 集合論はカッコ{}以外、何もないってｗ
40(2): 哀れな素人 2019/08/16(金)08:51 ID:ICTHoPFf(9/40) AAS
>>39
アホ(笑
何の反論にもなっていない(笑
お前は｛｝は０ と書いているが、
｛｝は中に何も入っていないのだから空集合だ(笑
０は数字だから明らかに元だ(笑
任意の要素 x が空集合の場合は、
x ∪ {x} を要素に持つ集合とは
「「空集合または空集合を元とする集合」の集合」だから
空集合だ(笑
だから無限公理の定義自体が誤りなのである(笑
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