現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む49

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467: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/14(日)07:51 ID:fNVDpqMq(1/38) AAS
ほんまやなｗ

468(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/14(日)09:33 ID:fNVDpqMq(2/38) AAS
>>462
>その話は、時枝記事中でも、非可測集合のパラドックスとして、ちょっと触れているだろう？
>（なお、”非可測集合のパラドックス”は、私見だが本質ではないと思っているのだが）

時枝先生の書いている、「ヴィタリ類似だから、即お手つきか」という話ではないように思うということ

（時枝先生の話）
現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む47
2chｽﾚ:math
(抜粋)
数学セミナー201511月号P37 時枝記事に、次の一文がある
「R^N/〜の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている.
その結果R^N →R^N/〜の切断は非可測になる.
ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである.」

「逆に非可測な集合をこさえるには選択公理が要る(ソロヴェイ， 1970年)から，この戦略はふしぎどころか標準的とさえいえるかもしれない.
しかし，選択公理や非可測集合を経由したからお手つき，と片付けるのは，面白くないように思う.
現代数学の形式内では確率は測度論によって解釈されるゆえ，測度論は確率の基礎，と数学者は信じがちだ.
だが，測度論的解釈がカノニカル，という証拠はないのだし，そもそも形式すなわち基礎，というのも早計だろう.
確率は数学を越えて広がる生き物なのである(数学に飼いならされた部分が最も御しやすいけれど).」
(引用終り)

と、時枝先生は書いている。が、頭の悪いスレ主には、意味が良く取れない

１．ヴィタリ類似を経由したからと言って、具体的に計量を計算するまでは、矛盾はおきないでしょ
２．また、話を、選択公理にすり替えているが、ちょっとおかしい
３．決定番号は、自然数Nの範囲だし、測度論に一気に飛んでも、「なに言ってるの？」と感じる
４．だから、どんな空間の計量を問題にしているかを定義せずに話を飛ばすから、「あれあれ？」と
５．要は、「ｈ：無限次元ベクトル空間R^N→N’(決定番号の集合）」で、x,y∈N’で、P（x>y）=1/2 がきちんと計量を定義して言えるのか？
　　言えないだろうというのが、下記の話だと理解している

つづく

469(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/14(日)09:33 ID:fNVDpqMq(3/38) AAS
>>468 つづき

＜参考＞
現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む47
2chｽﾚ:math
20 2chｽﾚ:math
519 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 22:27:11.14 ID:f9oaWn8A [4/13]
>>518
X=(X_1,X_2,…)をR値の独立な確率変数とする．
時枝さんのやっていることは
無限列x=(x_1,x_2,…)から定められた方法によって一つの実数f(x)を求める．
無限列x=(x_1,x_2,…）から定められた方法によって一つの自然数g(x)を求める．
P(f(X)=X_{g(X)})=99/100
ということだが，それの証明ってあるかな？
100個中99個だから99/100としか言ってるようにしか見えないけど．

521 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2016/07/03(日) 22:36:32.49 ID:/kjhINs/ [10/15]
>>519
記事のどこが疑問なのか明確にしてもらえますか？
説明不足でよく分からない

522 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 22:40:29.88 ID:f9oaWn8A [5/13]
面倒だから二列で考えると
Y=(X_1,X_3,X_5,…）とZ=(X_2,X_4,X_6,…)独立同分布
実数列x=(x_1,x_2,…)から最大番号を与える関数をh(x)とすると
P(h(Y)>h(Z))=1/2であれば嬉しい．
hが可測関数ならばこの主張は正しいが，hが可測かどうか分からないのでこの部分が非自明

つづく

470(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/14(日)09:34 ID:fNVDpqMq(4/38) AAS
>>469 つづき

2chｽﾚ:math
20 2chｽﾚ:math

528 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 23:03:57.29 ID:f9oaWn8A [8/13]
おれが問題視してるのはの可測性
正確にかくために確率空間(Ω,F,P)を設定しよう
Y,Zはそれぞれ(Ω,F)から(R,B(R))の可測関数である．
もしhが(R,B(R))から(N,2^N)への可測関数ならば
h(Y),h(Z)はそれぞれ可測関数となって{ω|h(Y(ω))>h(Z(ω)}∈FとなりP({ω|h(Y(ω))>h(Z(ω)})=1/2となるけど
hが(R,B(R))から(N,2^N)への可測関数とは正直思えない

529 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 23:04:46.18 ID:f9oaWn8A [9/13]
>>528
自己レス
(R,B(R))ではなくすべて(R^N,B(R^N))だな
(引用終り)

つづく

471(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/14(日)09:34 ID:fNVDpqMq(5/38) AAS
>>470 つづき

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ヴィタリ集合
(抜粋)
ジュゼッペ・ヴィタリ（英語版）(Giuseppe Vitali (1905))によって作られたルベーグ不可測な実数集合の基本的な例である。
ヴィタリの定理はそのような集合が存在することを保証する存在定理である。不可算に多くのヴィタリ集合が存在し、それらの存在は選択公理の仮定の下で示される。
(引用終り)

＜ついでに、無限次元ベクトル空間の話＞
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ヒルベルト空間
(抜粋)
ユークリッド空間の概念を一般化したものである。これにより、二次元のユークリッド平面や三次元のユークリッド空間における線型代数学や微分積分学の方法論を、任意の有限または無限次元の空間へ拡張して持ち込むことができる。
ヒルベルト空間は、内積の構造を備えた抽象ベクトル空間（内積空間）になっており、そこでは角度や長さを測るということが可能である。ヒルベルト空間は、さらに完備距離空間の構造を備えている（極限が十分に存在することが保証されている）ので、その中で微分積分学がきちんと展開できる。
(引用終り)

つづく

472(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/14(日)09:35 ID:fNVDpqMq(6/38) AAS
>>471 つづき

外部ﾘﾝｸ:proofcafe.org
抽象ベクトル空間
(抜粋)
無限次元ベクトル空間！？
ところで、多項式のベクトルでは、
{1,x,x2,x3,・・・}
を基底としていることが分かります。

見れば分かるように、基底が無限個あるのです！！！

抽象ベクトル空間では、無限次元のベクトル空間を考えることがあります。
名前だけ聞くと・・・何だかすごいですね。

無限次元のベクトル空間では、
線形代数学の一般論が成り立たない・・・そんなことが時々あります。

この「無限次元ベクトル空間」を扱う分野のことを「関数解析」というのですが・・・
(引用終り)

つづく

473(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/14(日)09:36 ID:fNVDpqMq(7/38) AAS
>>472 つづき

外部ﾘﾝｸ[html]:eman-physics.net
ヒルベルト空間知らなくてもいいのだが、知らないと恥ずかしい。 EMANの物理学・量子力学・ヒルベルト空間
(抜粋)
　量子力学をやっていると「ヒルベルト空間」なんて言葉によく出くわす。実は学ぶ上でどうしても知っていなければいけないという言葉ではない。なぜならこれは数学用語だからだ。
　しかし、知らないというのは立場が弱い。学んだばかりの知識をひけらかす友人たちや、生徒を買い被ったフリをして楽しんでいる教授たちの口から「波動関数とはヒルベルト空間内で定義されるベクトルだ」なんて言葉が飛び出してくると、「それは一体何を意味するんだ？知ってなきゃいけないのか？」と不安にさせられてしまう。

　もしこんな事態に遭遇しても、
「ああ、そうだね。ついでに言えば、それは『無限次元複素ヒルベルト空間』のことだよね。」
と軽くかわすことが出来れば時間を無駄にしないで済む。

ベクトル空間

内積空間・ノルム空間

完備性
　さて「ヒルベルト空間」はまだなのかと待っていることと思うが、ここまでの話にもう一つ条件を加えるだけでいい。
・内積空間が完備性を持つとき、「ヒルベルト空間」という。
・ノルム空間が完備性を持つとき、「バナッハ空間」という。
　バナッハ空間については今回の話とは関係ないが、まぁ、数学ではこんな具合に分類されて名前が付いているんだよ、という雰囲気をつかめるように書いておいた。

　な。物理学者は「ヒルベルト空間」なんて言葉でカッコつけなくてもいいんだよ。他の数学的空間の性質と区別する必要があるときにだけ使えばいいんだからさ。

　で、気になっていることと思うが、「完備性」とは何だろうか。

つづく

474(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/14(日)09:37 ID:fNVDpqMq(8/38) AAS
>>473 つづき

　コーシー列が収束する時、完備性を持つのだそうだ。ではコーシー列とは何かと言えば、集合から好きな要素を取り出して並べた時に、あるところより先の要素を見ると必ず、それらの要素間の距離がどんな狭い範囲にでも収まってしまう、そんなところが必ずある、という並びのことらしい。
ああ！数学ってのは七面倒くさい！！！とにかく、どこまでも狭い範囲に収まって行くような並びのことだ。

それで、狭い範囲に収まって行くのなら収束していると言えるのではないか、というと、そういう意味ではない。

　数学的な表現はやめて、分かりやすく言い直そう。これはベクトルが連続であることを定義しているのである。この性質は微分などを定義するためには是非とも必要なものだ。そして、それはもっと分かりやすく言えば、このベクトルの要素は実数か複素数の範囲でなければならないという意味である。初めからそう言えよ、って？私もそう思う。

こんなもんなんだよ
　なんだ、それだけか？結局、ぶっちゃけて言えば、「取り敢えずの計算に困らないベクトル空間」というくらいの意味だったということだ。実に他愛のない話だ。だからこそ一度知ってしまうと今度は逆に、これくらいは知ってないと恥ずかしいと思えてしまうわけで。
　まあ、奥は深いのだが、これだけ知ってるだけでもしばらくは困らない。さあ、立場の弱い友達の所へ行って知ったかぶりをするのだ！（笑
ま、この程度のものは黙ってた方が恥かかなくて済むかとも思うのだが、・・・判断はお任せしよう。

　波動関数がどうして無限次元複素ヒルベルト空間内のベクトルなのかを説明しないのかって？それは本文中できっちりやるつもりだ。取り敢えず、こういう本質ではない部分は脇へよけておきたかったのである。
(引用終り)

以上

475: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/14(日)09:44 ID:fNVDpqMq(9/38) AAS
>>472 補足

元のURL
外部ﾘﾝｸ[html]:proofcafe.org
ここでは、数学を扱います。
外部ﾘﾝｸ[html]:proofcafe.org
線形代数学 ProofCafe

477(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/14(日)13:04 ID:fNVDpqMq(10/38) AAS
>>474
その指摘はかなり正しい
EMANさんは、物理屋だからね

でもね、完備とかヒルベルト空間で、「わからん」と立ち止まらずに進むことも大事だと
立ち止まらずに進まないと、分らないことも多い

進めば、分ってくることも多い
そして、また、分らないところへ戻って、そこから理解を深めて行く

そういうやり方が正しいと思うよ

478: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/14(日)14:07 ID:fNVDpqMq(11/38) AAS
>>468 補足
>「ｈ：無限次元ベクトル空間R^N→N’(決定番号の集合）」で、x,y∈N’で、P（x>y）=1/2 がきちんと計量を定義して言えるのか？

ここを細分すると

R^N：無限次元ベクトル空間 s∈R^N s=(s1,s2,s3,・・・）
　↓
R^N/〜（商射影の切断）（外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org 商写像）
　↓
代表r=r(s) r=(r1,r2,r3,・・・）
　↓
N’：決定番号の集合 d∈N’ d=d(s)
　↓
N：自然数の集合

となる

（補足）
・しばしば、我々は無意識に、決定番号の集合N’と自然数の集合Nとを同一視してしまう
・だが、決定番号の集合N’は、問題の数列ｓと代表r=r(s)との関係で、多く（非可算無限）の重複を含む集合になっている
　（例：決定番号２なら、s=(s1,s2,s3,・・・）とr=(r1,r2,r3,・・・）とで、s2=r2,s3=r3,・・・の関係があり、s1≠r1だが、この同値類内の決定番号２の元は、R^1の自由度がある。
　　同様に、決定番号３なら、R^2の自由度。決定番号ｎなら、R^(n-1)の自由度。）
・可算無限長の数列を簡単のために２列で考えると、２列の決定番号の大小比較は自然数の集合Nのレベルで行うが、その背景に決定番号の集合N’があるから、大小の確率を考えるときは、本来、決定番号の集合N’をベースに考える必要がある
・ところで、以前の議論でもあったように、有限な自然数の部分集合（1,2,3,・・・,m）で、あるx（1<= x <=m）を考えると、x <= m/2 （平均以下）である確率は、ｍが十分大きければ1/2だろう
・しかし、ｍ→∞（つまり集合が自然数の集合Nになる）では同じ議論はできない
・そして、考えるベースが、決定番号の集合N’であれば、なおさら、単純に確率1/2とは言えない。ここらが手品のタネだろう

以上

479: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/14(日)14:17 ID:fNVDpqMq(12/38) AAS
>>477 補足

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
完備性
(抜粋)
数学における完備性（かんびせい、英: completeness）は、様々な場面においてそれぞれの対象に関して特定の意味を以って考えられ、またそれぞれの意味において完備（かんび、英: complete）でない対象に対する完備化 (completion) と呼ばれる操作を考えることができる。complete は「完全」と訳されることもある。

・実数の完備性: 実数の完備性は実数を公理的に定義する際に必要とされる性質の一つ。この場合の完備性は、実数全体の成す集合 R を距離空間と見た場合の完備性、あるいは R を半順序集合と見た場合の完備性の何れの意味とも取ることができる。
・完備距離空間: 距離空間が完備であるとは、その空間内の任意のコーシー列が収束するときにいう。
・完備一様空間（英語版）: 一様空間が完備であるとは、その空間内の任意のコーシーネット（コーシー有向点族）が収束するときに言う。あるいは同じことだが、その空間内の任意のコーシーフィルターが収束するときに言う。
・完備測度空間: 測度空間が完備であるとは、その任意の零集合が可測であるときにいう。
・環の完備化: 可換代数学において（イデアルの冪によって定義される位相を考えるとき）イデアルによる可換環の完備化の概念が定義される。
・より一般に、任意の位相群を開部分群の減少列において完備化することができる。
・完備統計量（英語版）: 統計学において統計量が完備であるとは、期待値が0となる不偏評価子が許されないことを言う
・完備圏（英語版）: 圏論において圏 C が完備であるとは、小さい圏から C への任意の図式が極限を持つときに言う。双対的に、そのような図式が余極限を持つとき余完備（英語版）であるという
・順序集合論やそれに関連する束論や領域理論のような分野でいう完備性（英語版）は、一般にある種の順序集合における上限や下限の存在に言及するものである。この意味での完備性を持つ概念として完備ブール代数（英語版）、完備束、完備半順序集合 (cpo) などは著しい。
・完備代数多様体（英語版）: 代数幾何学において代数多様体が完備であるとは、それがある種のコンパクト性に類似の性質を満足することを言う。

(引用終り)

483(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/14(日)17:05 ID:fNVDpqMq(13/38) AAS
>>437
英語圏では、時枝記事の前から、取り上げられているので、過去ログから下記リンクを貼っておく
（>>435”数セミの出版社の日本評論社に迷惑をかける”とか”苦情を出す”とかじゃなく、むしろ日本でもきちんと公開で議論して纏めておくべき。ほんと、だれか卒研で纏めてくれると、ひとつの決着がついてありがたいけどね〜（＾＾）

現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22 2chｽﾚ:math
509 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/10(土) 14:08:56.13 ID:q7Skbg74 から

１）
外部ﾘﾝｸ[html]:blog.computationalcomplexity.org
Solution to the Alice-Bob-Box problem. July 18, 2016 Posted by GASARCH Computational Complexity
(抜粋)
Peter Winkler told me this problem at the Joel Spencer 70th Bday conference. He got it from Sergui Hart who does not claim to be the inventor of it.
（抜粋おわり）

つづく

484(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/14(日)17:06 ID:fNVDpqMq(14/38) AAS
>>483 つづき

２）
外部ﾘﾝｸ:math.stackexchange.com
Predicting Real Numbers edited May 15 '13 Jared Mathematics Stack Exchange
(抜粋)
Here is an astounding riddle that at first seems impossible to solve. I'm certain the axiom of choice is required in any solution, and I have an outline of one possible solution, but would like to see how others might think about it.

３）
100 rooms each contain countably many boxes labeled with the natural numbers. Inside of each box is a real number. For any natural number n, all 100 boxes labeled n (one in each room) contain the same real number.
In other words, the 100 rooms are identical with respect to the boxes and real numbers.
(引用終り)

つづく

485(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/14(日)17:07 ID:fNVDpqMq(15/38) AAS
>>484 つづき

４）
外部ﾘﾝｸ:mathoverflow.net
Probabilities in a riddle involving axiom of choice - MathOverflow: edited Dec 9 '13 Denis
(抜粋)
The question is about a modification of the following riddle (you can think about it before reading the answer if you like riddles, but that's not the point of my question):

The Riddle: We assume there is an infinite sequence of boxes, numbered 0,1,2,…

. Each box contains a real number. No hypothesis is made on how the real numbers are chosen.
You are a team of 100 mathematicians, and the challenge is the following: each mathematician can open as many boxes as he wants, even infinitely many, but then he has to guess the content of a box he has not opened.
(引用終り)

つづく

486(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/14(日)17:08 ID:fNVDpqMq(16/38) AAS
>>485 つづき

５）
外部ﾘﾝｸ:mathoverflow.net
Can an infinite number of mathematicians guess the number in a box with only one error? - MathOverflow edited Dec 26 '13 user44653
(抜粋)
In this question＊） the following observation was made:
＊）上記 Probabilities in a riddle involving axiom of choice - MathOverflow: edited Dec 9 '13 Denis mathoverflow にリンクされている
(引用終り)

これは内容的には無視していいかもしれんが、mathoverflowより時期が早いよね
外部ﾘﾝｸ:brainden.com
100 mathematicians, 100 rooms, and a sequence of real numbers Asked by Jrthedawg, July 22, 2013 New Logic/Math Puzzles - BrainDen.com - Brain Teasers
(抜粋)
Question
I am a collector of math and logic puzzles, and this must be the best I've ever seen.

100 rooms each contain countably many boxes labeled with the natural numbers. Inside of each box is a real number.
For any natural number n, all 100 boxes labeled n (one in each room) contain the same real number. In other words, the 100 rooms are identical with respect to the boxes and real numbers.
(引用終り)

以上

489(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/14(日)17:27 ID:fNVDpqMq(17/38) AAS
>>481
C++さん、どうも。スレ主です。

>おお、これ、知りたい
>今取り組んでいるのは、順序が決まっていて、かつ順序演算で構成する元が等しいかどうかわかる元を持つ（全順序な）部分集合を効率的に表現するプログラム

それ、wikipedia のリンク外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org を開いてみな
英文のリンクついているだろ

それを開くと、参考文献とかあったり、また、英文のキーワードが分ると、英文検索ができる
それで、英文 wikipediaから、左のリンクの”日本語”をクリックして、和文も読めるという仕掛けなんだ（＾＾

490(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/14(日)17:30 ID:fNVDpqMq(18/38) AAS
>>488
おっちゃん、どうも、スレ主です。

>スレ主君、チョット類体論のコピペも頼むよ。

類体論の何を知りたいのかね？
多分、”類体論”だけで検索かけると、100万以上出るから、適切なコピペできないと思うよ（＾＾

491: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/14(日)17:34 ID:fNVDpqMq(19/38) AAS
>>488
おっちゃん、どうも、スレ主です。

>何ヶ月か前、分割とか母関数とかについての整数論のようなことしていなかったけ。

有ったね。
あれ、BLACKX ◆jPpg5.obl6さん（下記LOTO7スレの人）が、確率について質問してきたので、母関数の英文資料のＵＲＬを紹介してやったよ

2chｽﾚ:math
数学的にLOTO7

493(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/14(日)17:43 ID:fNVDpqMq(20/38) AAS
>>480 >>482
>高校時代に当時の女子高生達がよく用いていたチョベリバーの意味が分からなかったか。

それ、女子高生から自分に向けて使われていて、意味わからんかったと〜（＾＾
すごく、もてたんだろうね〜（＾＾

まあ、おっちゃん、時枝は、数学セミナーの原文見ないと無理だよ〜

原文ダメなら、まだ>>483-486の英文と、
Sergiu Hart氏のPDF 外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ma.huji.ac.il （>>437）を読む方がましだろう

495(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/14(日)17:50 ID:fNVDpqMq(21/38) AAS
>>492
>従来の類体論のマトモなテキスト(特に和書)

足立先生の本があったと思った。書棚の肥やしになっとる気がするが（＾＾

外部ﾘﾝｸ:www.amazon.co.jp
類体論講義 (日評数学選書) 単行本 ? 1998/9/1
足立恒雄 (著),? 三宅克哉 (著)
(抜粋)
トップカスタマーレビュー
ido
5つ星のうち3.02冊に分けて出版してほしかった本
2015年7月29日
形式: 単行本|Amazonで購入
　前半206ページは局所類体論の導入が目標です：
1　代数体の基礎理論
2　局所体の基礎理論
3　イデアルによる類体論
4　イデールによる類体論
5　類体論の証明
6　局所類体論
7　類体論の応用
付録A　代数的予備知識
　必要なら[現代代数学](van der Werden)、[可換体論](永田)を参照しながら読むようにとの指示がされています

　後半88ページは類体論の歴史に沿った解説です：
1　前史　平方剰余?L関数
2　類体論の源流　クロネッカー
3　"類体"の原型：ウェーバー、ヒルベルト、フルトヴェングラー
4　高木?アルティンの類体論
5　ハッセの原理、イデールの導入と定着
　以上の前半部と後半部とが合本になっているメリットは特に見つけられないように思われます。別々の本として出版されていれば、特に2冊目のテキストとして学ぼうとする方にはつごうがよかったのではないでしょうか
　今回は古書でゲットしましたが、前に読んでいた方も、前半部だけ読み込んでおられたのに後半は全く手つかずで手放されたようすでした
(引用終り)

498(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/14(日)17:59 ID:fNVDpqMq(22/38) AAS
>>495 追加

外部ﾘﾝｸ:www.amazon.co.jp
類体論へ至る道―初等数論からの代数入門単行本 ? 2010/2/1
足立恒雄 (著)
(抜粋)
トップカスタマーレビュー
まげ店長
5つ星のうち5.0どうして色んな説明の仕方があるのでしょうか...
2014年4月25日
形式: 単行本
この本を買った頃は、整数論もきちんと始めていない時代だったので（今も独学ですが）「類体論」の
事は何も分からずにただ単に高木貞治の学問分野だというとても不純な動機だったような気もします。
群論をやりながら、ある日ふと手に取ったのは「高木貞治類体論への旅 (双書―大数学者の数学)」でした。
旅という癖に相当に難儀な本で、特にイデアルの所で完全に行き詰まってしまいました...
群論の本とか読んでも、イデアルの説明はとても抽象的でちっとも分からないんです。
特に2次体の説明を探し回りましたがこれは「数論入門―証明を理解しながら学べる (ブルーバックス)」
の最終章でカバーされてました。しかし肝心のイデアルの説明は無し。
もう少し総括的で分かりやすい本は無いかと、ふと書庫に置いてあった本書を手にとってみると
不思議な程に分かりやすい本ですね...　特にイデアルの説明には痺れました。
（素イデアルと極大イデアルのところは秀逸です）
完全独学なのでまだ前半戦を模索中ですが、このペースなら最後まで行けそうな安心感があります。
あと何年かかるか分かりませんが、ひと通り最後まで見届ける覚悟で向き合っています。
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(引用終り)

追記
余談だが、”完全独学なのでまだ前半戦を模索中ですが、このペースなら最後まで行けそうな安心感があります。
あと何年かかるか分かりませんが、ひと通り最後まで見届ける覚悟で向き合っています。”みたいな読み方は、止めた方が良い
一月以内（できれば１週間くらい）に、ざっと読んで、あと、読む価値のある名著と思えば、繰り返し読むとかの方が良いだろう
（実際、「あと何年かかるか分かりません」的読み方では、学生なら卒業できないし、院生なら論文書けない）

500: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/14(日)19:16 ID:fNVDpqMq(23/38) AAS
>>498
>読む価値のある名著と思えば、繰り返し読むとかの方が良いだろう

”ディリクレは、D. A. を常に携帯していたという[6]。”
プロ数学者でも、そういう例はある
まあ、１回だけでは汲み尽くせない
名著は何度も読むべしかな
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
Disquisitiones Arithmeticae
(抜粋)
ディリクレは、D. A. を常に携帯していたという[6]。

ガウスは D. A. に多くの付記を残し、彼自身のさらなる研究の一助とした。同世代の者には謎めいているものもあったが、一部は例えば、今日ではL関数や虚数乗法と呼ばれるものの萌芽であったと解釈される。

D. A. の内容は、20世紀以降の数学研究においても新鮮さを失っていない。例えば、第5章第303条は虚二次体の類数の具体的な計算についての要約である。
ガウスは、任意の正整数 n に対して類数が n である虚二次体は有限個しか存在しないであろうと予想し、類数の小さな虚二次体は全て決定したと信じた。
この予想は、1934年にハンス・ハイルブロン（英語版）が解決した[7]。類数1の虚二次体を全て決定する問題は、1966年のアラン・ベイカーと1967年のハロルド・ミード・スターク（英語版）によって独立に解かれた[8]。2004年までに、類数が100以下の虚二次体は全て決定されている[9]。

また、第7章第358条は、有限体上の楕円曲線の点の個数に関する、ハッセの定理の評価が非自明に成り立つ（歴史的に）最初の例を与えている[10]。この定理は、ヘルムート・ハッセが1933年に証明し、アンドレ・ヴェイユらによって一般化されるが、適切に言い換えることによって、リーマン予想の類似と見なせることが知られている[11]。
(引用終り)

501: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/14(日)19:16 ID:fNVDpqMq(24/38) AAS
>>499
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ご苦労さんでした（＾＾

502(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/14(日)19:24 ID:fNVDpqMq(25/38) AAS
>>492

佐藤・テイト予想か。何年か前に、数学セミナーに解決されたという記事が載ったと思ったな・・
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
佐藤・テイト予想
(抜粋)
佐藤・テイト予想(Sato?Tate conjecture)とは、楕円曲線 E と素数 p にたいして定まるある実数 θp の分布に関する予想である。もう少し正確には、有理数体上定義された楕円曲線 E を一つ固定したとき、各素数 p での還元 Ep は有限体 Fp 上の楕円曲線となるが、その楕円曲線 Ep の点の数が p を動かしたときある決まった分布になるというものである。

目次 [非表示]
1 予想の記述
2 証明と主張の進展
3 一般化
4 より詳細な問題
5 脚注
6 参考文献
7 外部リンク

つづく

503(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/14(日)19:25 ID:fNVDpqMq(26/38) AAS
>>502 つづき

証明と主張の進展[編集]
2006年3月18日、ハーバード大学のリチャード・テイラー(Richard Taylor)は、ローラン・クローゼル（英語版）(Laurent Clozel)やミカエル・ハリス（英語版）(Michael Harris)やニコラス・シェパード-バロン（英語版）(Nicholas Shepherd-Barron)との共同研究の結果として、
ある条件を満たす総実体上の楕円曲線の佐藤・テイト予想の証明の最終段階を、彼のウェブページに掲載した。[4]
それ以来、3つの論文のうち 2つが出版されている。[5] さらに、結果はアーサー・セルバーグの跡公式（英語版）(Arthur?Selberg trace formula)の形を改善する条件となっている。
ハリスは、そのような予想されている跡公式から従う 2つの楕円曲線（同種ではない）の積から得られる結果の条件付き証明（英語版）(conditional proof)を得ている。[6]
2008年7月8日現在、リチャード・テイラーは、彼のウェブサイトへ論文（トーマス・バーネット-ラム（英語版）(Thomas Barnet-Lamb)、ダヴィッド・ゲラティ（英語版）(David Geraghty)とミカエル・ハリスの共著）を掲載していて、
そこではウェイトが 2 に等しいかまたは大きな任意の非CM正則モジュライ形式についての佐藤・テイト予想へ一般化されたヴァージョンを、直前の論文の本質的にはモジュラ性の結果を改善することで証明したと主張している。[7]
彼らはまた、跡公式に関係するいくつかの問題がミカエル・ハリスの「ブックプロジェクト」[8] と、Sug Woo Shin との共同研究により解決したと主張している。[9][10]

つづく

504: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/14(日)19:26 ID:fNVDpqMq(27/38) AAS
>>503 つづき

一般化[編集]
エタール・コホモロジー上のガロア表現に含まれるガロア群のフロベニウス元の分布が、一般化と考えられる。特に、種数が n > 1 の曲線についての予想がある。

ニック・カッツ（英語版）(Nick Katz)とピーター・サルナック(Peter Sarnak)により開発されたランダム行列モデル[11] では、フロベニウス元の（ユニタリ化された）特性方程式と、コンパクトリー群(compact Lie group) USp(2n) = Sp(n) 上のリー群の共役類との間に対応関係を示した。
従って、USp(2n) 上のハール測度は分布を与えると予想され、古典的な場合は USp(2) = SU(2) である。

より詳細な問題[編集]
さらに精密な予想として、1976年のサージ・ラング(Serge Lang)とハイル・トロッター（ドイツ語版）(Hale Trotter)によるラング・トロッター予想(Lang?Trotter conjecture)は、公式の中に現れるフロベニウス元のトレースである値 ap が、素数 p に対し決まると、漸近的な数が存在すると言う予想である。[12]
典型的な例（虚数乗法を持たず、かつ trace ≠ 0）では、X についての p に対する数値は、ある特別の定数 c が存在して、漸近的に

{\displaystyle c{\sqrt {X}}/\log X\ } {\displaystyle c{\sqrt {X}}/\log X\ }
に近づく。ニール・コブリッツ（英語版）(Neal Koblitz)は、1988年、楕円曲線暗号に動機をもって、素数 q の場合の、Ep 上の点の数についての詳細な予想を提示した。[13]

ラング・トロッター予想は、原始根についてのアルティンの予想（英語版）(Artin's conjecture on primitive roots)の類似であり、1977年に提唱された。

(引用終り)

505(3): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/14(日)19:34 ID:fNVDpqMq(28/38) AAS
>>
>佐藤・テイト予想か。何年か前に、数学セミナーに解決されたという記事が載ったと思ったな・・

数学のたのしみ 2008最終号が先だったかな？（＾＾

外部ﾘﾝｸ[html]:www.nippyo.co.jp
数学のたのしみ 2008最終号日本評論社発刊年月 2008.06
フォーラム＝佐藤-テイト予想の解決と展望
上野　健爾砂田　利一新井　仁之編集

内容紹介
1962年に佐藤幹夫により提出された予想が最近Ｒ・テイラー達により解決された。著名な問題の全体像と展望をめぐる総力特集。
目次
フォーラム：現代数学のひろがり　佐藤-テイト予想の解決と展望
佐藤-テイト予想の歴史／黒川信重
楕円曲線入門／伊藤哲史
ゼータ関数入門／黒川信重
類体論入門／吉田輝義
保型形式入門／加藤和也
ラングランズ対応と志村多様体／吉田輝義
佐藤-テイト予想の証明の方針／伊藤哲史
ガロア表現の変形理論とヘッケ環／伊藤哲史
ガロア表現の整合系とその保型性／吉田輝義
相互法則と密度定理／リチャード・テイラー

数学まなびはじめ／時枝　正
高校生のための数学セミナー／砂田利一
名著発掘／Dunford & Schwartz《Linear Operators》／増田久弥

連載
日本の数学の流れ(9)／上野健爾
数学つれづれ草／上野健爾
村の広場の午後／安野光雅

外部ﾘﾝｸ[html]:www.nippyo.co.jp
数学セミナー日本評論社　2009.09

[速報] 佐藤-テイト予想，ついに完全解決か？！伊藤哲史 34

外部ﾘﾝｸ[html]:www.nippyo.co.jp
数学セミナー日本評論社　2010.2

数セミブック・プラザ

　『フェルマーの最終定定理・佐藤-テイト予想解決への道』／谷口隆　85

506(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/14(日)19:37 ID:fNVDpqMq(29/38) AAS
>>505 補足

>相互法則と密度定理／リチャード・テイラー

テイラー先生が寄稿していたのか？（＾＾

>高校生のための数学セミナー／砂田利一

おっちゃんの言う通りやな、高校生も数セミよめと、砂田利一先生・・（＾＾

507: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/14(日)19:42 ID:fNVDpqMq(30/38) AAS
>>505 つづき
外部ﾘﾝｸ[html]:www.iwanami.co.jp
類体論と非可換類体論岩波
フェルマーの最終定理・佐藤−テイト予想解決への道
素数の演じるさまざまな実例を通して，類体論や非可換類体論とは何かをわかりやすく丁寧に説明する．

著者加藤　和也著
シリーズ類体論と非可換類体論
刊行日 2009/01/29

この本の内容
目次
著者略歴
素数の演じるさまざまな実例を通して，類体論や非可換類体論とは何かをわかりやすく説明する．
さらに非可換類体論の進展がなぜフェルマーの最終定理や佐藤−テイト予想解決に結びつくのかについて，その背景を丁寧に解説する．類体論から非可換類体論へと大きく転換しようとしている現代整数論の生きた姿を概観できる．

■編集部からのメッセージ

編集という仕事に携わって，二十年以上になりますが，中でも第一級といえる作品です．むろん，著者は作家ではありませんし，流麗な文章を書かれたというわけではありません．しかしながら，著者の素数に対する想い，そして素数のもつ奥深い意味，またその不思議さをなんとか，誰かにわかってもらいたいという気持ちがひしひしと伝わってきます．

　幸運にも，前著『数論１』も担当させていただきました．そこでも，著者は従来の岩波講座らしからぬ解説をされ，整数論の紹介に巧みな工夫をされました．本書は，それをはるかに凌駕します．
前著は「フェルマーの最終定理」が解決されたことに触発されての解説であったのに対し，本書は，それを上回る「佐藤-テイト予想」が解決されたことで，よりはっきりと，素数とは何か，整数論の未来はどうなるのかが，著者には見えたからではないかと想像しています．

　著者自ら，「類体論と非可換類体論」は《整数論の華》であると主張します．それを象徴するのが，フェルマーの最終定理および佐藤-テイト予想の解決だといいます．そのあたりをゆっくりと自分で計算しながら，味わいつつ読み進めていける本書は素晴らしい本であると確信します．
　ただひとつお断りしなければならないのは，本書は全４巻シリーズですが，作品の性格上，続巻はすぐには出版できません．著者には鋭意準備していただいていますが，第２巻は，半年くらいはお待ちくださるようお願い申し上げます．

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