現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む45

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376: 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む [sage] 2017/11/04(土) 13:19:37.43 ID:sjIJjomh

>>372 つづき

＜おちこぼれ達のための補習講座11＞
（πと√2による同値類の考察）

１．πと√2による無限列の同値類を考えよう
２．補題１：π−√2は有限小数にはならない。
　Proof：ｔ＝π−√2 として、√2＝π−ｔで、2＝(π−ｔ)^2となる。
　もし、ｔが有限小数＝有理数なら、πが有理数係数の代数方程式の根になるので、πが超越数であることに反する。
３．πと√2とを、十進法表示したときの各桁の１〜９の数を順に入れて、無限数列を作るとする
　数列 Rπ ＝(3,1,4,1,5,・・・）
　数列 R√2＝(1,4,1,4,2,・・・）

４．形式的冪級数を作る
　A[[X]]π ＝3+1*X+4*X^2+1*X^3+5*X^4・・・
　A[[X]]√2＝1+4*X+1*X^2+4*X^3+2*X^4・・・

５．補題１より、差 A[[X]]π−A[[X]]√2 は、なお形式的冪級数である。
６．一方、例えば、数列 Rπを数列のしっぽの同値類（Uπとする）の代表として、
　同値類に属する任意の数列は、＜補習講座10＞の記号に倣って
　A'[[X]]π＝A[[X]]π−ΔP(X) と表わすことができる。

７．補題２：A'[[X]]π＝A[[X]]π−ΔP(X) はゼロ級数（0,0,0,0,・・・）には成り得ない。ΔP(X)がm次多項式とすると、必ずm+1以降のどこかにゼロでない項が存在する。
　　（逆に言えば、ΔP(X)＝A[[X]]π−A'[[X]]π となる）
　Proof：ΔP(X)は定義より、有限次数の多項式であり、A[[X]]πは定義より、真性の形式的冪級数であるから。その後の命題は自明。
８．同じことだが、補題２より、ΔP(X)は多項式環に属し、有限次数であるから、必ずしっぽが残る。同じことは√2についても言える。
　つまり、co-tailπとco-tail√2とが存在することが証明された。
　（∵co-tail（しっぽの先）が存在しないということは、ゼロ級数（0,0,0,0,・・・）が実現できることになり、補題２に反する）

９．補題２以降は、任意の同値類について成り立つ。

以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1508931882/376

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