現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む45

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368: 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む [sage] 2017/11/04(土) 09:46:08.08 ID:sjIJjomh

>>367 つづき

＜おちこぼれ達のための補習講座9＞再録
スレ44 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506848694/630-633
630 名前：現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む[sage] 投稿日：2017/10/22(日) 14:09:43.51 ID:jBlaYViq [3/14]
＜おちこぼれ達のための補習講座9＞

幼い小学生ピエロは無視して、
High level people さんたちのために（＾＾

（形式的冪級数環と多項式環とを使った証明のスケッチ）
（まあ、突然かたい証明文を投下しても、どうも読めないようだし・・、なのでまずスケッチから・・）

１）形式的冪級数環←→時枝の箱の無限数列：（下記”より形式的な定義”にご注目）
　https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
　形式的冪級数
　(抜粋)
定義
A を可換とは限らない環とする。A に係数をもち X を変数（不定元）とする（一変数）形式的冪級数 (formal power series) とは、各 ai (i = 0, 1, 2, ...) を A の元として、
Σ _{n=0〜∞ } a_n*X^n=a_0+a_1*X+a_2*X^2+・・・
の形をしたものである。ある m が存在して n >= m のとき an = 0 となるようなものは多項式と見なすことができる。
形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。

より形式的な定義
N を非負整数全体の集合とし、集合 AN すなわち N から A への関数（A に値を持つ数列）全体を考える。この集合に対し
(a_n)_n+(b_n)_n=(a_n+b_n)_n
(a_n)_n*(b_n)_n=(Σ _{k=0〜∞ } a_{k}*b_{n-k} )_n
によって演算を定めると、A^N は環になることが確かめられる。これが形式的冪級数環 A[[X]] である。
ここでの (a_n) は上の Σa_n*X^n と対応する。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1508931882/368

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