[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第９章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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985(1): 2018/12/18(火)07:27 ID:TqVGX/9j(1/4) AAS
〔補題〕
正の実数a,b,cに対して
[1]　(b/a) + (c/b) + (a/c) - {a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ (ab+bc+ca)^2 /{2(a+b+c)abc} ≧ 3/2,
[2]　a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ (a+b+c)^2 /2(ab+bc+ca) ≧ 3/2,

(略証)
[1]
(左辺) - (右辺)
　= ab/(c(b+c)) + bc/(a(c+a)) + ca/(b(a+b))
　= (ab+bc+ca)^2 /{abc[(b+c) + (c+a) + (a+b)]}
　≧ (ab+bc+ca)^2 /{2(a+b+c)abc},　　　(←コーシー)
　JMO-2004、[初代スレ.058]

[2]　もコーシーで出る。

なお、1/a = A, 1/b = B, 1/c = C とおくと
　(ab+bc+ca)^2 /{(a+b+c)abc} = (A+B+C)^2 /(AB+BC+CA),
　(a+b+c)^2 /(ab+bc+ca) = (AB+BC+CA)^2 /{(A+B+C)ABC},

(類) Nesbitt-Igarashi　　>>627　>>835

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987: 2018/12/18(火)19:23 ID:TqVGX/9j(2/4) AAS
>>985
　辺々たして…

[3]　(b/a) + (c/b) + (a/c) ≧ tt/2su + ss/2t ≧ √(st/u) ≧ 3,
　ここに　s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc.

　st-9u = a(b-c)^2 + b(c-a)^2 ＋ c(a-b)^2 ≧ 0,

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988: 2018/12/18(火)19:41 ID:TqVGX/9j(3/4) AAS
>>986

{-1,……,-1,2n-1} のとき　(-1)^n･(2^n)(n-1)^2
{-1,…,-1,n-1,n-1} のとき　- (-1)^n･2^{n-2} (n-2)^2 (n-1)
かとオモタ。

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991: 2018/12/18(火)23:13 ID:TqVGX/9j(4/4) AAS
>>990 (1)
s, t, u で表わせば
(与式) = (a+b)(b+c)(c+a)
　= (A+B - s/3)(B+C - s/3)(C+A - s/3)
　= (2s/3 - C)(2s/3 - A)(2s/3 - B)
　= -4(s/3)^3 + (2/3)st -u,

(与式) = - 4(s/3)^3 + (1/9){5st+(st-9u)} ≧ -4(s/3)^3,
(与式) = (s/3)^3 - (2/27)s(ss-3t) - (1/9)(s^3 -4st+9u) ≦ (s/3)^3,

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