不等式への招待第９章 [無断転載禁止]©2ch.net

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1(14): 不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ) 2017/09/13(水)11:20 ID:i1anpb+k(1/7) AA×

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973: 2018/12/15(土)10:20 ID:iiLDF3is(2/3) AAS
>>968-969、>>972
たとえば、(a,b,c,d,e) = (-1,-1,-1,4,4)のとき、288.

この手の不等式を見たときに、方針がぱっと出てこない悲しさ。

974: 2018/12/15(土)10:43 ID:iiLDF3is(3/3) AAS
最大値や最小値をとるときの変数に、限界値の-1が入るのは理由があるのかな？

975: 2018/12/16(日)13:25 ID:u7Il/9pT(1/4) AAS
>>967
(1) a,b,c>-1 a+b+c=3 のとき、-32≦(a+b)(b+c)(c+a)≦8.
(2) a,b,c,d>-1 a+b+c=4 のとき、-48≦(a+b)(b+c)(c+a)≦144.
(3) a,b,c,d,e>-1 a+b+c+d+e=5 のとき、-512≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288.

976(2): 2018/12/16(日)13:54 ID:u7Il/9pT(2/4) AAS
書き直し
>>967
(1) a,b,c>-1 a+b+c=3 のとき、-32≦(a+b)(b+c)(c+a)≦8.
(2) a,b,c,d>-1 a+b+c=4 のとき、-48≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦144.
(3) a,b,c,d,e>-1 a+b+c+d+e=5 のとき、-512≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288.

977: 2018/12/16(日)14:36 ID:6WIjEwcK(1) AAS
>>976
これは一般化できそう

978: 2018/12/16(日)15:54 ID:u7Il/9pT(3/4) AAS
>>976
また書き間違ってるな (2)の条件のところ

979(4): 2018/12/16(日)15:54 ID:u7Il/9pT(4/4) AAS
もう一度書き直し
>>967
(1) a,b,c>-1 a+b+c=3 のとき、-32≦(a+b)(b+c)(c+a)≦8.
(2) a,b,c,d>-1 a+b+c+d=4 のとき、-48≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦144.
(3) a,b,c,d,e>-1 a+b+c+d+e=5 のとき、-512≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288.

980(1): 2018/12/17(月)06:11 ID:X9YWLOp7(1/2) AAS
〔予想〕
　a_1, a_2, …, a_n ≧ -1,　a_1+a_2+…+a_n = n, のとき

・n：奇数 (n≧5) ならば
　-(2^n)(n-1)^2 ≦ Π(a_j + a_{j+1}) ≦ 2^{n-2} (n-2)^2 (n-1),

・n:偶数ならば
　-2^{n-2} (n-2)^2 (n-1) ≦ Π(a_j + a_{j+1}) ≦（2^n)(n-1)^2,

「良そう」「止そう」と意見が割れるかも知りませぬが…

（不等式スレも平成のうちに2桁に到達でござる。思えば長い道でござった。)

981: 2018/12/17(月)15:34 ID:zsFrN7jo(1/2) AAS
第1章が2003年。
スレ立て放置されていた不等式スレを占拠して15年も経つのか…。

982: 2018/12/17(月)17:41 ID:X9YWLOp7(2/2) AAS
[初代スレ.019]
いいよ！

[初代スレ.034]
正の数 a,b,x,y,X,Y に対して
　(axX+byY)^3 ≦ (a^3+b^3)(x^3+y^3)(X^3+Y^3),

(右辺) - (左辺)
= (axY)^3 + (ayX)^3 + (bxX)^3 -3(byY)(axX)^2
　+ (bxY)^3 + (byX)^3 + (ayY)^3 -3(axX)(byY)^2
= (axY)^3 + (ayX)^3 + (bxX)^3 -3(axY)(ayX)(bxX)
　+ (bxY)^3 + (byX)^3 + (ayY)^3 -3(bxY)(byX)(ayY)
≧ 0,　　　(AM-GM)
スッキリ。

[初代スレ.039]
(参考書)
秋山仁 + ピーター･フランクル「[完全攻略] 数学オリンピック」日本評論社 (1991/Nov)
p.24-25 [例4-3]

983: 2018/12/17(月)20:12 ID:zsFrN7jo(2/2) AAS
懐かしい。当時は tanスレや nCrスレや、おいらには解けないスレとかあったよなぁ…。
パソコンを何度も買い替えて、今となっては過去ログが見れないが。

984(2): 2018/12/18(火)03:40 ID:e1oKVpnI(1/4) AAS
>>979
(1) a+b, b+c, c+a のうち負は高々１個。

a+b, b+c, c+a ≧0のとき、AM-GMより、
0 ≦ (a+b)(b+c)(c+a) ≦ [ {(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3]^3 = 8.

１つだけ負のとき、対称性から a+b < 0 ≦ b+c, c+a としてよい。
このとき、条件より 3<c≦5 で、AM-GMより、
0 ≦ -2(a+b)(b+c)(c+a) ≦ [ {-2(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3]^3 = (c-1)^3 ≦ 64.
(証明終)

985(1): 2018/12/18(火)07:27 ID:TqVGX/9j(1/4) AAS
〔補題〕
正の実数a,b,cに対して
[1]　(b/a) + (c/b) + (a/c) - {a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ (ab+bc+ca)^2 /{2(a+b+c)abc} ≧ 3/2,
[2]　a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ (a+b+c)^2 /2(ab+bc+ca) ≧ 3/2,

(略証)
[1]
(左辺) - (右辺)
　= ab/(c(b+c)) + bc/(a(c+a)) + ca/(b(a+b))
　= (ab+bc+ca)^2 /{abc[(b+c) + (c+a) + (a+b)]}
　≧ (ab+bc+ca)^2 /{2(a+b+c)abc},　　　(←コーシー)
　JMO-2004、[初代スレ.058]

[2]　もコーシーで出る。

なお、1/a = A, 1/b = B, 1/c = C とおくと
　(ab+bc+ca)^2 /{(a+b+c)abc} = (A+B+C)^2 /(AB+BC+CA),
　(a+b+c)^2 /(ab+bc+ca) = (AB+BC+CA)^2 /{(A+B+C)ABC},

(類) Nesbitt-Igarashi　　>>627　>>835

986(2): 2018/12/18(火)18:31 ID:e1oKVpnI(2/4) AAS
>>980
偶奇で異なることを見抜いたのは、何かコツがあるの？

987: 2018/12/18(火)19:23 ID:TqVGX/9j(2/4) AAS
>>985
　辺々たして…

[3]　(b/a) + (c/b) + (a/c) ≧ tt/2su + ss/2t ≧ √(st/u) ≧ 3,
　ここに　s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc.

　st-9u = a(b-c)^2 + b(c-a)^2 ＋ c(a-b)^2 ≧ 0,

988: 2018/12/18(火)19:41 ID:TqVGX/9j(3/4) AAS
>>986

{-1,……,-1,2n-1} のとき　(-1)^n･(2^n)(n-1)^2
{-1,…,-1,n-1,n-1} のとき　- (-1)^n･2^{n-2} (n-2)^2 (n-1)
かとオモタ。

989(1): 2018/12/18(火)21:15 ID:e1oKVpnI(3/4) AAS
>>979
よく見たら、条件式のa,b,c>-1のところが、書き間違ってるな。
正しくは a,b,c≧-1など。

990(3): 2018/12/18(火)21:42 ID:e1oKVpnI(4/4) AAS
>>979
(1)
a+1=A, b+1=B, c+1=C とおくと、問題は
『A,B,C≧0, A+B+C=6 のとき、32≧(A-4)(B-4)(C-4)≧-8』.

A+B+C=s(=6), AB+BC+CA=t, ABC=u とおくと、不等式は 0≦4t-u≦40.

う～む、非同次は難しい。
s=6だから、無理やり同時にすると、0≦2st-3u≦120.
これではダメか…。

991: 2018/12/18(火)23:13 ID:TqVGX/9j(4/4) AAS
>>990 (1)
s, t, u で表わせば
(与式) = (a+b)(b+c)(c+a)
　= (A+B - s/3)(B+C - s/3)(C+A - s/3)
　= (2s/3 - C)(2s/3 - A)(2s/3 - B)
　= -4(s/3)^3 + (2/3)st -u,

(与式) = - 4(s/3)^3 + (1/9){5st+(st-9u)} ≧ -4(s/3)^3,
(与式) = (s/3)^3 - (2/27)s(ss-3t) - (1/9)(s^3 -4st+9u) ≦ (s/3)^3,

992(2): 2018/12/19(水)04:07 ID:K5b8go44(1/2) AAS
>>990の続きだけど、これで合ってるかな？

> (1) a,b,c>-1 a+b+c=3 のとき、-32≦(a+b)(b+c)(c+a)≦8.
>
> a+1=A, b+1=B, c+1=C とおくと、問題は
> 『A,B,C≧0, A+B+C=6 のとき、32≧(A-4)(B-4)(C-4)≧-8』.
>
> A+B+C=s(=6), AB+BC+CA=t, ABC=u とおくと、不等式は 0≦4t-u≦40.

s=6を使って、同次化して、0 ≦ 9(2st-3u) ≦ 5s^3.
これを証明する。

右側： 5s^3 - 9(2st-3u) = 5(s^3-4st+9u) + 2(st-9u) ≧0.
左側： 9(2st-3u) = 15st + 3(st-9u) ≧0.

993: 2018/12/19(水)06:03 ID:5zoTD2o3(1/7) AAS
>>992
　正解です！

なお、
st - 9u = a(b-c)^2 + b(c-a)^2 ＋ c(a-b)^2 ≧ 0,

s^3 - 4st + 9u = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b)
= {ab(aa-bb)^2 + bc(bb-cc)^2 + ca(cc-aa)^2}/{(a+b)(b+c)(c+a)}
≧ 0,

外部ﾘﾝｸ:dic.nicovideo.jpシューアの不等式

994(1): 2018/12/19(水)06:36 ID:K5b8go44(2/2) AAS
>>979
(2)を>>984のように場合分けして解こうとしているんだけど、うまくいかん。

995: 2018/12/19(水)06:44 ID:5zoTD2o3(2/7) AA×
>>984 >>986 >>989 >>990 >>992 >>994

996: 2018/12/19(水)06:44 ID:5zoTD2o3(3/7) AA×

997: 2018/12/19(水)06:45 ID:5zoTD2o3(4/7) AA×

998: 2018/12/19(水)06:46 ID:5zoTD2o3(5/7) AA×

999: 2018/12/19(水)06:47 ID:5zoTD2o3(6/7) AA×

1000: 2018/12/19(水)06:48 ID:5zoTD2o3(7/7) AA×

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