[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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1(3): 不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ) 2017/06/25(日)17:20 ID:dLSgUfzK(1/9) AAS
AA省
2(9): 2017/06/25(日)17:21 ID:dLSgUfzK(2/9) AAS
不等式の和書
[1] 不等式（数学クラシックス11），ハーディ・リトルウッド・ポリヤ，シュプリンガー，2003年
外部ﾘﾝｸ:amazon.jp
[2] 不等式（数学選書），大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
[3] 不等式への招待（数学ゼミナール６），大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年
外部ﾘﾝｸ:amazon.jp
[4] 不等式入門（数学のかんどころシリーズ９），大関清太，共立出版，2012年
省13
3(1): 2017/06/25(日)17:22 ID:dLSgUfzK(3/9) AAS
不等式の項目を含む和書
[1] 数学トレッキングツアー第３章「相加平均≧相乗平均」，東京理科大学数学教育研究所，教育出版，2006年
外部ﾘﾝｸ:amazon.jp
[2] 獲得金メダル！ 国際数学オリンピック第１章「不等式」，小林一章，朝倉書店，2011年
外部ﾘﾝｸ:www.asakura.co.jp
[3] 数学オリンピック事典，数学オリンピック財団，朝倉書店，2001年
外部ﾘﾝｸ:amazon.jp
省19
4(2): 2017/06/25(日)17:23 ID:dLSgUfzK(4/9) AAS
不等式の記事
[1] 特集 「現代の不等式」 （数理科学 No.386） ，サイエンス社，1995年8月号（絶版）
[2] 特集 「不等式の世界」 （数学セミナー No.2-569） ，日本評論社，2009年2月号
外部ﾘﾝｸ:amazon.jp
[3] 連載 「不等式の骨組み」 （大学への数学 vol.53，全12回，各4ページ），栗田哲也，東京出版，2009年4月号-2010年3月号，2014年に書籍化（不等式の和書[10]）
外部ﾘﾝｸ:www.tokyo-s.jp
不等式の埋蔵地
省20
5: 2017/06/25(日)17:23 ID:dLSgUfzK(5/9) AAS
AA省
6: 2017/06/25(日)17:30 ID:dLSgUfzK(6/9) AAS
AA省
7(1): 2017/06/25(日)18:09 ID:dLSgUfzK(7/9) AAS
AA省
8: 2017/06/25(日)18:09 ID:dLSgUfzK(8/9) AAS
三角不等式
AM-GM不等式
Cauchyの不等式
Chebyshevの不等式
Holderの不等式
Jensenの不等式
並べ替え不等式
省8
9(1): 2017/06/25(日)18:37 ID:MnGS57Na(1) AAS
>>7
不等式（大関・青柳）
復刊キボンヌ！
不等式への招待
は尼でオンデマンド版が買えるけど
10: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/25(日)18:45 ID:i2ZaylUY(1/2) AAS
★★★忖度と処世術に汚染された日本人：権威主義的な支配と損したくない人達★★★
〜〜〜芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか〜〜〜
佐藤幹夫：自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄：人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。
隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国？
（佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが）芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
省15
11: 2017/06/25(日)18:45 ID:dLSgUfzK(9/9) AAS
>>9
( ﾟ∀ﾟ)つ [2] 不等式（数学選書），大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
12(1): ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/25(日)18:49 ID:i2ZaylUY(2/2) AAS
★★★忖度と処世術に汚染された日本人：権威主義的な支配と損したくない人達★★★
〜〜〜芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか〜〜〜
佐藤幹夫：自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄：人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。
隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国？
（佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが）芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
省15
13: 2017/06/26(月)00:45 ID:69lL3x+q(1) AAS
>>12 こんの、ハゲーーーっ！！
14: 2017/06/26(月)02:02 ID:WMgNNINg(1) AAS
1001 1001 Over 1000 Thread
このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
life time: 1569日 3時間 9分 28秒
約4年かかってて草
15: 2017/06/26(月)03:33 ID:ChRIm5Q7(1) AAS
全国521駅｢10年累計鉄道自殺数｣ランキング
2016年06月22日
西八王子駅（東京）……39件
桶川駅（埼玉）…………34件
川崎駅（神奈川）………31件
新小岩駅（東京）………30件
新宿駅（東京）…………30件
省10
16: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/26(月)04:42 ID:dYpMJpMg(1/10) AAS
￥
17: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/26(月)04:42 ID:dYpMJpMg(2/10) AAS
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18: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/26(月)04:43 ID:dYpMJpMg(3/10) AAS
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19: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/26(月)04:43 ID:dYpMJpMg(4/10) AAS
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20: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/26(月)04:43 ID:dYpMJpMg(5/10) AAS
￥
21: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/26(月)04:44 ID:dYpMJpMg(6/10) AAS
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22: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/26(月)04:44 ID:dYpMJpMg(7/10) AAS
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23: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/26(月)04:44 ID:dYpMJpMg(8/10) AAS
￥
24: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/26(月)04:45 ID:dYpMJpMg(9/10) AAS
￥
25: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/26(月)04:45 ID:dYpMJpMg(10/10) AAS
￥
26(4): 2017/06/28(水)11:25 ID:GT7HZs9l(1) AAS
Σ(a_i)^2≧(1/n)(Σ(a_i))^2
和は１からｎまで
a_iは実数です
これって成り立ちますかね？
a^2+b^2≧(1/2)(a+b)^2
a^2+b^2+c^2≧(1/3)(a+b+c)^2
みたいな感じです
省1
27: 2017/06/28(水)12:26 ID:/JHIATvZ(1) AAS
>>26
まずは、ageるな。
ageると、￥が荒らしに来るから。
28: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/28(水)13:00 ID:A63zUC8I(1) AAS
￥
29: 2017/06/28(水)13:01 ID:qKgfuKoo(1/3) AAS
>>26
成り立つことの証明は
分からない問題はここに書いてね428
の>116に書いてあるよ。
30(1): 2017/06/28(水)13:05 ID:qKgfuKoo(2/3) AAS
>>26
B＝2Σ_{1≦i＜j≦n}(a_i・a_j)
から各積 a_i・a_j 1≦i＜j≦n を取り出すときは
B の 2Σ_{1≦i＜j≦n}(a_i・a_j) の部分から取るという話ね。
31: 2017/06/28(水)13:08 ID:qKgfuKoo(3/3) AAS
>>26
>>30の訂正：
B の 2Σ_{1≦i＜j≦n}(a_i・a_j) の部分 → B の Σ_{1≦i＜j≦n}(a_i・a_j) の部分
32: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/29(木)01:28 ID:0RPSduFk(1/12) AAS
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33: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/29(木)01:28 ID:0RPSduFk(2/12) AAS
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34: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/29(木)01:28 ID:0RPSduFk(3/12) AAS
￥
35: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/29(木)01:29 ID:0RPSduFk(4/12) AAS
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36: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/29(木)01:29 ID:0RPSduFk(5/12) AAS
￥
37: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/29(木)01:29 ID:0RPSduFk(6/12) AAS
￥
38: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/29(木)01:30 ID:0RPSduFk(7/12) AAS
￥
39: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/29(木)01:30 ID:0RPSduFk(8/12) AAS
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40: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/29(木)01:30 ID:0RPSduFk(9/12) AAS
￥
41: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/29(木)01:31 ID:0RPSduFk(10/12) AAS
￥
42(2): 2017/06/29(木)11:27 ID:W3RXb80R(1) AAS
〔問題216〕
実数a〜dについて
（aa+ac+cc) (bb+bd+dd）≧（3/4) (ab+bc+cd)^2,
（aa+ac+cc) (bb+bd+dd）≧（3/4) (ad-bc)^2,
43: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/29(木)11:34 ID:0RPSduFk(11/12) AAS
￥
44: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/06/29(木)13:26 ID:0RPSduFk(12/12) AAS
￥
45: 2017/06/29(木)14:31 ID:6Aq4M2nP(1) AAS
わざわざほかのスレに貼るのやめろよ
46: 2017/06/29(木)17:22 ID:VBt2ub+o(1) AAS
うむ、他スレで見かけた不等式を収集するのは別だが。
47(6): 2017/06/30(金)18:19 ID:g/dkToLH(1/2) AAS
>>42
左辺が ｐｐ+ｐｑ+ｑｑ の形になるのは、アイゼンシュタイン整数Ｚ[ω］のノルムみたいなもの？
ナゴヤ△と関係あるの賀茂鴨
48(4): 2017/06/30(金)18:39 ID:g/dkToLH(2/2) AAS
>>47
z1 = a - cω,
z2 = d - bω （a〜d∈Ｚ）
をアイゼンシュタイン整数とすると、
z1･z2 = (ad-bc) - (ab+bc+cd)ω,
49(3): 2017/07/04(火)01:40 ID:Wi3Yphfr(1) AAS
>>47
ナゴヤ△ ＝ ノルムが平方数であるアイゼンシュタイン整数
50(2): 2017/07/06(木)11:31 ID:TXO3PlHQ(1) AAS
>>47-49
ナゴヤ△は、乗法について閉じている。
51(1): 2017/07/06(木)20:49 ID:nv6IrYms(1) AAS
実数 x,y,z が x^2 + y^2 + z^2 =1 をみたすとき、
(x-y)(y-z)(z-x)、(2x-y)(2y-z)(2z-x) の最大値を求めよ。
52(1): 2017/07/07(金)01:47 ID:aKMbWmCY(1) AAS
>>51
右：
y は x、z の中間にある、とする。
y を x、z の中間で動かすとき、
|x-y| |y-z| ≦ (1/4)|z-x|^2,
∴y=(x+z)/2（等間隔）のとき最大で
(与式）≦（1/4)|z-x|^3 ≦ 1/√2,
省1
53(1): 2017/07/07(金)16:59 ID:A1/MZg5M(1) AAS
B.4599
Solve the equation (sin x)^5 + (cos x)^5 + (sin x)^4 = 2.
外部ﾘﾝｸ[cgi]:www.komal.hu
この問題を過去スレで改造手術してなかったっけ？ うまく見つけられなかった。
-1 ≦ (sin x)^5 + (cos x)^5 + (sin x)^4 ≦ 2
いい証明方法ない蟹？
54(1): 2017/07/08(土)03:52 ID:E7CWjLAg(1/4) AAS
>>53
sin(x) + cos(x) = y とおく。
1 - sin(x)^5 - cos(x)^5
= (1/2) {1-sin(x)} {1-cos(x)} F(sin(x)+cos(x))
= (1/4) (1-y)^2 F(y)
≧0,
F(y) = 4+3y+2yy+y^3 ≧ 8 - 5√2 > 0,
省6
55: 2017/07/08(土)12:59 ID:E7CWjLAg(2/4) AAS
>>54
補足
F(y) = F(-√2) + (√2 +y) {2 + (1 -(1/√2) +y)^2}
≧ F(-√2)
= 8 -5√2,
訂正
1 + sin(x)^5 + cos(x)^5
省3
56: 2017/07/08(土)13:38 ID:E7CWjLAg(3/4) AAS
>>47-50
7 =｜5＋8ω｜=｜5ω＋8｜ … ナゴヤ
ただし、1+ω+ω^2 =0.
>>52
(x,y,z) は単位球面上の点。
x,zを止めてyだけ動かすのは無理
57: 2017/07/08(土)18:05 ID:E7CWjLAg(4/4) AAS
>>47-50
｜a - bω| = c,
aa+ab+bb = cc,
とする。
ピタゴラス数との類推により
a = mm-nn,
b = (2m+n)n,
省5
58: 2017/07/09(日)17:40 ID:hraGPmBR(1) AAS
〔Golden-Thompsonの不等式〕
A、Bがエルミート行列のとき、
tr｛exp(A+B)｝≦ tr｛exp(A)exp(B)｝
S.Golden(1965)、C.J.Thompson(1965)
数セミ増刊「数学の問題 第(2)集」日本評論社（1978）No.96
No.96
59: 2017/07/10(月)03:41 ID:pArAdsTp(1) AAS
>>956 (3)
｛Σ[n=1〜∞] (x/n)^n｝^(1/x）≒ ｅ^(1/e + 4/x + …)
Lim[x→∞］｛Σ[n=1〜∞] (x/n)^n｝^(1/x）= ｅ^(1/e）= 1.444667861
60(1): 2017/07/12(水)23:08 ID:4DpnFpJn(1) AAS
AA省
61(1): 2017/07/13(木)00:13 ID:aYclV8OY(1/9) AAS
Ono Inequality
外部ﾘﾝｸ[html]:mathworld.wolfram.com
62(2): 2017/07/13(木)00:58 ID:oVTfqBd/(1/6) AAS
>>60
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.orgピコーンの等式
>>61
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.orgオノの不等式
63(1): 2017/07/13(木)01:04 ID:aYclV8OY(2/9) AAS
>>62
オノの不等式
> 1914年に T.オノはこの式が任意の三角形について成り立つと予想したが、
> 1916年に Balitrand によって予想が誤りであることと、鋭角三角形であればこの式が成り立つことが示された。
T.オノって何者だ？
64: 2017/07/13(木)01:06 ID:aYclV8OY(3/9) AAS
Ono Inequality
鋭角三角形の3辺の長さを a, b, c, 面積を S とするとき、
27(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) ≦ (4S)^2
65(1): 2017/07/13(木)01:19 ID:aYclV8OY(4/9) AAS
不等式スレの第１章より前から集めているコレクションから引っ張り出してきた。
（つい最近まで出典をメモする習慣がなかったことを激しく後悔…）
実数 a,b,c に対して、
(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) ≦ {(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^2
さて、a,b,cを鋭角三角形の3辺の長さとして、この右辺と Ono Inequality の右辺の大小とか定まるかな？
66(2): 2017/07/13(木)01:22 ID:aYclV8OY(5/9) AAS
AA省
67: 2017/07/13(木)03:52 ID:oVTfqBd/(2/6) AAS
>>65
a,b,cが鋭角△をなすとき
(bb+cc-aa)(cc+aa-bb)(aa+bb-cc) ≦ {(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^2 ≦（4S/√3)^3 ≦ (2s/3)^6,
S=△ABC、 s=(a+b+c)/2.
(左)
(bb+cc-aa)(cc+aa-bb）=（cc)^2 -（aa-bb)^2
=［c^2 - (a-b)^2］^2 - 2(aa+bb-cc)(a-b)^2
省13
68: 2017/07/13(木)04:08 ID:oVTfqBd/(3/6) AAS
>>66 上
a+b-c=2z，b+c-a=2x，c+a-b=2y とおく。(*)
x,y,zは任意の正数。
abc - (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) = (y+z)(z+x)(x+y) - 8xyz
= x(y-z)^2 + y(z-x)^2 + z(x-y)^2
≧ 0,
等号は x=y=z、つまり a=b=c （正△）
省1
69(9): 2017/07/13(木)05:10 ID:aYclV8OY(6/9) AAS
(1)
正の数 a,b,c に対して、
(a+b+c)^5 ≧ 27(ab+bc+ca)(ab^2 + bc^2 +ca^2)
(2)
ab+bc+ca=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、
a+b+c ≧ abc+1
(3)
省19
70(4): 2017/07/13(木)05:12 ID:aYclV8OY(7/9) AAS
>>69の訂正
(2)
ab+bc+ca=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、
a+b+c ≧ abc+2
71(3): 2017/07/13(木)07:03 ID:aYclV8OY(8/9) AAS
(4)
正の数 a,b,c に対して、
{(b+c)/a}^3 + {(c+a)/b}^3 + {(a+b)/c}^3 ≧ 24
72(4): 2017/07/13(木)10:54 ID:aYclV8OY(9/9) AAS
B.3989
外部ﾘﾝｸ[cgi]:www.komal.hu
a, b, c are positive numbers, such that a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4. Prove that a+b+c<3.
A.422、B3987 にも不等式があるね。
73(1): 2017/07/13(木)17:42 ID:oVTfqBd/(4/6) AAS
>>71
(4)
(b+c)/a=x, (c+a)/b=y, (a+b)/c=z とおく。
x^3 + y^3 + z^3 = {(x+y+z)^3 +5s(ss-3t) +3(s^3-4st+9u)}/9 ≧ (1/9)(x+y+z)^3,
x+y+z = 6＋（a/b+b/a-2)＋(b/c+c/b-2)＋(c/a+a/c-2）≧ 6,
>>72
B.3987
省11
74: 2017/07/13(木)17:54 ID:oVTfqBd/(5/6) AAS
>>73 訂正
B.3989
cos(x）は｜x｜<π/2 で上に凸でした。
(別解)
a=2sin(A/2)，b=2sin(B/2)，c=2sin(C/2) とおく。以下同様
75: 2017/07/13(木)18:37 ID:oVTfqBd/(6/6) AAS
>>72
A.422
Σ[i=1,n] x(i) = x(n+1) = S とおく。
Σ[i=1,n] x(i)^2 ≧ SS/n,
y=√x は上に凸だから
(左辺)^2 ≦ n｛ Σ[i=1,n] x(i) [S -x(i)] }
= n｛ SS -Σ[i=1,n] x(i)^2 }
省5
76(2): 2017/07/14(金)01:59 ID:54s0BI7v(1/6) AAS
>>72
A.422
(左辺)^2 ≦ n｛Σ[i=1,n] x(i)[S-x(i)] }
≦｛Σ[i=1,n] x(i)} {Σ[j=1,n] [S-x(j)]} (チェビシェフ)
= S・(n-1)S
でもいいか...
〔B.3987.改〕
省10
77(6): 2017/07/14(金)02:41 ID:5qutPAyo(1) AAS
>>72
蒐集癖に火がついたでござる ( ﾟ∀ﾟ) ﾊｧﾊｧ…
以下、a, b, c は a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 をみたす正の実数とする。←非負実数でいいよね？多分…
(1) a+b+c ≧ ab+bc+ca
(2) abc+2 ≧ ab+bc+ca ≧ abc
(3) a+b+c<3
(4) (2+a)(2+b)(2+c) ≧27abc
省10
78: 2017/07/14(金)04:47 ID:54s0BI7v(2/6) AAS
>>77
(3) はイランMO-2002、A16 かな？
Solution 見ても出典が無い。ほんとに KoMaL
「博士の愛した不等式」慎重文庫（2005）
79(1): 2017/07/14(金)04:54 ID:54s0BI7v(3/6) AAS
>>76
〔B.3987.改〕
k≦L のとき、Ｐ_k・Ｐ_L ≦ Ｐ_{k-1}･Ｐ_{L+1}
80: 2017/07/14(金)10:25 ID:54s0BI7v(4/6) AAS
>>66 下
a+b-c=z，b+c-a=x，c+a-b=y とおく。(*)
x,y,zは任意の正数。
a+b+c = x+y+z,
xy = cc-(a-b)^2 ≦ cc,
yz = aa-(b-c)^2 ≦ aa,
zx = bb-(c-a)^2 ≦ bb,
省5
81: 2017/07/14(金)13:02 ID:54s0BI7v(5/6) AAS
>>69
[第5章.667]
a+b+c+d = s，ab+ac+ad+bc+bd+cd = t，abc+abd+acd+bcd = u とおく。
2tt - (9/2)su =（ab-cd)^2 + (ac-bd)^2 + (ad-bc)^2 + (1/4)(aa+bb)(c-d)^2 + … ≧ 0,
2st - 12u =（a+b)(c-d)^2 + (a+c)(b-d)^2 + … + (c+d)(a-b)^2 ≧ 0,
∴ 2t^3 ≧ 27uu,
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