[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第４章 (706ﾚｽ)
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504(2): 2009/09/30(水)14:23 AAS
＞I＝[0，1]，f (x) ∈ C^2 (I) とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
＞( max [I] | f’(x) | )^2 ≦ M ( max [I] | f (x) | ) ( max [I] | f (x) | ＋ max [I] | f”(x) | )
＞ただし，M は f に無関係な定数とする．

簡単のためA＝max [I] | f (x) |，B＝max [I] | f ' ' (x) |とおく。
A＝0のときはf≡0だから、既に成り立っている。以下、A≠0とする。

a∈[0,1]を任意に取り、固定する。各x∈[0,1]に対して、適当なθ＝θ(x)があって
f (x)＝f (a)＋f ' (a)(x−a)＋f ' ' (θ)(x−a)^2/2
省14

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506(1): 2009/10/01(木)16:52 AAS
>>504-505
流石にこのスレはレベルが高いですね．
t＝(1/4)*√{A/(A＋B)} 辺りが肝だと思いますが，
どうやって思いついたのですか？
とりあえず 2A/|x−a|＋B|x−a|/2 のうちどちらを const.√{A(A＋B)}
の形にするかで，前者を選んだと言うことでしょうか？

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507(2): 2009/10/01(木)19:00 AAS
>>504-505 さんの解答をほとんど同じですが，より平易に書いて見ました．
文字は>>504-505 さんのものを使用します．

x，a∈[0，1]，a を固定し x≠a とする．

{f(x)−f(a)}/(x−a)＝f’(c) となる c が x と a の間に存在
|f’(c)|≦( |f(x)|＋|f(a)| )/|x−a|≦2A/|x−a|．．．�@

f’(c)−f’(a)＝∫[a，c]f”(t)dt より
|f’(a)|≦|f’(c)|＋|∫[a，c]f”(t)dt|≦|f’(c)|＋|c−a| B≦|f’(c)|＋B|x−a| ．．．�A
省6

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