[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第４章 (706ﾚｽ)
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41: 2009/06/24(水)04:36 AAS
>>26は高校範囲だとどう解くんだ．．．？
42(1): 2009/06/24(水)05:07 AAS
x=-5-4√2
y=-1-√2
z=-1-√2
43(1): 2009/06/24(水)08:32 AAS
>>42みたいに適当に-1より小さい2つの無理数で計算しやすい組とってきて代入してもうひとつの文字求めればいいだけじゃないの
思いついたのは
x=-3+√2,y=-3-√2,z=-7-2√7
なんでそんなにややこしく考えるのかわからん
44: 41 2009/06/24(水)13:08 AAS
>>43
ちょっと行き当たりばったりすぎな気もしたから，もうちょっとウマク平易に解きたかったんだ
先験的に解くと>>35みたいなのになり，それを元に>>34みたいな答えが出てくる
45: 2009/06/24(水)13:17 AAS
(1)の結果と>>36から-1より小さい実数をx,yに代入してzを求めたらx+y+z<3は自ずと満たされる
別に行き当たりばったりでもないだろ
46: 2009/06/24(水)13:21 AAS
このスレでオナニーの邪魔をするのは無粋というもの…
47: 2009/06/24(水)19:32 AAS
>>26 (1)
（>>36 の解説）
題意より x-1 <-1, y-1 <-1 だから、>>36 より
(x+1)(y+1) ≧0,
x+1 と y+1 は同符号。
同じ様に
x+1, y+1, z+1 は同符号。
省3
48: 2009/06/24(水)19:52 AAS
お前らかっけー
49: 2009/06/26(金)01:13 AAS
微分法を使わずに
x≧0におけるx^3-3xの最小値を求めることってできますか？
50: 2009/06/26(金)01:47 AAS
x^3 - 3x = (x+2) (x-1)^2 - 2
51: 2009/06/26(金)01:59 AAS
x^3+1+1≧3x⇔x^3-3x≧-2
じゃあ駄目？
52: 2009/06/26(金)04:24 AAS
x^3+1+1に ( ﾟ∀ﾟ)つ AM-GM
53(1): 2009/06/26(金)04:24 AAS
a>>0b>>0のとき
(b^2/a^2)−a＋b^2−1＋(a^2/b^2)−b^2/a
の最小値を求めよ
54(2): 2009/06/26(金)18:41 AAS
Canada 1997
1/1999 ＜ Π[i=1 to 999] (2i-1)/2i ＜ 1/44
55: 2009/06/26(金)21:41 AAS
>>54
(2i-1)(2i+1) = (2i)^2 -1 < (2i)^2 より,
(2i-1)/(2i) < (2i-1)/√{(2i-1)/(2i+1)} < √{(2i-1)/(2i+1)}
(4i-1)(4i+1) = (4i)^2 -1 < 4(2i)^2 より,
(2i-1)/(2i) = 1 - 1/(2i) = √{1 - (4i-1)/(2i)^2} > √{1 - 4/(4i+1)} = √{(4i-3)/(4i+1)},
すなわち
√{(4i-3)/(4i+1)} < (2i-1)/(2i) < √{(2i-1)/(2i+1)}
省6
56: 55 2009/06/26(金)22:25 AAS
訂正ｽﾏｿ
(2i-1)/(2i) < (2i-1)/√{(2i-1)＊(2i+1)} ＝ √{(2i-1)/(2i+1)},
ｉ= 2,･･･,n を掛けて
57: 2009/06/26(金)22:33 AAS
>>54
(2i-1)2i ＞ (2i-1)/(2i+1) より
Π[i=1 to 999] (2i-1)/2i ＞ Π[i=1 to 999] (2i-1)/(2i+1) = 1/1999
(2i-1)2i ＜ 2i/(2i+1) より
(Π[i=1 to 999] (2i-1)/2i)^2
＜ (Π[i=1 to 999] (2i-1)/2i)(Π[i=1 to 999] 2i/(2i+1))
＜ Π[i=1 to 999] ((2i-1)/2i) (2i/(2i+1))
省4
58(3): 2009/06/26(金)22:40 AAS
素朴な疑問ですけど
簡単のため、x,f(x),g(x)>>0として
f(x)-g(x)やf(x)/g(x)の最小値を求める問題で
f(x)≧g(x)+Kを導き出して
f(x)-g(x)の最小値はKといったり
（ex：f(x)=x^3,g(x)=3x,K=-2）
f(x)≧Kg(x)を導き出して
省3
59(1): 2009/06/26(金)22:47 AAS
>>58
問題ないと思いますよ
60: 2009/06/26(金)23:03 AAS
>>59
ありがとうございます
61(1): 2009/06/27(土)00:04 AAS
>>58
前者はおｋ
後者の場合はg(x)が正数値を取るか負数値を取るか，はたまたゼロかで違う．
安易に考えてはいけない場合だよ．
その例だと定義域が書いてないので，負・正0ではそれぞれ負・正無限大に発散するので，最小値無し．
定義域がx>>0であれば最小値1(x=1)でおｋだけど
62: 2009/06/27(土)00:08 AAS
>>61
>>58 には
『簡単のため、x,f(x),g(x)>>0として』
と書いてあったので…
63: 61 2009/06/27(土)00:42 AAS
ごめん，読み飛ばしてた(爆)
orzorzorz
64(1): 2009/06/27(土)21:27 AAS
>>53
b/a + a/b -2 = (b-a)^2 /(ab) = x とおく。xの変域は x≧0,
b/a + a/b +2 = (b+a)^2 /(ab) = x+4,
(b/a)^2 + (a/b)^2 -2 = (b^2 - a^2)^2/(ab)^2 = (b-a)^2･(b+a)^2/(ab)^2 = x(x+4),
よって
(与式) = x(x+4) -bx +(b-1)^2 = x^2 + (4-b)x +(b-1)^2 = (x+2 -b/2)^2 + (3/4)(b^2 -4) = F(x,b),
これはxの2次式で、軸のx座標は b/2 -2 である。
省10
65: 2009/06/28(日)02:32 AAS
AA省
66: 2009/06/28(日)21:26 AAS
情報
今年の群馬大の入試は関数方程式と不等式を絡めたやつが出たらしい
（問題知ってる人は頼みます）
月刊大数で毎月不等式の記事が出てるらしい
67(6): 2009/06/29(月)02:56 AAS
p_iをi番目に大きい素数とする。
p_(n+1)と1+Π[i=1→n]の大小関係を答えよ。
(0.99)^99 と (1.01)^(-101) の大小関係を答えよ。
sin44°とsin46°の大小関係を答えよ。
n≧2の時
1^n×2^(n-1)×…×n^1＞(n・n!/2^n)^((n+1)/2)
を示せ。
省7
68: 2009/06/29(月)03:33 AAS
>>67
> sin44°とsin46°の大小関係を答えよ。
ぽかーん…
69(1): 2009/06/29(月)04:03 AAS
何も考えずに問題を貼ってしまった、すまない
元ネタ
NO.5-1 sin44°とsin46°〜難易度☆☆★★★
問題
25:以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします :2008/11/05(水) 02:07:27.33 ID:zPq0YMmyO
>>22
(sin44°)/(sin46°)は1より大きいか
省13
70: 2009/06/29(月)07:45 AAS
>大小比較を何をもってするかが、重要。
>手によっては、相当大変かもしれない。
そうやってる当人に言われると説得力があるな
71: 2009/06/29(月)09:06 AAS
sinが[0,π/2]で単調増加という事実は知らないものとして答えよ
という問題だったんだろうか．．．
72: 2009/06/29(月)10:50 AAS
>>69
え。。。
73(1): 2009/06/29(月)12:36 AAS
元ネタ発見
> 102 ：名無しなのに合格[sage]：2008/11/15(土) 01:30:06 ID:gZbowFD2O
> sin44°sin46°は1より大きいか
> 103 ：名無しなのに合格[sage]：2008/11/15(土) 01:30:49 ID:gZbowFD2O
> >>102の右辺は1/2だった
> 104 ：名無しなのに合格[sage]：2008/11/15(土) 01:31:36 ID:gZbowFD2O
> 右辺てか１→1/2な
省5
74: 2009/06/29(月)14:10 AAS
>>73
それでも三角関数バラすだけだな
2 sin(x-a) sin(x+a) = cos(2a) - cos(2x)
∴ 2 sin(45-1) sin(45+1) = cos(2) < 1
75(1): 2009/06/29(月)22:23 AAS
>>67
(0.99)^99 と (1.01)^(-101) の大小関係
〔補題〕 |h| <0 のとき
(1-h)^(1-h) * (1+h)^(1+h) ≧ 1,
(略証)
f(x) = x･log(x) とおく。(x > 0)
f(x) = -x･log(1/x) = -x･log(1 - (1 -1/x)) ≧ -x･{-(1 -1/x)} = x-1,
省6
76(1): 2009/06/30(火)01:16 AAS
>>67
> (0.99)^99 と (1.01)^(-101) の大小関係を答えよ。
200個の相加相乗平均不等式より，
1 = (1/0.99)×99 + (1/1.01)×101 ≧ { (0.99)^(-99) (1.01)^(-101) }^(1/200)
1/0.99 ≠ 1/1.01 より，相加相乗平均の等号成立条件は満たされない。ゆえに
1 > (0.99)^(-99) (1.01)^(-101)
∴ (0.99)^99 > (1.01)^(-101) （終）
77: 2009/06/30(火)01:18 AAS
>>76の訂正
1 = {(1/0.99)×99 + (1/1.01)×101} / 200 ≧ { (0.99)^(-99) (1.01)^(-101) }^(1/200)
78: 2009/06/30(火)22:20 AAS
>>75の補足
1-h : 1+h = m : n のとき
2m/(m+n) = 1-h, 2n/(m+n) = 1+h,
相加相乗平均より
1 = {(1/(1-h))*m + (1/(1+h))*n}/(m+n) ≧ {(1/(1-h))^m･(1/(1+h))^n}^(1/(m+n))
= (1/(1-h))^((1-h)/2)･(1/(1+h))^((1+h)/2)
= 1/√{(1-h)^(1-h) * (1+h)^(1+h)},
79(2): 2009/07/01(水)02:53 AAS
F[n]はフィボナッチ数列とするとき
(F[n])^2≦F[2n]≦(F[n+1])^2
80: 2009/07/01(水)06:34 AAS
F[n]を行列表示してF[2n]をF[n]などで表す式を出して、以下略
81(1): 2009/07/01(水)17:15 AAS
行列表示？
82(1): 2009/07/01(水)19:30 AAS
>>79
簡単な計算により
F[2n] = 2 F[n+1] F[n] - F[n]^2
よって
F[2n] ≧ 2 F[n]^2 - F[n]^2 = F[n]^2
F[2n] ≦ F[n+1]^2 - (F[n-1] - F[n])^2 ≦ F[n+1]^2
83: 2009/07/01(水)19:31 AAS
>>82
最後の行のF[n-1]はF[n+1]の間違い
84(1): 2009/07/01(水)20:54 AAS
>>81
F[n+1] F[n]
F[n] F[n-1]
という行列M[n]を作ると、(F[0]=0)
11
10
のｎ乗になるから M[2n]=M[n]^2 より簡単な関係式が出てくるちゅーこと。
省1
85: 2009/07/01(水)22:08 AAS
>>79
加法公式 F[m+n+1] = F[m+1]F[n+1] + F[m]F[n] により
F[2n] = F[n]F[n+1] + F[n-1]F[n],
よって
F[2n] ≧ F[n]F[n] + F[n-1]F[n] = {F[n]+F[n-1]}F[n] = F[n+1]F[n],
F[2n] ≦ F[n]F[n+1] + F[n-1]F[n+1] = {F[n]+F[n-1]}F[n+1] = F[n+1]^2,
2chｽﾚ:math ,038
省1
86(2): 2009/07/01(水)23:24 AAS
>>67
2^(n-1) ･ 3^(n-2) … (n-1)^2 ･ n^1 = 2!･3!････(n-1)!n! = m_n,
2^2 ･ 3^3 ･ ･… (n-1)^(n-1) ･n^n = M_n,
とおくと、
m_n・M_n = (n!)^(n+1), ････････(1)
一方、補題↓ より
M_n / e^(n(n-1)/2) < m_n < M_n / e^(n(n-1)/2), ･･･････(2)
省10
87: 2009/07/02(木)00:19 AAS
>>84
なるほど。thx
88(1): 2009/07/02(木)03:14 AAS
|x･y^2･z^3|/(1+x^2+y^2+z^2)^4≦K
89: 2009/07/02(木)20:04 AAS
>>88
w=1 とおく。
w^2 = W, 2x^2 = X, y^2 =Y, (2/3)z^2 = Z とおく。
{W,W,X,Y,Y,Z,Z,Z} の8個で相乗･相加平均すると、
(W^2･X･Y^2･Z^3)^(1/8) ≦ (W+W+X+Y+Y+Z+Z+Z)/8,
(16/27)^(1/8)(w^2･x･y^2･z^3)^(1/4) ≦ (w^2 + x^2 + y^2 + z^2)/4,
両辺を4乗して
省4
90(1): 2009/07/02(木)20:09 AAS
問題仕入れてきた
91(4): 2009/07/02(木)22:23 AAS
問1
1辺が1の正方形の各辺上に4点をとる
この4点を頂点とする四角形の周の長さは2√2以上であることを示せ
問2
∠A=20ﾟ，AB=ACの二等辺三角形がある
2AB<AC<3ABを示せ
問3
省15
92: 2009/07/03(金)00:45 AAS
(；´д｀) ﾊｧﾊｧ…
93: 2009/07/03(金)06:30 AAS
問2
∠A=20ﾟ，AB=ACの二等辺三角形がある
2BC<AC<3BCを示せ
~~~~~~~~~~~~~~
ABじゃなくBC
94(1): 2009/07/03(金)18:51 AAS
四面体のある1辺をとり、その辺をBCとし、BC=1とする。四面体A-BCDにおいて、AからBCに下ろした垂線の長さとDからBCに下ろした垂線の長さはともに1/2以上となる。
このような1辺がとれることを示せ。
お願いします。
95(1): 2009/07/03(金)20:28 AAS
問題文書き直します。
任意の四面体について、ある1辺をとり、その辺をBCとする。このとき、四面体をA-BCDとすると、AからBCに下ろした垂線の長さとDからBCに下ろした垂線の長さはともに(1/2)*BC以上となる。
このようなある1辺(=BC)がとれることを示せ。
96: 2009/07/03(金)22:52 AAS
>>91
問1
(a+b)^2 > a^2 + b^2 = (1/2)(a+b)^2 + (1/2)(a-b)^2 ≧ (1/2)(a+b)^2,
直角3角形の辺の長さを a,b,c とすると
a+b > c = √(a^2 + b^2) ≧ (a+b)/√2,
4辺について たす。
(□の周長) > (◇の周長) ≧ (□の周長)/√2,
省12
97: 2009/07/03(金)22:54 AAS
>>91
問4
題意より
BM = CM,
∠AMB + ∠AMC = 180ﾟ ゆえ sin(∠AMB) = sin(∠AMC),
よって正弦定理から
省15
98(1): 96-97 2009/07/03(金)23:19 AAS
>>91
問2
この正18角形は、半径 √{AB^2 -(BC/2)^2} の円に外接するから、
周長 = 18*BC > 2π√{AB^2 - (BC/2)^2},
AB/BC < √{(18/2π)^2 + (1/4)} = 2.908095
99: 2009/07/03(金)23:20 AAS
＞問6
＞ f(exp(u)) = g(u) とおくと、
＞ g(u+v) = f(exp(u+v)) = f(exp(u)exp(v)) = f(exp(u)) + f(exp(v)) = g(u) + g(v), ････ 加成性
＞∴ g(u) = au,
＞∴ f(x) = g(log(x)) = a･log(x),
＞題意より a>>0 なので y=f(x) は上に凸.
＞∴ g(u) = au,
省2
100(1): 2009/07/03(金)23:26 AAS
>>94 >>95
それって締切前の問題じゃないか？
自分の頭で考えろよ
101(1): 2009/07/03(金)23:40 AAS
>>100
なんか勘違いしてません？
102(3): 2009/07/04(土)00:08 AAS
いびつなサイコロがあり、1から6までのそれぞれの目が出る確率が1/6とは限らないとする。
このさいころを2回ふったとき同じ目が出る確率をPとし、
1回目に奇数、2回目に偶数の目が出る確率をQとする。
(1) P≧1/6であることを示せ。また、等号が成立するための必要十分条件を求めよ。
(2) 1/4≧Q≧(1/2)-(3/2)Pであることを示せ。
A=1/(21･1009)，B=[{1+(1/2009)}^(1/21)]-1，C=1-[{1-(1/2009)}^(1/21)]とする。
これらの中で最大のものと、最小のものを答えよ。
103: 2009/07/04(土)02:03 AAS
ここを見ると格の違いを感じるorz
104: 2009/07/04(土)13:28 AAS
>>91
問2
合同な三角形を3つ並べる. (頂点Aを重ねる.)
△ABC ≡ △ACD ≡ △ADE,
∠BAE = 3∠A = 60ﾟ,
AB = AE,
∴ △ABE は正三角形.
省9
105: 2009/07/04(土)15:34 AAS
AA省
106: 2009/07/04(土)15:41 AAS
AA省
107: 2009/07/04(土)21:18 AAS
>>102 (下)
n = 21, h = 1/2009, とおく。
A = h/n, B = (1+h)^(1/n) -1, C = 1 -(1-h)^(1/n),
x^n - {1 + n(x-1)} = (x-1){Σ[k=1,n-1] x^k - n} = (x-1)^2･{Σ[k=0,n-2] (n-1-k)x^k } ≧ 0.
に x = 1±(h/n) を代入。
108: 2009/07/04(土)22:14 AAS
>>101
勘違い？ してないと思うが。
件の問題の一過程だろ？
109: 101 2009/07/04(土)22:16 AAS
もっと言うと、この前別のところに
「三角形の内部の点に対して3頂点からの積が云々」
という質問も見かけたが君ではないのかな？
110: 2009/07/04(土)23:20 AAS
奉納
実数x［i］，a［i］，b［i］，c［i］（i＝1，2，3）は，以下の条件（い）〜（に）を満たすものとする。
（い） x［1］≦x［2］≦x［3］
（ろ） i＝1，2，3に対してa［i］≧0，b［i］≧0，c［i］≧0
（は） i＝1，2，3に対してa［i］＋b［i］＋c［i］＝1
（に） a［1］＋a［2］＋a［3］＝b［1］＋b［2］＋b［3］＝c［1］＋c［2］＋c［3］
実数y［i］（i＝1，2，3）を
省5
111(1): 2009/07/05(日)00:16 AAS
実数c（0＜c＜1）と，実数x，y，a，bの間に
｜x−a｜＜c，｜y−b｜＜c
という関係があるとき，
｜xy−ab｜＜（c＋｜a｜＋｜b｜）c
が成り立つことを証明せよ。
112(3): 2009/07/05(日)01:38 AAS
『x^2+y^2+z^2=1のとき、2x+2y+2zの最大値を求めよ』
A君はこの問題を次のように解いた
「x,y,z≧0のとき考えれば十分である
4
=(x^2+1)+(y^2+1)+(z^2+1)
≧2x+2y+2z
等号成立条件よりx=y=z=1のとき最大値4」
省1
113: 2009/07/05(日)02:21 AAS
>>112
x=y=z=1 は x^2+y^2+z^2=1 に矛盾
114: 2009/07/05(日)02:48 AAS
>>112
最大値の求め方について、ろくに考えずに
図形的解法、シュワちゃん殺法くらいしか思いつかんけど、
他にもありますか ( ﾟ∀ﾟ)？
115: 2009/07/05(日)03:16 AAS
x,y,z≧0のとき考えれば十分である
6
=(3x^2+1)+(3y^2+1)+(3z^2+1)
≧√3(2x+2y+2z)
等号成立条件よりx=y=z=1/√3のとき最大値2√3
これだと矛盾が生じないんだよな・・・
116: 2009/07/05(日)03:39 AAS
>>112
3 = 3(x^2 + y^2 + z^2)
= (x+y+z)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 + (x-y)^2
≧ (x+y+z)^2
= (1/4)(2x+2y+2z)^2,
これでも矛盾しないでつ･･･
117(1): 2009/07/05(日)03:44 AAS
むかしむかし、きびだんごが一つありました
イヌとサルが食べなければ、キジがだんごを食べられます
サルとキジが食べなければ、イヌがだんごを食べられます
キジとイヌが食べなければ、サルがだんごを食べられます
みんなきびだんごを食べることができました。めでたしめでたし
さてこれはなぜ間違ってるのだろうか？
118: 2009/07/05(日)04:01 AAS
何か混乱してきたぜ
求めることは示すことより難しい
119: 2009/07/05(日)04:53 AAS
>>117 もしかして、「が」と「は」の違い、という日本語論でしょうか？
120: 猫⊂社会の屑 ◆ghclfYsc82 2009/07/05(日)09:38 AAS
ちょっと腹が減ったんだけどサ、吉備団子っちゅう気はせんわな
そやけど、また蕎麦屋に行ってもジジ臭いしなァ
121(1): 2009/07/05(日)19:27 AAS
Q1
nを6以上の自然数とする
(n+1)*C(n,[n/2])＞2^(n+1)
となることを示せ
Q2
nを7以上の自然数とする
lcm(1,2,…,n)＞2^n
省1
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