[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第４章 (706ﾚｽ)
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159(1): 150 2009/07/12(日)16:10 AAS
>>152
題意から
a/(a+2) + b/(b+2) + c/(c+2) = 1,
そこで ボクは
x = k * a/(a+2),
y = k * b/(b+2),
z = k * c/(c+2),
省5
160(2): 159 2009/07/12(日)16:18 AAS
>>152
(補足) ↑では 恒等式
a/(a+2) + b/(b+2) + c/(c+2) = 1 + 2(ab+bc+ca+abc-4)/{(a+2)(b+2)(c+2)},
を使いますた。
161: 2009/07/12(日)17:20 AAS
>>158
>>153の相加相乗平均の部分が違う．3数だから立方根だ．
3*(abc)^3となり，同様にnを置くと
n^3 +3n -4 = (n - 1)(n^2 + n +4)
ずばり>>153は勘違いしているな．
A > B において B > 0 と A > 0 は関係がない．A > 0 > B などを考えれば明らか．
B > 0 ならば A > 0 が言えるが， B <= 0 でも A > 0 の場合はある．
省2
162: 161 2009/07/12(日)17:27 AAS
ちょっと変な書き方だった
最初の段落は「ケアレスミスの指摘」ね，結果的に．
あと後段の
> A > B において B > 0 と A > 0 は関係がない
は言い過ぎた． B > 0 の場合は大いに関係があるわｗｗｗ
「不等号の向き」が違う場合は注意せよ，という話か
163(2): 2009/07/12(日)18:04 AAS
どうも 150 です.
>>159-160 さん補足有り難うございます.
この置き方は, 例えば, USAMO の問題で,
a^2+b^2+c^2+abc=4
という関係式に対して,
a = 2√( (yz) / ((x+y)(x+z)) )
b = 2√( (zx) / ((y+z)(y+x)) )
省13
164: 2009/07/12(日)18:09 AAS
>>160
その恒等式はどこから出てきたんだ？？
一応
a(b+2)(c+2) + (a+2)b(c+2) + (a+2)(b+2)c
= 3abc + 4(ab + bc + ca) + 4(a+b+c)
と出てきて，(a+α)(b+β)(c+γ) が関係あると考え，abc の係数を1にするために 与関係式(ab+bc+ca+abc=4 ⇔abc=4-ab-bc-ca)を使うと
abc + 2(ab + bc + ca) + 4(a+b+c) + 8
省5
165: 164 2009/07/12(日)18:11 AAS
リロードしてなかったのでとんちんかんなレスしてしまったorz
166: 2009/07/13(月)03:50 AAS
>>147
照れるぜ！
167: 2009/07/14(火)01:49 AAS
アタシ･･･ネイルアーティスト検定に合格したの！！
画像ﾘﾝｸ[jpg]:218.219.144.2
キャバ嬢が好きなエグザイル
画像ﾘﾝｸ[jpg]:image.blog.livedoor.jp
168(1): 2009/07/14(火)13:59 AAS
【問題】
閉区間[0,1]上の連続関数 f(x)にたいして、
a_n = ∫_{0→1} x^n f(x) dx, n=0,1,2,,,,
で数列 {a_n} を定める．
このとき，不等式
Σ_[n=0 →∞] (a_n)^2 ≦ π ∫_{0→1} f^2(x) dx
が成立することを示せ。
省1
169(1): 2009/07/14(火)14:10 AAS
最良の定義は？
170: 2009/07/14(火)14:25 AAS
>>147
条件に等号があるからそれを使って変数を減らす。
差を変形して変数が１以下と１以上であればいい事を見つける。
条件から１以下の変数と１以上の変数があることを示す。
どの部分が自然じゃない？
171(3): 2009/07/14(火)17:05 AAS
x,y,zは実数とする
√ ( x ^ 2 + y ^ 2 ) + 2 √ ( y ^ 2 + z ^ 2 ) + 3 √ ( z ^ 2 + x ^ 2 )
≦ M √ ( x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 )
を満たす正の定数Mの最小値を求めよ
172(2): 2009/07/14(火)18:07 AAS
>>171
a=√(x^2+y^2),b=√(y^2+z^2),c=√(z^2+z^2)とおくと
0≦a+2b+3c≦M√((a^2+b~2+c^2)/2)
すなわち
(a+2b+3c)^2≦(M^2/4)(a^2+b^2+c^2)
ここでコーシーシュワルツより
(a+2b+3c)^2≦(1^2+2^2+3^2)(a^2+b^2+c^2)
省2
173: 2009/07/14(火)18:11 AAS
まちがい
× (a+2b+3c)^2≦(M^2/4)(a^2+b^2+c^2)
○ (a+2b+3c)^2≦(M^2/2)(a^2+b^2+c^2)
× M^2/4=14
○ M^2/2=14
174: 2009/07/14(火)18:13 AAS
>>169
定数 π未満だと不等式が成立しないということ。
つまり、0<C<πとなる任意の C>>0 に対して、不等式
Σ_[n=0 →∞] (a_n)^2 ≦ π ∫_{0→1} f^2(x) dx
が成立しない関数ｆ(x)が存在する、ということを示せばよい。
175(2): 2009/07/14(火)18:25 AAS
Σ_[n=0 →∞] (a_n)^2 ≦ π ∫_{0→1} f^2(x) dx
の等号成立条件を示せばいいってこと？
176: 2009/07/14(火)18:28 AAS
>>175
違う。
πより小さい定数では、不等式が成立しないことを示すこと。
（つまり、ベスト・コンスタントの問題）
177(1): 2009/07/14(火)19:09 AAS
176にかってに横から追加すると
等号が自明でないfで成り立つならば
>>175 のように等号条件を示しても良いが
ヒルベルトの不等式を用いるならば
等号は自明な場合(f=0)しか成り立たないので
等号条件を示すのは「違う」となる
178: 2009/07/14(火)20:36 AAS
>>126
ゴリ押しの証明だが一応できた。
外部ﾘﾝｸ[cgi]:www.csync.net
179: 2009/07/14(火)20:45 AAS
ゴメン。ちょっと修正。
外部ﾘﾝｸ[cgi]:www.csync.net
180: 2009/07/14(火)21:55 AAS
>>168,177
【問題】 (訂正版)
閉区間[0,1]上の連続関数 f(x)（ただし，恒等的に0でない）にたいして、
a_n = ∫_{0→1} x^n f(x) dx, n=0,1,2,,,,
で数列 {a_n} を定める．
このとき，不等式
Σ_[n=0 →∞] (a_n)^2 ≦ π ∫_{0→1} f^2(x) dx
省2
181(1): 2009/07/15(水)03:40 AAS
>>171
√ は上に凸だから、
√(x^2 +y^2) + √(z^2 +x^2) ≦ √(x^2 +y^2 +z^2) + x, ････ (1)
2√(y^2 +z^2) + 2√(z^2 +x^2) ≦ 2√(x^2 +y^2 +z^2) + 2z, ････ (2)
5(x^2 + z^2) = (x+2z)^2 + (2x-z)^2 ≧ (x+2z)^2 より
x + 2z ≦ (√5)√(x^2 +y^2 +z^2), ･････ (3)
(1) ～ (3) を辺々たす。
省4
182: 172 2009/07/15(水)03:53 AAS
>>181
とは言え、(1) (2) は逆向きの希ガス。
183(4): 2009/07/15(水)04:30 AAS
a , b , c ≧ 0
a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + abc = 4
のとき
0 ≦ ab + bc + ca - abc ≦ 2
| x | ≦ 1 のとき
| 4 x ^ 3 + a x ^ 2 + b x + c |
の最大値は1以上であることを示せ
184: 2009/07/15(水)05:21 AAS
>>183
前半の問題は >>163 の時に言った USAMO の問題です.
いくつか解法がありますが, その一つとして >>163 で言った置き方があります.
他にも解法がありますので, 色々と考えてみると面白いかもしれませんね.
ある程度解法が出尽くしてしまったら, まだ知られていない解法を紹介します.
185(2): 2009/07/15(水)05:34 AAS
2log2 + 2log5 + 0.505 ＜ Σ [ k = 1 → 100 ] ( 1 / k ) ＜ 3log2 + 2log5 + 0.005
186: 185 2009/07/15(水)05:42 AAS
>>185は忘れて下さい
187(3): 2009/07/15(水)16:19 AAS
有名サイトかもしれないが一応
つ外部ﾘﾝｸ:jp.mathnori.com
188: 2009/07/15(水)16:31 AAS
>>187
もうずっと更新されていないよね。
189: 2009/07/15(水)16:33 AAS
>>187
もうずっと更新されていないよね。
190: 2009/07/15(水)22:56 AAS
>>187
おいらには解けない５
2chｽﾚ:math
191: 2009/07/15(水)23:30 AAS
>>183 (下)
4x^3 + a･x^2 + bx + c = f(x) とおくと、
f(x) - f(-x) = 8x^3 + 2bx,
{f(1) - f(-1)} -2{f(1/2) - f(-1/2)} = 6,
∴ |f(1)|、|f(-1)|、|f(1/2)|、|f(-1/2)| のいずれかが1以上。
192(2): 2009/07/16(木)00:45 AAS
投下
x > 1 のとき
( logx ) [ log { ( x + 1 ) / ( x - 1 ) } ]
の最大値を求めよ
193: 2009/07/16(木)01:51 AAS
>>192
{log(1+√2)}^2 (x=1+√2)
194: 2009/07/16(木)02:08 AAS
>>192
(x+1)/(x-1) = y
とおくと、
(x-1)(y-1) = 2, (直角双曲線)
これは x = y = 1+√2 をとおる。
>>185
log(n) + 0.505 < Σ[k=1→n] (1/k) < log(n) + 0.698
195: 191 2009/07/16(木)22:15 AAS
>>183 (下)
max{|f(x)| ; -1≦x≦1} = 1 となるのは a=0, b=-3, c=0 のとき
f(x) = 4x^3 -3x = 1 - (1-x)(1+2x)^2 ≦ 1, (x=1, -1/2 で最大値1)
f(x) = 4x^3 -3x = (1+x)(1-2x)^2 -1 ≧ -1, (x=-1, 1/2 で最小値-1)
あるいは
f(x) = -sin(3arcsin(x)),
196: 2009/07/17(金)02:42 AAS
画像ﾘﾝｸ[gif]:www.yozemi.ac.jp
197(4): 2009/07/17(金)03:59 AAS
拾い
( a + b + c ) ( x + y + z ) = 3
( a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 ) ( x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 ) = 4
のとき
a x + b y + c z > 0
198: 2009/07/17(金)05:57 AAS
>>197
あえて、行列使うか、
あるいは、xyz空間で、
x+y+z=(a+b+c)/3
x^2+y^2+z^2=(a^2+b^2+c^2)/4
を考えて、
線形計画法でやろうかとおもたけど、むりでした。
199(1): 2009/07/18(土)02:36 AAS
>>183の上は
三角形ABCの内心をI、内接円、外接円の半径を順にr,Rとして
r/R≦(AI+BI+CI)/2R≦r/R+1
を示せばよい。
200(2): 2009/07/18(土)02:38 AAS
>>197
上の式を２乗する事から始めればできそう。
それか、三次元のベクトル空間に持ち込むか。
201: 2009/07/18(土)02:55 AAS
>>197
>>200 に従い、3個の単位ベクトルを
ａ↑ = (a,b,c) / √(a^2 + b^2 + c^2),
ｘ↑ = (x,y,z) / √(x^2 + y^2 + z^2),
ｅ↑ = (1,1,1) / √3,
とおく。いま
(ａ･ｅ) = A,
省10
202(1): 2009/07/18(土)03:10 AAS
AA省
203(2): 2009/07/18(土)04:43 AAS
0＜θ≦φ≦π/2において
sinθ/sinφ≧θ/φ
これのうまい証明方法ってありまつか？
204(2): 2009/07/18(土)05:23 AAS
>>203
sinx/xが[0,π/2]で単調減少であることを示す
くらいしか思いつかん
205(1): 2009/07/18(土)05:58 AAS
数列 a [ n ] において
a [ 1 ]= 3 , a [ 2 ] = 5 , a [ 3 ] = 7
( a [ n ] ) ( a [ n + 3 ] ) = ( a [ n + 2 ] ) ^ 2 - ( a [ n + 1 ] ) ^ 2
を満たすとき
| a [ n ] | < 14 / √ 3
a , b , c > 0 , a ^ 2 > b c
のとき
省2
206(1): 2009/07/18(土)06:10 AAS
>>202
いつも俺の方針に従って解いてくれてありがとう(笑)
207: 2009/07/18(土)06:17 AAS
>>205
２問目は数オリ本選やがな
208(1): 2009/07/18(土)06:21 AAS
>>206
涙拭けよ(笑)
209: 2009/07/18(土)10:52 AAS
>>208
はい。
210: 2009/07/18(土)17:00 AAS
ｄ＝（ｂｃ）＾（１／２）。
（ａ＾２－ｂｃ）＾２－４（ｂ＾２－ａｃ）（ｃ＾２－ａｂ）
＝（ａ＾２－ｂｃ）＾２－４（ｂ＾２ｃ＾２＋ａ＾２ｂｃ）＋４ａ（ｂ＾３＋ｃ＾３）
≧（ａ＾２－ｄ＾２）＾２－４（ｄ＾４＋ａ＾２ｄ＾２）＋８ａｄ＾３
＝ａ＾４－６ａ＾２ｄ＾２＋８ａｄ＾３－３ｄ＾４
＝（ａ＋３ｄ）（ａ－ｄ）＾３。
211: 2009/07/18(土)22:41 AAS
>>204
y=sin(x) は 0<x<π で上に凸ゆえ
sinθ ≧ {(φ-θ)sin(0) + θsinφ}/φ = (θ/φ)sinφ,
212(1): 2009/07/19(日)06:06 AAS
671 < Σ [ k = 1 , 100 ] √ k < 672
213: 2009/07/19(日)08:13 AAS
>>212
∑[k=1,n] f(k) = S_n とおく。y=f(x) は上に凸だから
∫[k-1/2,k+1/2] f(x)dx < f(k),
{f(k-1) + f(k)}/2 < ∫[k-1,k] f(x)dx,
ゆえに
∫[1/2,n+1/2] f(x)dx < S_n < (1/2)f(1) + ∫[1,n] f(x)dx + (1/2)f(n),
本題では f(x) = √x なので,
省5
214(2): 2009/07/19(日)19:56 AAS
x≧1のとき(log(x+1))^2>(logx)(log(x+2))を示せ
215(2): 2009/07/19(日)21:44 AAS
>>214
0 < x ≦1 のときは明らか。
x>>1 のとき
ビブンのことはビブンでするのもいいが、
log(x) = log(x+1) + log(1 -1/(x+1)) < log(x+1) - 1/(x+1),
log(x+2) = log(x+1) + log(1 +1/(x+1)) < log(x+1) + 1/(x+1),
両辺>>0 だから 辺々掛けて
省2
216(1): 2009/07/19(日)21:53 AAS
>>214
log(x+1) / log(x) > log(x+2) / log(x+1) を示せばいいから
f(x) = log(x+1) / log(x) が単調現象だってことを示せば済む．
つまり
f'(x) = ( x log(x) - (x+1) log(x+1) ) / (x(x+1) (log(x))^2) < 0
を示せばいいが，これは
g(x) = x log(x) が単調増加であることに同値で
省3
217: 2009/07/19(日)21:59 AAS
>>216
x≧1は必要ないってことだろ
>>215
が
218: 2009/07/19(日)22:55 AAS
>>199
△ABC の3辺の長さを
AB = x+y, BC = y+z, CA = z+x,
とおき >>163 を使うと
AI = √{x(x+y)(x+z)/s} = bcR,
BI = √{y(y+z)(y+x)/s} = caR,
CI = √{z(z+x)(z+y)/s} = abR,
省5
219(1): 2009/07/20(月)01:44 AAS
αは実数
β = sin α , γ = sin β
のとき
( | α | + | γ | ) ≧ 2 β
また π < 3.1416 を用いて
sin ( 1 / 2 ) > 0.4764
220: 203 2009/07/20(月)15:35 AAS
>>219
>>203-204 の応用問題でつね。
(上)
sin( ) の周期性から、|α| <π を考えれば十分。
∵ α - [(α+π)/2π]*2π = α' とおくと
|α'| ≦ min(|α|, π)
β = sinα = sin(α'),
省9
221(1): 181 2009/07/20(月)16:32 AAS
AA省
222(1): 2009/07/20(月)17:39 AAS
sin 10ﾟ > 0.17 を示せ
多分東大模試の過去問
多分小問付いてたはず
223: 2009/07/20(月)18:10 AAS
3倍角利用して3次方程式の解の評価に帰着
224: 2009/07/20(月)18:14 AAS
>>222
y=sin(x) は |x| < 90ﾟ で単調増加。
sinα = 0.17 なるαが1つ存在する。
sin(3α) = 0.490348 < 1/2 = sin(30ﾟ),
∴ 3α < 30ﾟ,
∴ α < 10ﾟ,
∴ 0.17 < sin(10ﾟ)
省1
225: 2009/07/20(月)19:43 AAS
そろそろネタ切れ
| Σ [ k = 1 , n] { a [ k ] sin ( kx ) } | ≦ | sin x |
のとき
| Σ [ k = 1 , n] k a [ k ] | ≦ 1
226(2): 2009/07/20(月)21:21 AAS
255だるまにおん [2009/06/22(月) 17:50:07] 出題
f(x)は0≦x≦1において積分可能で、
∫[0,1]f(x)dx=∫[0,1]xf(x)dx=1
が成り立つものとする。このとき、
∫[0,1](f(x))^2dx≧4
を証明せよ。
外部ﾘﾝｸ:www.casphy.com
227(1): 2009/07/20(月)23:45 AAS
まとめサイトの中の人
携帯でみれるようになりませんかね？
228(1): 2009/07/20(月)23:54 AAS
>>226
0≦∫[0,1]{f(x)-6x+2}^2dx
＝∫[0,1]{f(x)}^2dx - 12∫[0,1]xf(x)dx + 4∫[0,1]f(x)dx + ∫[0,1](36x^2-24x+4)dx
＝∫[0,1]{f(x)}^2dx - 12 + 4 + 4
＝∫[0,1]{f(x)}^2dx - 4
移項して
∫[0,1]{f(x)}^2dx ≧ 4
229(1): 2009/07/21(火)06:34 AAS
何処かの掲示板の回答と同じですね。
230: 2009/07/21(火)07:36 AAS
同一人物
231(1): 228 2009/07/21(火)07:55 AAS
>>229
確かに，引用元に貼ってある解答を見たら，全く同じだった。
どう考えても結局同じ解答に至るということだね。
一般に，g,hを与えられたL^2(Ω)の元，α,βを任意の複素数とするとき，
{ ||f||^2 ∈R | f∈L^2(Ω)，<f,g>=α，<f,h>=β }
の最小元を探す問題は，同様に
|| f- ag - bh ||^2
省1
232(2): 2009/07/21(火)08:30 AAS
a,b,c＞0
abc=1
(1+ab)/(a+b)+(1+bc)/(b+c)+(1+ca)/(c+a)≧3
233: 2009/07/21(火)22:53 AAS
>>227
諦めろ！
234(1): 2009/07/22(水)00:24 AAS
>>231
{f(x)-6x+2, 2x-1, 1} が直交系････
235(1): 2009/07/22(水)05:43 AAS
1.4<∫[0,1]e^(x^2)dx<1.5を示せ。
ただし2.71<e<2.72。
236(1): 2009/07/22(水)21:12 AAS
ふと思った問題
↑a=(a[1],a[2],…a[n])
↑x=(x[1],x[2],…x[n])
0<a[1]≦a[2],…≦a[n]
0≦x[i]
↑a･↑x=K>>0
のとき
省1
237(1): 2009/07/22(水)21:40 AAS
>>234
直交性から
∫{f(x)}^2 dx = ∫{f(x)-6x+2}^2 dx + 9∫(2x-1)^2 dx +∫1^2 dx
≧ 9∫(2x-1)^2 dx +∫1^2 dx,
>>235
与式をＩとおく。
1 + t + (1/2)t^2 < e^t < 1 + t/(1 - t/2),
省6
238: 235 2009/07/22(水)22:07 AAS
用意していた解法
e^t≧1+t+(t^2/2)+(t^3/6)より
e^(x^2)≧(1+x^2+(x^4/2)+(x^6/6)を使う
∫[0,1]e^(x^2)dx
≧∫[0,1]{(1+x^2+(x^4/2)}dx
=43/30
>>1.4
省6
239(1): 2009/07/23(木)00:45 AAS
この数学五輪って確か中学レベルの知識で解ける程度の問題レベルだったはず。
鼻高々の金メダリスト達に東大や京大の理系数学の問題を見せて、
数学の本当の恐ろしさというものを思い知らせてやりたいなｗ
俺も立命館の数学科出身だけど、数学を舐めるなと言いたい。
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