ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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631: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/26(日) 14:09:16.80 ID:57hfZFiX

”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>A(=A＼Φ),A＼{a0},A＼{a0,a2},・・,A＼{a0,a2,・・},・・
>を得るにはP(A)-Φを定義域とする選択関数が必要。

妄想沸いてるよｗ ；ｐ）
下記 Jechの証明を2つ再録しよう

1）
　>>486より 再度転記しよう
T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics)
Thomas Jechの 証明
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for everv α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

2）
また
(再掲)>>504より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.　
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
(引用終り)

どちらも、aα=f(A-{aξ：ξ<α}) あるいは aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
つまり、関数で書くと
・ｆ：A-{aξ:ξ<α} → aα
・ｆ：A∖{aξ∣ξ<α} → aα

"P(A)-Φを定義域とする選択関数が必要"?
妄想沸いてるよ ｗ ；ｐ）
定義域 A-{aξ:ξ<α} または {aξ∣ξ<α}■

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/631

652: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/26(日) 22:30:33.59 ID:57hfZFiX

>>651
(引用開始)
>選択関数fの 定義域を
>集合族P(A)-Φ 全体に広げる必要性も、
>必然性もないでしょ！！ｗｗｗ ；ｐ）
じゃあ定義域をAとしてAの元すべての並びを作ってみせて
(引用終り)

1）ふっふ、ほっほ
　>>631より 再度転記しますｗｗ
T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics)
Thomas Jechの 証明
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for everv α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■
(引用終り)

2）で 上記 T Jechの証明で尽くされているんじゃない？
　何も足さない。何も引かない。他には 何も必要ないｗ ｗ ；ｐ）
3）現代的定義では、関数とは 写像（対応）だよね
　いま 実数R→R の指数関数f(x) =a^x (a > 0)があったとする
　定義域 R を、有理数Qにする、あるいは整数Zに、あるいは自然数N に狭めることは可能だ
　なぜならば、関数とは 写像（対応）だから
　それぞれ 関数を Q→R,Z→R,N→R の対応と考えれば良いだけのこと
　逆に、定義域 R を、複素数Cに拡張することもできる。そのとき、値域もCになるが
　複素数関数 C→C f(z) =a^z | z∈C となる
　このように 現代的定義では、関数 即ち 写像（対応）の定義域は、自由度があるのです
3）選択関数についても同様だし
　そもそも、定義域は ”集合族”としか規定されていない
　だから、Thomas Jech のように aα=f(A-{aξ：ξ<α}) とすることに、だれも文句はないはずだ
　どこかの 偏屈の二人以外はね ｗ ；ｐ）
4）選択関数fの 定義域を 集合族P(A)-Φ 全体に広げろという
　別に構わんよ。>>643『∀B∈(P(A)-Φ)についてf(B)∈B⊂A』とするんだって？
　それは、選択公理そのものだから、それはだれも禁止していないし、選択公理を認めれば だれも それは否定できない
　だが、あっても邪魔には成らないが、Thomas Jechの証明の何の足しにもなっていない！！■
以上 ｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/652

674: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/27(月) 13:20:51.05 ID:CtxJncrm

”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
＜ あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない＞

ご苦労様です。
>>668-670
>それは P(A)-Φから要素を選ぶ選択関数fそのまま

それ、”選択”という日常語に 流されている
選択公理は、無限集合族を定義域とする関数だから、特別に公理が必要だ
”P(A)-Φ”という 定義域が ただ一つならば、置換公理の関数で間に合う

つぎに
>"Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence >（aα: α < θ) that enumerates A.
>That we can do by induction, using a choice function f for the family S of all nonempty subsets of A."
>「Aを集合とする。Aを整序するには、Aを列挙する超限的一対一列（aα：α＜θ）を構成すれば十分である。
>　これは、Aのすべての空でない部分集合の族Sに対する選択関数fを用いて、帰納的に行うことができる。」
>「Aは集合である」はともかく「Aのすべての空でない部分集合の族Sに対する選択関数f」を抜いたよな　なんで？

いいかな
無限集合Aの 空集合を含まない べき集合P(A)-Φ（空集合を除いておく）で
いま Aの濃度が可算であるとするして べき集合P(A)-Φ は非可算だ
のように、無限の濃度ランクが一つアップする ことを 注意しておく

さて、以前にも書いたが、
１）Aに 順序数の付番付け をするために、そのべき集合P(A)-Φの 順序数の付番付け が必要とする考えは
　無限後退になるので まずい。（そのまた べき集合・・・となるから）
２）また、べき集合P(A)-Φに 順序数の付番付けができたとしよう
　そのままでは、>>667の Jech氏の意図した {A,A-{a1},A-{a2},・・・} の 順序数の付番付けにならない
　∵ 例えば、Aが可算だとして べき集合P(A)-Φの 順序数の付番付けそのままでは
　非可算レベルの順序数の付番付けが混じってしまう から
３）よって、"Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence >（aα: α < θ) that enumerates A.
　That we can do by induction, using a choice function f for the family S of all nonempty subsets of A."
　のJech氏の意図は、べき集合P(A)-Φの部分集合として
　{A,A-{a1},A-{a2},・・・} が、置換公理で取り出せるってことだね
　そして、a1、a2、・・・は、決して一意ではなく、as desired であることも注意しておく（>>631 en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem ご参照 ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/674

760: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/28(火) 20:42:19.43 ID:n4GbW2On

>>752-753
さて
　>>667より
Thomas Jechの 証明 再録
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for every α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempty.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

ここで、Aのべき集合から空集合を除いた P'を考えて
その部分集合として
Aから一つずつ Aの要素を取り出して 集合族A-{aξ：ξ<α}を作る

集合族A-{aξ：ξ<α}を集めると、P'の部分集合になる
部分集合を作る公理は、置換公理を使う(>>667）

この 集合族A-{aξ：ξ<α} からなる 部分集合は
{A-{aξ：ξ<α}}を一つの要素と数えると、集合A と同じ濃度だ
（∵ A-{aξ：ξ<α} と aαとか 一対一対応）

よって、Aが可算ならば 集合族A-{aξ：ξ<α} からなる 部分集合も可算
なので、可算選択関数 aα=f(A-{aξ：ξ<α}) と見ることができて
可算集合Aの整列が 可能

このJech類似の証明と 君の　>>739より
Aが可算⇔全単射f:N→Aが存在する。
∀n,m∈N.n<m⇔f(n)<f(m) によって(A,<)を定義したとき、
∀B⊂A.f(minf^(-1)(B))=min<B∈B だから、Aは整列集合。
(引用終り)

を比較すると、Jech類似の証明もまた良さがある
つまり、整列可能定理とは、集合Aから要素を一つずつ取り出して並べるという
有限集合で行うことを、任意の無限集合で実現するもの

上記の Jech類似の証明もまた 可算集合Aから要素を一つずつ取り出して並べるという
ことをしている　”as desired”に （>>631 en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem ご参照 ）

君の >>739の証明では、可算Aと Nとのなにか 全単射の存在のみ言えるが
本来 整列可能定理が持っている ”as desired”に 集合Aから要素を一つずつ取り出して並べる
が、言えていない。可算選択公理を仮定しない分 そこが弱い

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/760

808: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/30(木) 10:09:21.04 ID:Xxyr0Rol

つづき

(参考)(再掲)>>631より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.　
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/808

917: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/01(土) 14:55:42.18 ID:lDxwqd7y

>>916

>>808(参考)(再掲)>>631より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.　
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
(引用終り)

ここで
”Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired,”
の部分、”the order < on A defined by aα<aβ”だね
αとβが順序数で
順序数の添え字を使って、Aに順序を導入する
順序数は、整列順序であるから
Aに整列順序が導入できた

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/917

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