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ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002レス)
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/
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631: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/26(日) 14:09:16.80 ID:57hfZFiX ”<公開処刑 続く> (『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか?』に向けて と (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてww ;p) rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” >A(=A\Φ),A\{a0},A\{a0,a2},・・,A\{a0,a2,・・},・・ >を得るにはP(A)-Φを定義域とする選択関数が必要。 妄想沸いてるよw ;p) 下記 Jechの証明を2つ再録しよう 1) >>486より 再度転記しよう T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics) Thomas Jechの 証明 P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem) Every set can be well-orderd. Proof: Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence (aα: α < θ) that enumerates A. That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A. We let for everv α aα=f(A-{aξ:ξ<α}) if A-{aξ:ξ<α} is nonempt. Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. Clearly,(aα:α< θ) enumerates A. ■ 2) また (再掲)>>504より en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem Well-ordering theorem Proof from axiom of choice The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9] Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A. For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting aα= f(A∖{aξ∣ξ<α}) if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is. That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated). Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}. Notes 9^ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7. (引用終り) どちらも、aα=f(A-{aξ:ξ<α}) あるいは aα= f(A∖{aξ∣ξ<α}) つまり、関数で書くと ・f:A-{aξ:ξ<α} → aα ・f:A∖{aξ∣ξ<α} → aα "P(A)-Φを定義域とする選択関数が必要"? 妄想沸いてるよ w ;p) 定義域 A-{aξ:ξ<α} または {aξ∣ξ<α}■ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/631
632: 132人目の素数さん [] 2025/01/26(日) 14:28:24.37 ID:b1A8rVdb >>631 >"P(A)-Φを定義域とする選択関数が必要"? うん >using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A あるいは >let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A の通りだよ 君、英文読めないの? http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/632
636: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/26(日) 15:01:23.05 ID:57hfZFiX ”<公開処刑 続く> (『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか?』に向けて と (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてww ;p) rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” >>633 >f(A∖{aξ∣ξ<α}) ってことは A∖{aξ∣ξ<α} はfの定義域の元だろ? >君が言うように定義域の元が定義域なら x∈x だから正則性公理に反するぞw ふっふ、ほっほ 何を言っているのか、意味不明ですよ Jech の証明>>631 に イチャモンつけているの? 『定義域の元が定義域なら x∈x だから正則性公理に反する』?? それ 意味不明ですぅ〜! ww ;p) ところで、いまA=R(実数)の整列について Jech の証明を使って、Rを整列させるとするよ そのときに、仮に "P(A)-Φを定義域とする選択関数が必要">>628 ということは、或る意味 下記の ”実数全体の集合RからRへの関数全体の集合F”を考えることになるよ 集合Fは、その濃度は 連続体の濃度を超えている(下記) なんで 実数Rのために 連続体の濃度を超える べき集合2^Rを考えるの? それで問題が簡単になるならばともかく、何もメリットないでしょ?!! w ;p) (参考) nekodamashi-math.blog.ss-blog.jp/2018-03-31-4 ねこ騙し数学 nemurineko 第11回 非可算集合 [集合論入門] (2) 関数の濃度 実数全体の集合RからRへの関数全体の集合Fの濃度 実数全体の集合RからRへの関数全体の集合Fと実数全体の集合Rとは対等ではない。 (証明終) RからRへの関数全体の集合Fの濃度を関数の濃度という。 実は、 ℵ0<ℵ<関数の濃度 という関係がある http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/636
642: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/26(日) 17:49:43.97 ID:57hfZFiX ”<公開処刑 続く> (『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか?』に向けて と (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてww ;p) rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” ふっふ、ほっほ >>638-641 ふーん、ID:odIYHPQg と ID:b1A8rVdb と 箱入り無数目の あほ二人が、揃ったか ID:b1A8rVdb が、おサルさん>>7-10 ID:odIYHPQg が、おサルの連れ さて >>641より (引用開始) 選択公理を使ってAを整列する方法は P(A)-Φから要素を選ぶ選択関数fを用いて A→f(A) A-{f(A)}→f(A-{f(A)}) A-{f(A)}ー{f(A-{f(A)})}=f(A-{f(A)}ー{f(A-{f(A)})}) 略 このとき、P(A)-Φの全ての要素を使うわけではないが どの要素が使われるか、整列する前にはわからないので 選択公理としては集合族P(A)-Φを使わざるをえない (引用終り) 1)えーと、選択関数f で、関数fとは 現代的定義は、写像(対応)だよね で、関数fが定まるとは? 定義域だけでなく、対応する 値域も定まっていなければならない! 2)そこで 問う 選択関数fが 定義域 集合族P(A)-Φ で、事前に定まっているというならば 上記 A∖{aξ∣ξ<α}(>>631 Jech, Thomas (2002))以外の 定義域 P(A)-Φの 全ての 選択関数f の (値域の)値を 書け!!w ;p) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/642
645: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/26(日) 18:19:56.61 ID:57hfZFiX ”<公開処刑 続く> (『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか?』に向けて と (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてww ;p) rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” >>643 >>定義域 P(A)-Φの全ての 選択関数f の (値域の)値を 書け!!w ;p) >∀B∈(P(A)-Φ)についてf(B)∈B⊂A なるほど では、問う 1)>>642 A∖{aξ∣ξ<α}(>>631 Jech, Thomas (2002)) で、この選択関数 f:A∖{aξ∣ξ<α}→aα (>>631 より) ここで、Jech, Thomas の工夫は αという順序数を 選択関数 f に組み込んだことにあるよ 2)f(B)∈B⊂A だけだと i) Jech, Thomas の工夫(順序数の導入)が 無いけど それはどうしたの?w ;p) ii) f(B)∈B⊂A だけだと 選択公理のステートメントそのままじゃんww ”f(B)∈B⊂A” から、 Jech, Thomas の工夫 f:A∖{aξ∣ξ<α}→aαが出るかい?www 繰り返すが もし、上記 Jech, Thomas の工夫 順序数の導入が導けないならば それって、数学的に無意味(トリビアル)でしょ?wwww ;p) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/645
652: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/26(日) 22:30:33.59 ID:57hfZFiX ”<公開処刑 続く> (『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか?』に向けて と (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてww ;p) rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” >>651 (引用開始) >選択関数fの 定義域を >集合族P(A)-Φ 全体に広げる必要性も、 >必然性もないでしょ!!www ;p) じゃあ定義域をAとしてAの元すべての並びを作ってみせて (引用終り) 1)ふっふ、ほっほ >>631より 再度転記しますww T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics) Thomas Jechの 証明 P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem) Every set can be well-orderd. Proof: Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence (aα: α < θ) that enumerates A. That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A. We let for everv α aα=f(A-{aξ:ξ<α}) if A-{aξ:ξ<α} is nonempt. Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. Clearly,(aα:α< θ) enumerates A. ■ (引用終り) 2)で 上記 T Jechの証明で尽くされているんじゃない? 何も足さない。何も引かない。他には 何も必要ないw w ;p) 3)現代的定義では、関数とは 写像(対応)だよね いま 実数R→R の指数関数f(x) =a^x (a > 0)があったとする 定義域 R を、有理数Qにする、あるいは整数Zに、あるいは自然数N に狭めることは可能だ なぜならば、関数とは 写像(対応)だから それぞれ 関数を Q→R,Z→R,N→R の対応と考えれば良いだけのこと 逆に、定義域 R を、複素数Cに拡張することもできる。そのとき、値域もCになるが 複素数関数 C→C f(z) =a^z | z∈C となる このように 現代的定義では、関数 即ち 写像(対応)の定義域は、自由度があるのです 3)選択関数についても同様だし そもそも、定義域は ”集合族”としか規定されていない だから、Thomas Jech のように aα=f(A-{aξ:ξ<α}) とすることに、だれも文句はないはずだ どこかの 偏屈の二人以外はね w ;p) 4)選択関数fの 定義域を 集合族P(A)-Φ 全体に広げろという 別に構わんよ。>>643『∀B∈(P(A)-Φ)についてf(B)∈B⊂A』とするんだって? それは、選択公理そのものだから、それはだれも禁止していないし、選択公理を認めれば だれも それは否定できない だが、あっても邪魔には成らないが、Thomas Jechの証明の何の足しにもなっていない!!■ 以上 w ;p) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/652
658: 132人目の素数さん [] 2025/01/27(月) 06:50:57.10 ID:AW0Zd0to >>642 >上記 A∖{aξ∣ξ<α}(>>631 Jech, Thomas (2002))以外の定義域 P(A)-Φの >全ての 選択関数f の (値域の)値を 書け!! 二行目 日本語がおかしい 「選択関数fの全ての値(つまり値域)を書け」ならわかるが で、P(A)→Φ全体でA、A∖{aξ∣ξ<α}以外の集合に対してもその値はAの要素 つまり値域はA こんなこと自明なんだが、サルはヒトである私に尋ねないとわからんのか? http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/658
674: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/27(月) 13:20:51.05 ID:CtxJncrm ”<公開処刑 続く> (『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか?』に向けて と (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてww ;p) rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” < あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない> ご苦労様です。 >>668-670 >それは P(A)-Φから要素を選ぶ選択関数fそのまま それ、”選択”という日常語に 流されている 選択公理は、無限集合族を定義域とする関数だから、特別に公理が必要だ ”P(A)-Φ”という 定義域が ただ一つならば、置換公理の関数で間に合う つぎに >"Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence >(aα: α < θ) that enumerates A. >That we can do by induction, using a choice function f for the family S of all nonempty subsets of A." >「Aを集合とする。Aを整序するには、Aを列挙する超限的一対一列(aα:α<θ)を構成すれば十分である。 > これは、Aのすべての空でない部分集合の族Sに対する選択関数fを用いて、帰納的に行うことができる。」 >「Aは集合である」はともかく「Aのすべての空でない部分集合の族Sに対する選択関数f」を抜いたよな なんで? いいかな 無限集合Aの 空集合を含まない べき集合P(A)-Φ(空集合を除いておく)で いま Aの濃度が可算であるとするして べき集合P(A)-Φ は非可算だ のように、無限の濃度ランクが一つアップする ことを 注意しておく さて、以前にも書いたが、 1)Aに 順序数の付番付け をするために、そのべき集合P(A)-Φの 順序数の付番付け が必要とする考えは 無限後退になるので まずい。(そのまた べき集合・・・となるから) 2)また、べき集合P(A)-Φに 順序数の付番付けができたとしよう そのままでは、>>667の Jech氏の意図した {A,A-{a1},A-{a2},・・・} の 順序数の付番付けにならない ∵ 例えば、Aが可算だとして べき集合P(A)-Φの 順序数の付番付けそのままでは 非可算レベルの順序数の付番付けが混じってしまう から 3)よって、"Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence >(aα: α < θ) that enumerates A. That we can do by induction, using a choice function f for the family S of all nonempty subsets of A." のJech氏の意図は、べき集合P(A)-Φの部分集合として {A,A-{a1},A-{a2},・・・} が、置換公理で取り出せるってことだね そして、a1、a2、・・・は、決して一意ではなく、as desired であることも注意しておく(>>631 en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem ご参照 ) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/674
760: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/28(火) 20:42:19.43 ID:n4GbW2On >>752-753 さて >>667より Thomas Jechの 証明 再録 P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem) Every set can be well-orderd. Proof: Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence (aα: α < θ) that enumerates A. That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A. We let for every α aα=f(A-{aξ:ξ<α}) if A-{aξ:ξ<α} is nonempty. Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. Clearly,(aα:α< θ) enumerates A. ■ ここで、Aのべき集合から空集合を除いた P'を考えて その部分集合として Aから一つずつ Aの要素を取り出して 集合族A-{aξ:ξ<α}を作る 集合族A-{aξ:ξ<α}を集めると、P'の部分集合になる 部分集合を作る公理は、置換公理を使う(>>667) この 集合族A-{aξ:ξ<α} からなる 部分集合は {A-{aξ:ξ<α}}を一つの要素と数えると、集合A と同じ濃度だ (∵ A-{aξ:ξ<α} と aαとか 一対一対応) よって、Aが可算ならば 集合族A-{aξ:ξ<α} からなる 部分集合も可算 なので、可算選択関数 aα=f(A-{aξ:ξ<α}) と見ることができて 可算集合Aの整列が 可能 このJech類似の証明と 君の >>739より Aが可算⇔全単射f:N→Aが存在する。 ∀n,m∈N.n<m⇔f(n)<f(m) によって(A,<)を定義したとき、 ∀B⊂A.f(minf^(-1)(B))=min<B∈B だから、Aは整列集合。 (引用終り) を比較すると、Jech類似の証明もまた良さがある つまり、整列可能定理とは、集合Aから要素を一つずつ取り出して並べるという 有限集合で行うことを、任意の無限集合で実現するもの 上記の Jech類似の証明もまた 可算集合Aから要素を一つずつ取り出して並べるという ことをしている ”as desired”に (>>631 en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem ご参照 ) 君の >>739の証明では、可算Aと Nとのなにか 全単射の存在のみ言えるが 本来 整列可能定理が持っている ”as desired”に 集合Aから要素を一つずつ取り出して並べる が、言えていない。可算選択公理を仮定しない分 そこが弱い http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/760
808: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/30(木) 10:09:21.04 ID:Xxyr0Rol つづき (参考)(再掲)>>631より en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem Well-ordering theorem Proof from axiom of choice The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9] Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A. For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting aα= f(A∖{aξ∣ξ<α}) if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is. That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated). Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}. Notes 9^ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7. (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/808
917: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/01(土) 14:55:42.18 ID:lDxwqd7y >>916 >>808(参考)(再掲)>>631より en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem Well-ordering theorem Proof from axiom of choice The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9] Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A. For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting aα= f(A∖{aξ∣ξ<α}) if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is. That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated). Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}. Notes 9^ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7. (引用終り) ここで ”Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired,” の部分、”the order < on A defined by aα<aβ”だね αとβが順序数で 順序数の添え字を使って、Aに順序を導入する 順序数は、整列順序であるから Aに整列順序が導入できた http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/917
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