ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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604: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/25(土) 19:24:01.66 ID:vKwDmbNO

”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>>598 補足
(再掲)>>504より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.　注）＊
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
注）＊
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
(引用終り)

1）このJech氏証明のキモは、集合Aから 要素を
　a0,a1,a2,・・と取り出して
　そのときの選択関数の入力の集合が
　A(=A＼Φ),A＼{a0},A＼{a0,a2},・・,A＼{a0,a2,・・},・・となって
　選択関数f：A∖{aξ∣ξ<α}→aα（つまりaα= f(A∖{aξ∣ξ<α})のこと）
　と書ける
2）これは、選択公理 により、選択関数fの存在が保証されているから、許される
　ここで、要素 a0,a1,a2,・・ 達は、順序数 0,1,2,・・ による添え字付けが出来ているのです
　この順序数 添え字の 整列を使って、 a0,a1,a2,・・ 達に 整列順序が導入できている
　また、同時に 要素 a0,a1,a2,・・ の整列も得られている
　これぞ、選択公理→整列可能定理の証明だ ってこと
3）sup{α∣aα is defined}の部分は、集合Aの濃度から決まる上限　Aの冪集合P(A)の濃度を超えないので
　証明が終わる■

では、Aの冪集合P(A)の整列で 同じことをやると
P(A)で”sup{α∣aα is defined}”の相当する部分が
どうなるかが問題となる

同じように考えると、P(A)の冪集合P(P(A))を考えるべしとなって
繰返しが起きる。これはまずい

集合Aの整列順序のために、べき集合P(A)の整列順序を考えるべき
そうすると、そのまた冪集合P(P(A))を考えるべき・・
と無限後退してしまう
それ、面白すぎじゃね？

だから、A自身の整列可能性と Aの冪集合P(A)の整列可能性は、切り離すのが良さそうだね
そういう結論ですなｗ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/604

606: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/25(土) 20:04:24.66 ID:vKwDmbNO

>>604 補足
>3）sup{α∣aα is defined}の部分は、集合Aの濃度から決まる上限　Aの冪集合P(A)の濃度を超えないので
　証明が終わる■

1）集合の濃度については、下記のja.wikipediaの通り
2）つまり、集合の濃度の割り当てには
　ノイマン流（選択公理を仮定する）と
　スコットのトリック（選択公理なしで、正則性公理を使う）
　がある
（これで「集合の濃度から、順序数の上限が決まる」）
3）いま、>>604のように、選択公理→整列可能定理の証明だけ 考えるならば
　ノイマン流でも可だが
　逆の整列可能定理→選択公理 において
　「集合の濃度から、順序数の上限が決まる」に、選択公理が必要だとなると
　循環論法の可能性がある*注
4）スコットのトリック（選択公理なしで、正則性公理を使う）
　ならば、「集合の濃度から、順序数の上限が決まる」として
　整列可能定理→選択公理の証明に使っても 問題なし■
*注：『集合族の和集合において、その濃度が決まり、順序数の上限が決まる』とする部分が
　必要であるならば
　スコットのトリックを使う方がスマート

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BF%83%E5%BA%A6_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
濃度 (数学)
濃度（英: cardinality カーディナリティ）とは、有限集合における「元の個数」を一般の集合に拡張したものである[1]。集合の濃度は基数 (cardinal number) と呼ばれる数によって表される。歴史的には、カントールにより初めて無限集合のサイズが一つではないことが見出された[2][3]。

厳密な定義
（カントールによって暗に、フレーゲやプリンキピア・マテマティカにおいて明確に示されていた）集合 X の濃度の最も古い定義は、X と一対一対応のつくすべての集合からなるクラス [X] としての定義である。これは、ZFCや関連する集合論の公理系ではうまく機能しない。それは、X が空でないならば、一対一対応のつくすべての集合を集めたものは集合にしては大きすぎるからである。実際、X を空でない集合としたとき、集合 S に {S} × X を対応させる写像を考えることによって、宇宙から [X] への単射が存在し、サイズの限界（英語版）より、[X] は真のクラスである。

フォン・ノイマンの割り当て
選択公理を仮定すると集合 X に対し濃度 | X | を | X | := min{α ∈ ON : |α| = | X | } と定義できる 。
これをフォン・ノイマンの割り当てという。

スコットのトリック
正則性公理の元、任意のクラスに対し画一的に（そのクラスの部分クラスとなる）集合を割り当てる方法であるスコットのトリックを使うと、 整列可能とは限らない集合 X に濃度 | X | を以下のように割り当てることができる（詳しくはスコットのトリックを参照）。
| X | := {A : | A | = | X | かつ、任意の集合 B に対し「| B | = | X | → rank( A) ≤ rank( B)} 」
どのような定義を採用するにしろ集合の濃度が等しいのは、それらの間に全単射が構成できるちょうどそのときである。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/606

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