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ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002レス)
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/
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292: 132人目の素数さん [] 2025/01/15(水) 15:40:39.65 ID:zEkLeAcw 定理 選択公理⇒整列定理 証明 空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される。 X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する。 反射律の確認:∀a∈Xについて、≦の定義を{a}に適用しa≦aを得る。 推移律の確認:∀a,b,c∈Xについて、a≦b ∧ b≦c を仮定する。≦の定義を{a,b,c}に適用しa≦cを得る。 反対称律の確認:∀a,b∈Xについて、a≦b ∧ b≦a を仮定する。≦の定義を{a,b}に適用しf({a,b})=a ∧ f({a,b})=bを得る。fは写像だからa=b。 全順序律の確認:∀a,b∈Xについて、fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b。≦の定義を{a,b}に適用しa≦b ∨ b≦aを得る。 以上で≦がX上の全順序であることが確認された。 さらに、≦の定義より、Xの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦はX上の整列順序である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/292
294: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/15(水) 15:53:53.58 ID:ZCTGHyhi >>292 だから 前スレ rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/970 ”{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・”という整列順序を 整列可能定理で 作ったと解釈してくださいね。整列可能定理でね それで、議論は終りです ”{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・”という整列順序を 整列可能定理で 作ったと解釈すると ∈ → ≦ (>>292の定義の通り)と書き直して ”{}≦{{}}≦{{{}}}≦{{{{}}}}≦・・・” となる この ≦の定義で {} ≦ {{{}}} と書ける 上記 前スレ 970の ”{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・” は、そういう話ですよ 理解できなかったの? 悪い悪い 主学生には、難しいわな!! www ;p) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/294
301: 132人目の素数さん [] 2025/01/15(水) 17:10:39.72 ID:l2ptd/jY >>292 その証明、正しい? どこにそれ載ってる? http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/301
306: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/15(水) 17:57:29.53 ID:ZCTGHyhi >>301 >>>292 >その証明、正しい? >どこにそれ載ってる? ID:l2ptd/jY さんか レスありがとうございます。 スレ主です (^^ 私は、主義として 素人が ここ5ch(便所板)に書き散らかした 素人証明は、読まない主義ですが なるほどね いま >>292 を チラ見で流し読みしてみると この証明は、完全にスベっていて、 ドッチラケですねw 気が付かなかったです ;p) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/306
307: 132人目の素数さん [sage] 2025/01/15(水) 18:02:03.18 ID:WVUbhM43 >>292 f({a,b})=a, f({b,c})=b, f({c,a})=c なるfのとき、a,b,cの順序は定まりますかね? http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/307
308: 132人目の素数さん [sage] 2025/01/15(水) 18:04:12.22 ID:WVUbhM43 >いま >>292 を チラ見で流し読みしてみると この方が「チラ見で流し読み」で証明の成否が分かるほど数学が できるとはまったく思いませんが http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/308
312: 132人目の素数さん [] 2025/01/15(水) 18:53:58.60 ID:zEkLeAcw >>306 >いま >>292 を チラ見で流し読みしてみると >この証明は、完全にスベっていて 具体的にどうぞ 言えない? ブラフですか? http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/312
319: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/15(水) 23:39:28.03 ID:HSrNcrvS >>310 検索すると >>148 (>>146-147もご参照) にあるね 補足 ・>>146で『整列可能定理→選択公理 の証明を、貼ります! 英語版が分りにくいので、中国版とイタリア版 を追加した』 と書いたけど ・このときに、選択公理→整列可能定理について、 中国版とイタリア版も見て、殆ど同じだと見ていたんだ (^^ さて、 >>313-315のご指摘にも 書かれているが 『一つずつ元が減っていくという関係で (部分集合全体のなす集合)のある部分集合が、Xを 最初の集合として、一列に並ぶ。 このとき一つずつ減っていく元がfによって選ばれている という仕組み。』 『fがあれば 「一つずつ元が減っていくという関係で(部分集合全体のなす集合) のある部分集合が一列に並ぶ」、ということも すっきり示される形になっている。』 これがキモですよね で、>>292より 再録 定理 選択公理⇒整列定理 証明 空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される。 X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する。 反射律の確認:∀a∈Xについて、≦の定義を{a}に適用しa≦aを得る。 推移律の確認:∀a,b,c∈Xについて、a≦b ∧ b≦c を仮定する。≦の定義を{a,b,c}に適用しa≦cを得る。 反対称律の確認:∀a,b∈Xについて、a≦b ∧ b≦a を仮定する。≦の定義を{a,b}に適用しf({a,b})=a ∧ f({a,b})=bを得る。fは写像だからa=b。 全順序律の確認:∀a,b∈Xについて、fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b。≦の定義を{a,b}に適用しa≦b ∨ b≦aを得る。 以上で≦がX上の全順序であることが確認された。 さらに、≦の定義より、Xの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦はX上の整列順序である (引用終り) つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/319
338: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/16(木) 10:54:46.00 ID:6RwEALUm >>292より 再録 定理 選択公理⇒整列定理 証明 空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される。 X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する。 反射律の確認:∀a∈Xについて、≦の定義を{a}に適用しa≦aを得る。 推移律の確認:∀a,b,c∈Xについて、a≦b ∧ b≦c を仮定する。≦の定義を{a,b,c}に適用しa≦cを得る。 反対称律の確認:∀a,b∈Xについて、a≦b ∧ b≦a を仮定する。≦の定義を{a,b}に適用しf({a,b})=a ∧ f({a,b})=bを得る。fは写像だからa=b。 全順序律の確認:∀a,b∈Xについて、fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b。≦の定義を{a,b}に適用しa≦b ∨ b≦aを得る。 以上で≦がX上の全順序であることが確認された。 さらに、≦の定義より、Xの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦はX上の整列順序である (引用終り) ・これ、いま思うと、君は 集合X から 要素を取り出さずに、集合X の中で 整列順序を構築しようとしたんだね ・しかし、選択公理⇒整列定理 の 標準的な ”証明のスジ” は 整列順序については、順序数との対応を付けることで、軽く流す ・順序数との対応を付けるために、 ”集合X から 要素を取り出して 並べる”という これは 多分定石だろうが それを知らなかったんだ つまり、数学の 定石と手スジ(手筋)の勉強不足だった そういうことですね ご苦労様です http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/338
386: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/18(土) 10:38:04.36 ID:yCcyDMub つづき >集合2^Xの選択公理を用いて、Xの濃度の部分的な値のみを用いている。 >では、最初からXの濃度で済ますことが出来るかと言えば、おそらく無理。 そこ、おサルさん>>7-10の勘違いでしょうね ;p) >>292の 定理 選択公理⇒整列定理 証明 で 『空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される』 と書いたでしょ、おかしな事を書いている・・w ;p) 後で、ほじくらせて貰いますよ、乞うご期待 (^^ (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 従属選択公理 他の公理との関連 従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[4][5] 従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる。認める長さを際限なくした場合、それは完全な選択公理と同値になる。 >>154より alg-d.com/math/ac/countable_union.html 可算和定理 壱大整域 命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という.可算和定理は選択公理が無ければ証明できない. 証明 M を ZFC+GCH の可算推移的モデルとする.以下を満たす関数 p 全体がなす集合を P とする.以下略 (いつもお世話になっている尾畑先生) https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/ 東北大 尾畑研 https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_11.pdf 「第11章 選択公理」p164 の定理11.7 (可算和定理) (選択公理なしでは証明できない) >>84より archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545 Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich 1. In the realm of the reals We start by observing that several familiar topological properties of the reals are equivalent to each other and to rather natural choice-principles. Theorem 1.1 ([15], [29], [30]). Equivalent are: 1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A\{x} that converges to x, 2. a function f : R → R is continuous at a point x iff it is sequentially continuous at x, 4. each subspace of R is separable, 5. R is a Lindel¨ of space, 6. Q is a Lindel¨ of space, 9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R. There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]). (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/386
390: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/18(土) 12:28:27.68 ID:yCcyDMub 公開処刑 >>292 より 定理 選択公理⇒整列定理 証明 空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される。 X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する。 反射律の確認:∀a∈Xについて、≦の定義を{a}に適用しa≦aを得る。 推移律の確認:∀a,b,c∈Xについて、a≦b ∧ b≦c を仮定する。≦の定義を{a,b,c}に適用しa≦cを得る。 反対称律の確認:∀a,b∈Xについて、a≦b ∧ b≦a を仮定する。≦の定義を{a,b}に適用しf({a,b})=a ∧ f({a,b})=bを得る。fは写像だからa=b。 全順序律の確認:∀a,b∈Xについて、fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b。≦の定義を{a,b}に適用しa≦b ∨ b≦aを得る。 以上で≦がX上の全順序であることが確認された。 さらに、≦の定義より、Xの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦はX上の整列順序である。 (引用終り) 1)これ、ID:WVUbhM43さんのご指摘 >>307『f({a,b})=a, f({b,c})=b, f({c,a})=c なるfのとき、a,b,cの順序は定まりますかね?』 2)また >>313-315 『たとえば、X(全集合)={a,b,c}で f({a,b,c})=a, f({b,c})=b のとき、a<b<c と整列する。 このとき、f({a,b}),f({c,a})の値は使われない。 (aがf({a,b,c})=aとしてあらわれているから。) というわけで、選択函数fがあっても すべての値を使うのではなく、一部の値しか使われない。 そして、一つずつ元が減っていくという関係で (部分集合全体のなす集合)のある部分集合が、Xを 最初の集合として、一列に並ぶ。 このとき一つずつ減っていく元がfによって選ばれている という仕組み。 fのすべての値を使ってるわけではないが、fがあれば 「一つずつ元が減っていくという関係で(部分集合全体のなす集合) のある部分集合が一列に並ぶ」、ということも すっきり示される形になっている。』 3)この二つのご指摘の意味分ってないでしょ? 上記1)は、2項関係の定義になっていません 上記2)は、”Xの任意の空でない部分集合Y”は、やり過ぎ それだと、無駄に複雑にしているだけ 最小限として、”一列に並ぶ”、”一つずつ減っていく元” を実現するには、選択関数を べき集合で 任意の空でない部分集合Y=2^X は、無駄に複雑にしているだけ まあ、この指摘を言われて この二つ 理解できていないかったのかな? http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/390
395: 132人目の素数さん [sage] 2025/01/18(土) 13:25:55.36 ID:xY23/2ac >>292さんがなぜおかしな「証明」を書いたかといえば、おそらくこれは 整列可能定理⇒選択公理 の証明の逆を考えたのだろう。 整列可能定理から選択函数が構成できる。こうやって構成した選択函数を 用いれば、>>292の証明は確かに機能する。 しかし、それは特別な選択函数であって一般の選択函数ではないから 失敗したというわけ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/395
409: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/18(土) 23:39:58.57 ID:yCcyDMub 公開処刑 part2 ;p) >>292 より 定理 選択公理⇒整列定理 証明 空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される。 X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する。 反射律の確認:∀a∈Xについて、≦の定義を{a}に適用しa≦aを得る。 推移律の確認:∀a,b,c∈Xについて、a≦b ∧ b≦c を仮定する。≦の定義を{a,b,c}に適用しa≦cを得る。 反対称律の確認:∀a,b∈Xについて、a≦b ∧ b≦a を仮定する。≦の定義を{a,b}に適用しf({a,b})=a ∧ f({a,b})=bを得る。fは写像だからa=b。 全順序律の確認:∀a,b∈Xについて、fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b。≦の定義を{a,b}に適用しa≦b ∨ b≦aを得る。 以上で≦がX上の全順序であることが確認された。 さらに、≦の定義より、Xの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦はX上の整列順序である。 (引用終り) 1)そもそも、これ 整列に関する 2項関係の定義になってないよぉ ;p) ”全順序律の確認:∀a,b∈Xについて、fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b。≦の定義を{a,b}に適用しa≦b ∨ b≦aを得る” が全くのデタラメ ;p) 2)全順序律という用語は、下記 「完全律」というそうですよ そして、下記 数学の風景 二項関係とは で 『R が A 上の二項関係 (binary relation) であるとは,直積集合 A^2 =A×A の部分集合R⊂A×Aのことである。 (x,y)∈R のことを,xRy ともかく』とある通りです (Rは実数ではなく、関係のことです) それで、二項関係は、直積A^2に対して、外から 関係Rを決めてやらないと、二項関係にならない A^2 =A×A 全体ではなく、部分集合R⊂A×A たる 集合Rを決めないといけないのです! 3)ところが、『fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b』と流して、”a≦b ∨ b≦aを得る”? 例えば、整数1と2で、『fの定義よりf({1,2})=1 ∨ f({1,2})=2』と流して、”1≦2 ∨ 2≦1を得る”としたら? 1≦2 or 2≦1 のどちらかを決めないと いけないところが、上記定義では ”1≦2 ∨ 2≦1”のままで決まってない 同義反復というか、循環している・・・ 4)さらに、反例を挙げると、空でない集合Xとして 実数Rを取ります 実数Rについて、「二項関係≦を ∀Y⊂R.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する」として下さい それで、『実数Rの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦は実数R上の整列順序である』? それ 実数Rの整列の最小元の存在証明どこにあるの? 自明? ;p) 5)さらに、空でない集合Xとして 複素数Cを取ります 複素数Cに対し、「二項関係≦を ∀Y⊂C.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する」? そんな簡単に、複素数C そもそも 全順序が入るのか? そして 『実数Rの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦は実数R上の整列順序である』ってw? お気楽な話ですなw ;p) 大学1年で集合論を習いたての書いた証明なら、まだ かわいいが 数学科修士卒を鼻に掛ける男の証明がこれかい? 証明の体をなしていないねw ;p) つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/409
427: 132人目の素数さん [sage] 2025/01/19(日) 11:53:10.34 ID:MeW3b4Rf 雑談さんは、>>292の証明は、整列定理から作った特別な選択函数を用いれば成立するということは分かりますかね? >>426 それでいいと思ってるなら、マジで数学の才能ゼロだから、今すぐやめた方がいい。 もし病気なら、治療を優先すべき。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/427
473: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/20(月) 15:58:24.24 ID:7RKCNKc8 <公開処刑 続く> (『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか?』に向けて と (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてww ;p) さて >>465 より (引用開始) ”we can do by induction, using a choice function f for the family S of all nonempty subsets of A.” ああ、ごめんごめん。きみ、英語全く読めないニホンザルだったな。翻訳しとくわ。 「Aのすべての空でない部分集合の族Sに対する選択関数fを用いて、帰納的に行うことができる。」 (引用終り) それでな おサルさんよ>>7-10 もう一度 君の証明と対比するよ >>292 より 定理 選択公理⇒整列定理 証明 空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される。 X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する。 反射律の確認:∀a∈Xについて、≦の定義を{a}に適用しa≦aを得る。 推移律の確認:∀a,b,c∈Xについて、a≦b ∧ b≦c を仮定する。≦の定義を{a,b,c}に適用しa≦cを得る。 反対称律の確認:∀a,b∈Xについて、a≦b ∧ b≦a を仮定する。≦の定義を{a,b}に適用しf({a,b})=a ∧ f({a,b})=bを得る。fは写像だからa=b。 全順序律の確認:∀a,b∈Xについて、fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b。≦の定義を{a,b}に適用しa≦b ∨ b≦aを得る。 以上で≦がX上の全順序であることが確認された。 さらに、≦の定義より、Xの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦はX上の整列順序である。 (引用終り) 一方 >>464 より それでは、海賊版のThomas Jechの 証明を 転記しておくからw P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem) Every set can be well-orderd. Proof: Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence (aα: α < θ) that enumerates A. That we can do by induction, using a choicc fimction f for the family S of all nonempty subsets of A. We let for everv α aα=f(A-{aξ:ξ<α}) if A-{aξ:ξ<α} is nonempt. Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. Clearly,(aα:α< θ) enumerates A. ■ さて 1)両者を対比すると、その差歴然 おサルはど素人。Thomas Jechの 証明は、プロ! 2)おサルで首肯できるのは、1行目だけ 2行目からスベっていますw ;p) ”X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する” って、それ 全く定義の体をなしていないことは、すでに指摘した 3)ある順序 aRbが与えられたとき それが 整列順序であるか否か? 下記 尾畑研 整列集合:すべての空でない部分集合が最小元をもつ ここの扱いが一番難しい ところが、おサルの証明は 『≦の定義より、Xの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから』とスベっているw つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/473
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