ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

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385: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/18(土) 10:36:55.76 ID:yCcyDMub

>>370-371
ご苦労さまです
公開処刑は、一人でも継続するつもりだった ；ｐ）

それは >>15より 前スレ
rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/973-983
>つまり(ZFCではなく)ZF上で実数は定義不可能と言いたいのですか？
(引用終り)

この”ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？”は、興味があって
公開処刑は、そのついで です

>可算選択公理からの連想であろう

ID:Jha5BKz+ は、御大か
巡回ご苦労さまです

連想というか、下記に”従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[4][5]
従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる。認める長さを際限なくした場合、それは完全な選択公理と同値になる”
とあるので、各種選択公理の強さ（パワー）は、形成できる列の長さで測れるということですね
なお、下記の”>>102 より”の再掲ご参照

>>102 より
2）次に、下記 Well-ordering theorem ：the well-ordering theorem is equivalent to the axiom of choice
　要するに
　選択公理(無制限) ←→ 整列可能定理 (列長さ 無制限)
　従属選択公理(可算無限ω以上だが制限あり) ←→ 従属整列可能定理 (列長さ 可算無限以上だが制限あり)*)
　可算選択公理(可算無限ωに制限) ←→ 可算整列可能定理 (列長さ 可算無限ωに制限) *)
　有限選択定理(有限に制限) ←→ 有限整列可能定理 (列長さ 有限に制限)
　追加の注）
　*) 逆 ←は、可算和定理を認めた上で、選択公理の集合族について、各集合を可算に制限することとする
　そうすると、可算和定理より 可算の集合の 可算個の族は可算になる
　なお、可算和定理は選択公理が無ければ導けないが、逆の可算和定理→選択公理は導けないと思われる
　なので、可算和定理は選択公理より弱い仮定になる（可算和定理→可算選択公理が導けないかどうかは知らず）
　なお、限られた条件下を前提として、可算選択公理と 可算整列可能定理の類似が、equivalent
　例えば下記のHorst Herrlich ”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”と”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.”
　∵A＼{x} ∪{x} を 一種の可算無限列構成と見て equivalent to "the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R"だと
(引用終り)

これについては、>>143の ID:7/7JENEr氏から鋭い指摘がありました
即ち『可算選択公理は可算個の集合族についての言明で、それら集合族の和集合が
可算集合とは限らないから、可算集合の整列可能性（これは自明）から
可算選択公理は従わない。』だと

”（これは自明）”の部分以外は、首肯できます
（多分 有限集合の場合自明 の意でしょう）
細かい点は、上記の『追加の注）』を 見てたもれ ；ｐ）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/385

386: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/18(土) 10:38:04.36 ID:yCcyDMub

つづき

>集合2^Xの選択公理を用いて、Xの濃度の部分的な値のみを用いている。
>では、最初からXの濃度で済ますことが出来るかと言えば、おそらく無理。

そこ、おサルさん>>7-10の勘違いでしょうね ；ｐ）
　>>292の 定理　選択公理⇒整列定理 証明 で
『空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される』
と書いたでしょ、おかしな事を書いている・・ｗ ；ｐ）
後で、ほじくらせて貰いますよ、乞うご期待 （＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理
他の公理との関連
従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[4][5]
従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる。認める長さを際限なくした場合、それは完全な選択公理と同値になる。

>>154より
alg-d.com/math/ac/countable_union.html
可算和定理 壱大整域
命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という．可算和定理は選択公理が無ければ証明できない．
証明 M を ZFC+GCH の可算推移的モデルとする．以下を満たす関数 p 全体がなす集合を P とする．以下略

（いつもお世話になっている尾畑先生）
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大 尾畑研
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_11.pdf
「第11章 選択公理」p164 の定理11.7 (可算和定理)
(選択公理なしでは証明できない)

>>84より
archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf
Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545
Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich
1. In the realm of the reals
We start by observing that several familiar topological properties of the reals are equivalent to each other and to rather natural choice-principles.
Theorem 1.1 ([15], [29], [30]). Equivalent are:
1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,
2. a function f : R → R is continuous at a point x iff it is sequentially continuous at x,
4. each subspace of R is separable,
5. R is a Lindel¨ of space,
6. Q is a Lindel¨ of space,
9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.
There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]).
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/386

390: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/18(土) 12:28:27.68 ID:yCcyDMub

公開処刑
　>>292 より
定理　選択公理⇒整列定理
証明
空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される。
X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する。
反射律の確認：∀a∈Xについて、≦の定義を{a}に適用しa≦aを得る。
推移律の確認：∀a,b,c∈Xについて、a≦b ∧ b≦c を仮定する。≦の定義を{a,b,c}に適用しa≦cを得る。
反対称律の確認：∀a,b∈Xについて、a≦b ∧ b≦a を仮定する。≦の定義を{a,b}に適用しf({a,b})=a ∧ f({a,b})=bを得る。fは写像だからa=b。
全順序律の確認：∀a,b∈Xについて、fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b。≦の定義を{a,b}に適用しa≦b ∨ b≦aを得る。
以上で≦がX上の全順序であることが確認された。
さらに、≦の定義より、Xの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦はX上の整列順序である。
(引用終り)

1）これ、ID:WVUbhM43さんのご指摘
　>>307『f({a,b})=a, f({b,c})=b, f({c,a})=c
　なるfのとき、a,b,cの順序は定まりますかね？』
2）また >>313-315 『たとえば、X(全集合)={a,b,c}で
　f({a,b,c})=a, f({b,c})=b のとき、a<b<c と整列する。
　このとき、f({a,b}),f({c,a})の値は使われない。
　（aがf({a,b,c})=aとしてあらわれているから。）
　というわけで、選択函数fがあっても
　すべての値を使うのではなく、一部の値しか使われない。
　そして、一つずつ元が減っていくという関係で
　（部分集合全体のなす集合）のある部分集合が、Xを
　最初の集合として、一列に並ぶ。
　このとき一つずつ減っていく元がfによって選ばれている
　という仕組み。
　fのすべての値を使ってるわけではないが、fがあれば
　「一つずつ元が減っていくという関係で（部分集合全体のなす集合）
　のある部分集合が一列に並ぶ」、ということも
　すっきり示される形になっている。』
3）この二つのご指摘の意味分ってないでしょ？
　上記1）は、2項関係の定義になっていません
　上記2）は、”Xの任意の空でない部分集合Y”は、やり過ぎ
　それだと、無駄に複雑にしているだけ
　最小限として、”一列に並ぶ”、”一つずつ減っていく元”
　を実現するには、選択関数を べき集合で 任意の空でない部分集合Y＝2^X
　は、無駄に複雑にしているだけ

まあ、この指摘を言われて
この二つ 理解できていないかったのかな？

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/390

404: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/18(土) 18:45:07.01 ID:yCcyDMub

>>310より再録と補足
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be
A, and let
f be a choice function for the family of non-empty subsets of
A. For every ordinal (number) α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering
(or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β
(in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9^ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
(引用終り)

1）さて  海賊版サイトより （.pdf 正確なリンクは貼らない。著作権問題は 各人の責任でお願いいたします）
Set Theory
T Jech 著 · 1997 ·  The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics).
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
冒頭
”Proof. Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite
one-to-one sequence｛ aα : α < θ ｝that enumerates A .
と始まり 途中は ほぼ上記と同じ（記法が少し異なっている）
最後 ”Clearly, ｛aα : α <θ｝ enumerates A.”となっている
（enumerate ＝ 列挙 また、α は 順序数の添え字。α <θ は、ある順序数θ未満のα という意味だろう）

2）ここで、選択関数を書き直すと
　f： A∖{aξ∣ξ<α} → A∖{aξ∣ξ<α} となる
　>>320に記したように、選択公理の A∖{aξ∣ξ<α} が集合族の役割を果たしている
　集合 A∖{aξ∣ξ<α} の濃度は、元の集合A以下だ（∵ Aより ∖{aξ∣ξ<α} の分だけ減少している）

3）繰り返すが 集合族 として Aξ：＝A∖{aξ∣ξ<α} と書き直すと
　∖{aξ∣ξ<α}によって、集合 Aの元 aξ をどんどん減らして 最後空になるまで続けるのだから
　順序数 ξを集めた 集合も その濃度は Aを越えない

4）よって 再度強調するが、いま 上記 選択公理→整列可能定理の証明で扱うとき
　集合族における 各集合 Aξ：＝A∖{aξ∣ξ<α} の濃度は 元の Aを越えない

なので、>>390に引用した ”定理　選択公理⇒整列定理”の
『Xの任意の空でない部分集合Y』を考えて べき集合2^X を考える必要は 多分全くｗｗ 無くｗｗｗ
上記 Jech, Thomas の 証明においては、全く不要であって　過剰であると 言える！■

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/404

409: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/18(土) 23:39:58.57 ID:yCcyDMub

公開処刑 part2 ；ｐ）
　>>292 より
定理　選択公理⇒整列定理
証明
空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される。
X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する。
反射律の確認：∀a∈Xについて、≦の定義を{a}に適用しa≦aを得る。
推移律の確認：∀a,b,c∈Xについて、a≦b ∧ b≦c を仮定する。≦の定義を{a,b,c}に適用しa≦cを得る。
反対称律の確認：∀a,b∈Xについて、a≦b ∧ b≦a を仮定する。≦の定義を{a,b}に適用しf({a,b})=a ∧ f({a,b})=bを得る。fは写像だからa=b。
全順序律の確認：∀a,b∈Xについて、fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b。≦の定義を{a,b}に適用しa≦b ∨ b≦aを得る。
以上で≦がX上の全順序であることが確認された。
さらに、≦の定義より、Xの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦はX上の整列順序である。
(引用終り)

1）そもそも、これ 整列に関する 2項関係の定義になってないよぉ ；ｐ）
　”全順序律の確認：∀a,b∈Xについて、fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b。≦の定義を{a,b}に適用しa≦b ∨ b≦aを得る”
　が全くのデタラメ ；ｐ）
2）全順序律という用語は、下記 「完全律」というそうですよ
　そして、下記 数学の風景 二項関係とは で
　『R が A 上の二項関係 (binary relation) であるとは，直積集合
　A^2 =A×A の部分集合R⊂A×Aのことである。
　(x,y)∈R のことを，xRy ともかく』とある通りです
　（Rは実数ではなく、関係のことです）
　それで、二項関係は、直積A^2に対して、外から 関係Rを決めてやらないと、二項関係にならない
　A^2 =A×A 全体ではなく、部分集合R⊂A×A たる 集合Rを決めないといけないのです！
3）ところが、『fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b』と流して、”a≦b ∨ b≦aを得る”？
　例えば、整数1と2で、『fの定義よりf({1,2})=1 ∨ f({1,2})=2』と流して、”1≦2 ∨ 2≦1を得る”としたら？
　1≦2 or 2≦1 のどちらかを決めないと いけないところが、上記定義では ”1≦2 ∨ 2≦1”のままで決まってない
　同義反復というか、循環している・・・
4）さらに、反例を挙げると、空でない集合Xとして 実数Rを取ります
　実数Rについて、「二項関係≦を ∀Y⊂R.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する」として下さい
　それで、『実数Rの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦は実数R上の整列順序である』？
　それ 実数Rの整列の最小元の存在証明どこにあるの？ 自明？ ；ｐ）
5）さらに、空でない集合Xとして 複素数Cを取ります
　複素数Cに対し、「二項関係≦を ∀Y⊂C.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する」？
　そんな簡単に、複素数C そもそも 全順序が入るのか？ そして
　『実数Rの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦は実数R上の整列順序である』ってｗ？

お気楽な話ですなｗ ；ｐ）
大学1年で集合論を習いたての書いた証明なら、まだ かわいいが
数学科修士卒を鼻に掛ける男の証明がこれかい？
証明の体をなしていないねｗ ；ｐ）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/409

410: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/18(土) 23:41:04.22 ID:yCcyDMub

つづき

(参考)
mathlandscape.com/binary-relation/
数学の風景
二項関係とは
2023.10.26
ある集合 A があったとしましょう。この2つの元
x,y∈A に対し，何らかの「関係」が定まっているとします。このとき，
x,y には関係があるといいます。
このように，ある集合の2つの元に定める「関係」を，二項関係といいます。
たとえば，A を人間たちの集合とします。人 x,y∈A が友達であるとき，
x,y は「関係がある」と言うことにしましょう。これが「二項関係」です。
この関係に名称をつけるなら「友達関係」ですね。友達でない二人の人には，「友達関係はない」ですね。
他にも，人間同士には，「知り合いの関係」「部下と上司の関係」「同僚の関係」「同国籍の関係」など，さまざまな関係を定めることができそうですね。
あるいは，R を実数の集合としましょう。この上には，
x,y に対して，x≤y あるいは y≤x という「二項関係」が定まっています。
これを順序関係（大小関係）と言ったりします。

二項関係の厳密な定義
1つの集合の上には，いろいろな「二項関係」を考えることが可能ですから，一般に数学において「二項関係」を定義するときは，関係があるかないかのみを定義します。
関係があるかないかを数学的に厳密に定義したいとしましょう。果たしてどうすればよいでしょうか。厳密な定義を見てみましょう。
定義（二項関係）
R が A 上の二項関係 (binary relation) であるとは，直積集合
A^2 =A×A の部分集合R⊂A×Aのことである。
(x,y)∈R のことを，xRy ともかく。
R という記号を持ちましたが，実際は ∼,≤ をはじめ，さまざまな記号が用いられます。
ちょっと定義に戸惑ったかもしれません。数学的に「2つの関係」の有無を定義しようと思うと，関係があれば属するような集合を考えるというわけです。
(x,y)∈R なら xRy という関係があると考え，(x,y) not∈R なら，そのよう関係がないと考えるわけですね。
たとえば，R 上の順序関係（大小関係） R は，集合でかけばR={(x,y)∈R^2 ∣x≤y}
とかけます。

mathlandscape.com/ordered-set-2/
数学の風景
半順序集合・全順序集合の定義・具体例4つとその周辺
2023.08.16
定義（前順序集合・半順序集合・全順序集合）
X 上の4つの二項関係 ≤ について，
1.任意の x∈X に対して，x≤x (反射律)
2.x,y,z∈X に対して，x≤y,y≤z ならば x≤z (推移律)
3.x,y∈X に対して，x≤y,y≤x ならば x=y (反対称律)
4.任意の x,y∈X に対して，x≤y または y≤x (完全律)
のうち，
1,2 をみたすものを前順序集合 (preorderd set)，
1,2,3 をみたすものを半順序集合 (順序集合; partially ordered set; poset)，
1,2,3,4をみたすものを全順序集合 (totally ordered set)という

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/410

411: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/18(土) 23:41:23.48 ID:yCcyDMub

つづき

mathlandscape.com/wellordered-set/
数学の風景
整列集合と整列可能定理
2024.01.21
整列集合とは，「間隔を空けてきれいに順番に並んだ」集合のことで，具体的には，どんな部分集合を持ってきてもちゃんと大小関係として最小値が定まるような順序集合のことを言います。
整列集合の定義
整列集合＝全順序＋(任意)部分集合が常に最小値を持つ
定義1（整列集合）
半順序集合 A に対し，任意の空でない部分集合が最小値を持つとき，整列集合 (well-ordered set) という。
「半順序集合」といいましたが，任意の2元が最小値を持つことから，整列集合は全順序集合です。半順序集合・全順序集合については以下の図が分かりやすいと思います(→半順序集合・全順序集合の定義・具体例4つとその周辺)。
前順序集合：反射律と推移律
半順序集合：反射律、推移律と反対称律
全順序集合：反射律、推移律、反対称律と完全律
5. 整列可能定理

（いつもお世話になっている尾畑先生）
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大 尾畑研
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_12.pdf
第12章 順序集合
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_13.pdf
第13章 整列集合
13.1 整列集合
順序集合(X,≼)はすべての空でない部分集合が最小元をもつとき整列集合であるといいそのような順序を整列順序という
定義から整列集合は必ず全順序集合であることに注意しよう
実際a,b∈Xに対して集合{a,b}はXの空でない部分集合になるからそれは最小元をもつ最小元はaまたはbであるがそれがaであればa≼bとなるしそれがbであればb≼aとなる
これは任意のa,bが比較可能であることを意味し Xは全順序集合であることがわかる
定義から空でない整列集合Xそれ自身は最小元min X をもつ

ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合（英: wellordered set）、または整列順序付けられた集合（せいれつじゅんじょづけられたしゅうごう）とは、数学における概念の1つで、整列順序を備えた集合のことをいう。ここで、集合 S 上の整列順序関係 (wellorder) とは、S 上の全順序関係 "≤" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≤ に関する最小元をもつものをいう。
順序数
→詳細は「順序数」を参照
任意の整列集合は、その整列集合の順序型と呼ばれるただ一つの順序数に順序同型である。
実数からなる集合
正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≤ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]。ただし、R 上の定義可能な整列順序の存在は ZFC と(相対的に)無矛盾である。例えば V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/411

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