ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

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222: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/13(月) 10:44:09.92 ID:xSRlEtRO

>>221
>”自己言及と対角線論法”

対角線論法より以前に、カントールの最初の実数の非可算を証明した話が下記にある
しかし、繰り返すが >>218『カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている』
ので、下記で 可算選択公理の役割は、定かではない（多分使っていると推測しています）

(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument
Cantor's diagonal argument
（google訳）
実数
実数の非可算性はカントールの最初の非可算性の証明によってすでに確立されているが略

en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_first_set_theory_article
Cantor's first set theory article
（google訳）
カントールの最初の集合論の論文には、無限集合とその性質を研究する超限集合論におけるゲオルク・カントールの最初の定理が含まれている。これらの定理の1つは、すべての実数の集合は可算無限ではなく非可算無限であるという「革命的な発見」である。[ 1 ]この定理は、カントールの最初の非可算性の証明を使用して証明されており、これは対角線論法を使用したより一般的な証明とは異なる。論文のタイトル「すべての実代数的数の集合の特性について」("Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen") は、その最初の定理である、実代数的数の集合は可算であることを指し示している。カントールの論文は1874年に発表された。1879年、彼は集合が区間内に 稠密であるという位相的な概念を使用して非可算性の証明を修正した。

記事
カントールの論文は短く、4ページ半未満である。[ A ]論文は実代数的数の議論と彼の第一定理の記述で始まる。実代数的数の集合は正の整数の集合と1対1に対応させることができる。[ 3 ]カントールはこの定理を当時の数学者に馴染みのある言葉で言い換える。「実代数的数の集合は、各数が1回だけ現れる無限列として表すことができる。」[ 4 ]

カントールの第二定理は、実数 ≥ aかつ ≤  bの集合である 閉区間[ a ,  b ] で機能します。定理は次のように述べています。実数列x 1、x 2、x 3、... と任意の区間 [ a、  b ] が与えられた場合、[ a、  b ] には、与えられた列に含まれない数があります。したがって、そのような数は無限にあります。 [ 5 ]

カントルは、2つの定理を組み合わせると、すべての区間[ a、  b ]には無限の超越数が含まれるというリウヴィルの定理の新たな証明が得られると指摘している。[ 5 ]

カントルは、彼の第二の定理は次のように述べている。

いわゆる連続体を形成する実数の集合（例えば、0以上1以下のすべての実数）が、集合（ν）[すべての正の整数の集合]と一対一に対応できない理由。こうして、いわゆる連続体と実代数的数の総体のような集合との明確な違いを発見した。[ 6 ]

この注釈にはカントールの不可算定理が含まれているが、これは区間 [ a ,  b ] が正の整数の集合と一対一に対応付けられないことのみを述べている。この区間が正の整数の集合よりも大きな濃度の無限集合であるとは述べていない。濃度は1878年に発表されたカントールの次の論文で定義されている。[ 7 ]

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/222

235: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/13(月) 18:14:48.75 ID:xSRlEtRO

戻る

>>83-84 より再録
fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_choix_d%C3%A9nombrable
Axiome du choix dénombrable 仏語 可算選択の公理
（google訳）
たとえば、集合S ⊆ Rの累積点xがS \{ x }の要素シーケンスの極限であることを証明するには、可算選択公理の (弱い形式) が必要です。任意の計量空間の累積点について定式化すると、このステートメントは AC ω 3と等価になります。
誤解
一般的に誤解されているのは、AC ωには反復性があるため、帰納法によって (ZF または同等のシステム、またはより弱いシステムでさえも) 定理として証明できるということです。しかし、そうではありません。この誤った考えは、可算選択の概念と、サイズ n の有限集合(n は任意に選択) に対する有限選択の概念との混同の結果であり、後者の結果です (組み合わせ分析の初等定理です)。それは帰納法で証明できます。
（google 仏→英 訳）
There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]).
Observe the fine distinction between conditions 2 and 3 of Theorem 1.1.
These may lead one to assume that also the following property is equivalent to the above conditions:
(*) a function f : R -. R is continuous i. it is sequentially continuous.
However, this would be a serious mistake: (*) holds in ZF (without any choiceassumptions) — see [29].
If, however, we consider functions f : X -. R with
metric domain we need even more choice than in Theorem 1.1, — see Theorem 2.1.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/235

236: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/13(月) 18:15:11.17 ID:xSRlEtRO

つづき

Notes et références
3．Pour d'autres énoncés équivalents à ACω, voir (en) Horst Herrlich, « Choice principles in elementary topology and analysis », Comment. Math. Univ. Carolinae, vol. 38, no 3,‎ 1997, p. 545-552 (lire en ligne [archive]) et (en) Paul Howard et Jean E. Rubin, Consequences of the Axiom of Choice, Providence, R.I., AMS, 1998.

archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf
Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545
Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich
1. In the realm of the reals
We start by observing that several familiar topological properties of the reals are equivalent to each other and to rather natural choice-principles.
Theorem 1.1 ([15], [29], [30]). Equivalent are:
1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,
2. a function f : R → R is continuous at a point x iff it is sequentially continuous at x,
3. a real-valued function f : A → R from a subspace A of R is continuous iff it is sequentially continuous,
4. each subspace of R is separable,
5. R is a Lindel¨ of space,
6. Q is a Lindel¨ of space,
7. N is a Lindel¨ of space,
8. each unbounded subset of R contains an unbounded sequence,
9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.
There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]).
Observe the fine distinction between conditions 2 and 3 of Theorem 1.1.
These may lead one to assume that also the following property is equivalent to the above conditions:
(*) a function f : R −→ R is continuous iff it is sequentially continuous.
However, this would be a serious mistake: (*) holds in ZF (without any choiceassumptions) — see [29].
If, however, we consider functions f : X −→ R with metric domain we need even more choice than in Theorem 1.1, — see Theorem 2.1.
Proposition 1.2 ([15]). Equivalent are:
1. in R, every bounded infinite set contains a convergent injective sequence,
2. every infinite subset of R is Dedekind-infinite.
There exist models of ZF that violate the above conditions ([18]).
Obviously, the conditions of Theorem 1.1 imply the conditions of Proposition 1.2.
Is the converse true?
Observe that the following slight modifications of condition 1 in Proposition 1.2 hold in ZF:
(a) in R, every bounded countable set contains a convergent injective sequence,
(b) in R, for every bounded infinite set there exists an accumulation point.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/236

239: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/13(月) 19:08:04.14 ID:xSRlEtRO

>>235-236より

1）可算選択の公理なしで、コーシー列の収束が言えることと
　上記 fr.wikipedia 可算選択公理における下記の記述とは、矛盾しない と思う
”Theorem 1.1 ([15], [29], [30]). Equivalent are:
1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,
2. a function f : R → R is continuous at a point x iff it is sequentially continuous at x,
3. a real-valued function f : A → R from a subspace A of R is continuous iff it is sequentially continuous,
4. each subspace of R is separable,
5. R is a Lindel¨ of space,
6. Q is a Lindel¨ of space,
7. N is a Lindel¨ of space,
8. each unbounded subset of R contains an unbounded sequence,
9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.
There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]).
Observe the fine distinction between conditions 2 and 3 of Theorem 1.1.”

2）つまり、可算選択の公理なしで、コーシー列の収束が言えるとして
　その上で、可算選択公理を認めると
”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”
”4. each subspace of R is separable,”
”5. R is a Lindel¨ of space,”
　成立！

3）というか、”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.”
　と、Equivalent である！

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/239

240: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/13(月) 19:09:27.94 ID:xSRlEtRO

つづき

(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Separable_space
Separable space
In mathematics, a topological space is called separable if it contains a countable, dense subset; that is, there exists a sequence
{xn}n=1〜∞  of elements of the space such that every nonempty open subset of the space contains at least one element of the sequence.
Like the other axioms of countability, separability is a "limitation on size", not necessarily in terms of cardinality (though, in the presence of the Hausdorff axiom, this does turn out to be the case; see below) but in a more subtle topological sense. In particular, every continuous function on a separable space whose image is a subset of a Hausdorff space is determined by its values on the countable dense subset.

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E5%88%86%E7%A9%BA%E9%96%93
可分空間
数学の位相空間論における可分空間（かぶんくうかん、英: separable space）とは、可算な稠密部分集合を持つような位相空間をいう。つまり、空間の点列 {xn}∞〜n=1 で、その空間の空でない任意の開集合が少なくとも一つその点列の項を含むものが存在する。
他の可算公理と同様に、可分性は空間の「大きさの制限」を与えるものである。これは必ずしも濃度に関するものではなく、より微妙な位相的な意味での「大きさ」である。（ただしハウスドルフ空間の場合は濃度に関する制限にもなっている。下記参照。）特に、可分空間上の連続写像でその像がハウスドルフ空間の部分集合であるようなものは全て、その可算稠密部分集合上の値によって決定される。
一般に、可分性は極めて有用で（幾何学や古典的な解析学で研究されるような空間のクラスに対しては）きわめて緩やかなものと一般に考えられる、空間への技術的仮定である。可分性とそれに関連のある第二可算性の概念の比較は重要である（第二可算のほうが一般には強い条件だが、距離化可能な空間のクラスでは同値になる。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/240

242: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/13(月) 19:40:45.83 ID:xSRlEtRO

>>239
(引用開始)
5. R is a Lindel¨ of space,
6. Q is a Lindel¨ of space,
7. N is a Lindel¨ of space,
(引用終り)

1）リンデレフ空間 までしか言えてない　；ｐ）
2）Rだと、Compact space なのだが・・、下記 Compact space
　Metric spaces の項 で、”For any metric space (X, d), the following are equivalent (assuming countable choice)”
　とあって、
”3.(X, d) is sequentially compact; that is, every sequence in X has a convergent subsequence whose limit is in X (this is also equivalent to compactness for first-countable uniform spaces).
　4.(X, d) is limit point compact (also called weakly countably compact); that is, every infinite subset of X has at least one limit point in X.”　か・・
3）とすると、(assuming countable choice) ならば、>>239より
　”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”
　だから、不足しているのは Rが ”Metric” であることだが。”Rが Metric”をいうには、countable choice だけでは 不足なのかな？

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Lindel%C3%B6f_space
Lindelöf space
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%AC%E3%83%95%E7%A9%BA%E9%96%93
リンデレフ空間（英: Lindelöf space; リンデレーフ空間）は、任意の開被覆が可算部分被覆を持つような位相空間である。リンデレフ性は、有限部分被覆の存在を要求するコンパクト性の概念を弱めたものである。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/242

243: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/13(月) 19:41:08.29 ID:xSRlEtRO

つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Compact_space
Compact space
（google訳）
数学、特に一般位相幾何学において、コンパクト性はユークリッド空間の閉じた有界部分集合の概念を一般化しようとする性質である。[ 1 ]コンパクト空間には「穴」や「欠けている端点」がなく、すべての点の極限値が含まれているという考え方である。例えば、開区間(0,1) は 0 と 1 の極限値を除外するためコンパクトではないが、閉区間 [0,1] はコンパクトである。同様に、有理数の空間Qは
コンパクトではない。なぜなら、無理数に対応する「穴」が無限にあり、実数空間Rは
2つの極限値+∞ 、−∞を除外しているため、コンパクトではありません。
しかし、拡張された実数直線は両方の無限大を含むためコンパクトになります。
この経験的概念を正確にする方法は多数あります。
これらの方法は通常、計量空間では一致しますが、他の位相空間では同等ではない場合があります

（原文）
Metric spaces
For any metric space (X, d), the following are equivalent (assuming countable choice):
1.(X, d) is compact.
2.(X, d) is complete and totally bounded (this is also equivalent to compactness for uniform spaces).[14]
3.(X, d) is sequentially compact; that is, every sequence in X has a convergent subsequence whose limit is in X (this is also equivalent to compactness for first-countable uniform spaces).
4.(X, d) is limit point compact (also called weakly countably compact); that is, every infinite subset of X has at least one limit point in X.
5.(X, d) is countably compact; that is, every countable open cover of X has a finite subcover.
6.(X, d) is an image of a continuous function from the Cantor set.[15]
7.Every decreasing nested sequence of nonempty closed subsets S1 ⊇ S2 ⊇ ... in (X, d) has a nonempty intersection.
8.Every increasing nested sequence of proper open subsets S1 ⊆ S2 ⊆ ... in (X, d) fails to cover X.
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/243

250: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/13(月) 23:59:44.83 ID:xSRlEtRO

>>242
(引用開始)
3）とすると、(assuming countable choice) ならば、>>239より
　”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”
　だから、不足しているのは Rが ”Metric” であることだが。”Rが Metric”をいうには、countable choice だけでは 不足なのかな？
(引用終り)

下記 Construction of the real numbers の
Construction from Cauchy sequences で
metric spaces として completion（完備）までやっているが、どの選択公理を使うかの記述がない
”axiom of dependent choice”だと思うのだが・・ （＾＾

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers
Construction of the real numbers
Explicit constructions of models

Construction from Cauchy sequences
A standard procedure to force all Cauchy sequences in a metric space to converge is adding new points to the metric space in a process called completion.
R is defined as the completion of the set
Q of the rational numbers with respect to the metric |x − y| Normally, metrics are defined with real numbers as values, but this does not make the construction/definition circular, since all numbers that are implied (even implicitly) are rational numbers.[5]

An advantage of constructing
R as the completion of
Q is that this construction can be used for every other metric spaces.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/250

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