ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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666: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/27(月) 12:12:14.93 ID:CtxJncrm

”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
＜ あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない＞
>>662-665
ご苦労様です

>　お主ではないが、君が書いた英文五行の中に
>　ｆが何なのか全く書いてないから尋ねたんじゃね
>　”おまえ　ｆが何なのか全く書いてないぞ”って

なるほど
では、以下に 解説をば

まず 海賊版サイトより （.pdf 正確なリンクは貼らない。著作権問題は 各人の責任でお願いいたします）
Set Theory T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics).
冒頭　1．Axiomls of Set Theory, Axiomns of Zerlmelo-Fraenkel で

1.3. Axiom Scbema Of Sepamtion. If P is a propety (with parameter p),
then for any X and p there exist a set Y = {u∈X : P(u,p)} that contains
all those u∈X that have property P.

1.7. Axiom Schema of Replacement. If a class F is a function, then for
any X there exists α set Y=F(X)={F(x):x∈X}.
（なお、Jech氏は、ここで選択公理も記載し ZFCにも触れている）

とある。これには 下記が参考になるだろう
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ＝フレンケル集合論

3. 分出公理（無制限の内包公理）
→詳細は「分出公理」を参照
部分集合は通常、集合の内包的記法（英語版）を用いて表される
たとえば偶数は、整数
Zの合同式
x≡0(mod2) を満たす部分集合として表すことができる
一般に、集合
z の部分集合で1つの自由変項
x の式
ϕ(x) に従うものは、以下のように表現できる：
{x∈z:ϕ(x)}.
分出公理は、この部分集合が常に存在することを示す（それぞれの
ϕ に1つずつ公理が対応するため、これは公理図式である）。
ZFの公理の中で、この公理は置換公理と空集合の公理に従うという点で冗長である

6. 置換公理
→詳細は「置換公理」を参照
置換公理は、定義可能な関数において集合の像も集合内にあると主張する

厳密には、ZFCの言語で
ϕ を 自由変項
x,y,A,w1,…,wn
が含まれる任意の論理式とすると、次のように表される（ B は自由変項ではない） ：
略す
ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BD%AE%E6%8F%9B%E5%85%AC%E7%90%86
置換公理
多かれ少なかれこの公理は、ZFで証明可能な定理（たとえば集合の存在証明）や証明論的な無矛盾性の強さの点において、Zと比べて劇的にZFを強固にする。以下に重要な例を示す。
略
上記のように、順序数をすべての整列集合へ割り当てるのにも置換公理が必要である。同様に、基数を各集合に割り当てるフォン・ノイマンの割り当てには置換公理と選択公理が必要である。
(引用終り)
（ここで、置換公理は、分出公理の上位互換であることを注意しておく)
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/666

667: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/27(月) 12:12:35.09 ID:CtxJncrm

つづき

さて >>652より
Thomas Jechの 証明 再録
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for every α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempty.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

ここで、まず 集合族 A-{aξ：ξ<α} に 注目しよう （ なお A-{aξ：ξ<α} ⊂ A も注意しておく）
これは、上記 1.7. Axiom Schema of Replacementで class F function, exists α set Y=F(X)={F(x):x∈X}.
における F(X)のネタを仕込んでいると思え

そして、次に the family S of all nonempty subsets of A の部分に注目すると
Aのべき集合P(A)から空集合Φを覗いた P(A)-Φ の要素が、the family Sってことだね
さらに、A-{aξ：ξ<α} ∈ P(A)-Φ だね

ここから Axiom Schema of Replacementの class F function を使って P(A)-Φの部分集合として
集合族 A-{aξ：ξ<α} を要素とする 部分集合を構成できる
{A,A-{a1},A-{a2},・・・}だね

ここで、Axiom Schema of Replacementの class F function を使っていることを念押ししておく
これが、選択関数と異なることは、”Y=F(X)={F(x):x∈X”とあって、F(X)の定義域は ただ一つ Xから分かる(いまの場合 X＝P(A)-Φ)

さて、集合族 A,A-{a0},A-{a1},・・・から、選択関数の構成ができて
０：A-Φ → a0
１：A-{a0} → a1
２：A-{a1} → a2
　・
　・
　・
のように A-{aξ：ξ<α} が空集合になるまで続ける
一見 集合族の構成が （選択公理による）循環論法に見えるが、順序数による 超限再帰（あるいは超限帰納）を認めればよい
（また そもそも、集合族 A-{aξ：ξ<α} を P(A)-Φ から取り出すところは、 置換公理関数で ”Y=F(X)={F(x):x∈X”の定義域は、 ただ一つ X＝P(A)-Φであるから 選択関数とは全く異なることは見易い）
上記の 選択関数による aα たちの構成は、選択公理により 許される■
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/667

674: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/27(月) 13:20:51.05 ID:CtxJncrm

”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
＜ あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない＞

ご苦労様です。
>>668-670
>それは P(A)-Φから要素を選ぶ選択関数fそのまま

それ、”選択”という日常語に 流されている
選択公理は、無限集合族を定義域とする関数だから、特別に公理が必要だ
”P(A)-Φ”という 定義域が ただ一つならば、置換公理の関数で間に合う

つぎに
>"Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence >（aα: α < θ) that enumerates A.
>That we can do by induction, using a choice function f for the family S of all nonempty subsets of A."
>「Aを集合とする。Aを整序するには、Aを列挙する超限的一対一列（aα：α＜θ）を構成すれば十分である。
>　これは、Aのすべての空でない部分集合の族Sに対する選択関数fを用いて、帰納的に行うことができる。」
>「Aは集合である」はともかく「Aのすべての空でない部分集合の族Sに対する選択関数f」を抜いたよな　なんで？

いいかな
無限集合Aの 空集合を含まない べき集合P(A)-Φ（空集合を除いておく）で
いま Aの濃度が可算であるとするして べき集合P(A)-Φ は非可算だ
のように、無限の濃度ランクが一つアップする ことを 注意しておく

さて、以前にも書いたが、
１）Aに 順序数の付番付け をするために、そのべき集合P(A)-Φの 順序数の付番付け が必要とする考えは
　無限後退になるので まずい。（そのまた べき集合・・・となるから）
２）また、べき集合P(A)-Φに 順序数の付番付けができたとしよう
　そのままでは、>>667の Jech氏の意図した {A,A-{a1},A-{a2},・・・} の 順序数の付番付けにならない
　∵ 例えば、Aが可算だとして べき集合P(A)-Φの 順序数の付番付けそのままでは
　非可算レベルの順序数の付番付けが混じってしまう から
３）よって、"Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence >（aα: α < θ) that enumerates A.
　That we can do by induction, using a choice function f for the family S of all nonempty subsets of A."
　のJech氏の意図は、べき集合P(A)-Φの部分集合として
　{A,A-{a1},A-{a2},・・・} が、置換公理で取り出せるってことだね
　そして、a1、a2、・・・は、決して一意ではなく、as desired であることも注意しておく（>>631 en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem ご参照 ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/674

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