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ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002レス)
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/
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666: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/27(月) 12:12:14.93 ID:CtxJncrm ”<公開処刑 続く> (『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか?』に向けて と (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてww ;p) rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” < あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない> >>662-665 ご苦労様です > お主ではないが、君が書いた英文五行の中に > fが何なのか全く書いてないから尋ねたんじゃね > ”おまえ fが何なのか全く書いてないぞ”って なるほど では、以下に 解説をば まず 海賊版サイトより (.pdf 正確なリンクは貼らない。著作権問題は 各人の責任でお願いいたします) Set Theory T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics). 冒頭 1.Axiomls of Set Theory, Axiomns of Zerlmelo-Fraenkel で 1.3. Axiom Scbema Of Sepamtion. If P is a propety (with parameter p), then for any X and p there exist a set Y = {u∈X : P(u,p)} that contains all those u∈X that have property P. 1.7. Axiom Schema of Replacement. If a class F is a function, then for any X there exists α set Y=F(X)={F(x):x∈X}. (なお、Jech氏は、ここで選択公理も記載し ZFCにも触れている) とある。これには 下記が参考になるだろう ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96 ツェルメロ=フレンケル集合論 3. 分出公理(無制限の内包公理) →詳細は「分出公理」を参照 部分集合は通常、集合の内包的記法(英語版)を用いて表される たとえば偶数は、整数 Zの合同式 x≡0(mod2) を満たす部分集合として表すことができる 一般に、集合 z の部分集合で1つの自由変項 x の式 ϕ(x) に従うものは、以下のように表現できる: {x∈z:ϕ(x)}. 分出公理は、この部分集合が常に存在することを示す(それぞれの ϕ に1つずつ公理が対応するため、これは公理図式である)。 ZFの公理の中で、この公理は置換公理と空集合の公理に従うという点で冗長である 6. 置換公理 →詳細は「置換公理」を参照 置換公理は、定義可能な関数において集合の像も集合内にあると主張する 厳密には、ZFCの言語で ϕ を 自由変項 x,y,A,w1,…,wn が含まれる任意の論理式とすると、次のように表される( B は自由変項ではない) : 略す ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BD%AE%E6%8F%9B%E5%85%AC%E7%90%86 置換公理 多かれ少なかれこの公理は、ZFで証明可能な定理(たとえば集合の存在証明)や証明論的な無矛盾性の強さの点において、Zと比べて劇的にZFを強固にする。以下に重要な例を示す。 略 上記のように、順序数をすべての整列集合へ割り当てるのにも置換公理が必要である。同様に、基数を各集合に割り当てるフォン・ノイマンの割り当てには置換公理と選択公理が必要である。 (引用終り) (ここで、置換公理は、分出公理の上位互換であることを注意しておく) つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/666
667: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/27(月) 12:12:35.09 ID:CtxJncrm つづき さて >>652より Thomas Jechの 証明 再録 P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem) Every set can be well-orderd. Proof: Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence (aα: α < θ) that enumerates A. That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A. We let for every α aα=f(A-{aξ:ξ<α}) if A-{aξ:ξ<α} is nonempty. Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. Clearly,(aα:α< θ) enumerates A. ■ ここで、まず 集合族 A-{aξ:ξ<α} に 注目しよう ( なお A-{aξ:ξ<α} ⊂ A も注意しておく) これは、上記 1.7. Axiom Schema of Replacementで class F function, exists α set Y=F(X)={F(x):x∈X}. における F(X)のネタを仕込んでいると思え そして、次に the family S of all nonempty subsets of A の部分に注目すると Aのべき集合P(A)から空集合Φを覗いた P(A)-Φ の要素が、the family Sってことだね さらに、A-{aξ:ξ<α} ∈ P(A)-Φ だね ここから Axiom Schema of Replacementの class F function を使って P(A)-Φの部分集合として 集合族 A-{aξ:ξ<α} を要素とする 部分集合を構成できる {A,A-{a1},A-{a2},・・・}だね ここで、Axiom Schema of Replacementの class F function を使っていることを念押ししておく これが、選択関数と異なることは、”Y=F(X)={F(x):x∈X”とあって、F(X)の定義域は ただ一つ Xから分かる(いまの場合 X=P(A)-Φ) さて、集合族 A,A-{a0},A-{a1},・・・から、選択関数の構成ができて 0:A-Φ → a0 1:A-{a0} → a1 2:A-{a1} → a2 ・ ・ ・ のように A-{aξ:ξ<α} が空集合になるまで続ける 一見 集合族の構成が (選択公理による)循環論法に見えるが、順序数による 超限再帰(あるいは超限帰納)を認めればよい (また そもそも、集合族 A-{aξ:ξ<α} を P(A)-Φ から取り出すところは、 置換公理関数で ”Y=F(X)={F(x):x∈X”の定義域は、 ただ一つ X=P(A)-Φであるから 選択関数とは全く異なることは見易い) 上記の 選択関数による aα たちの構成は、選択公理により 許される■ 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/667
674: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/27(月) 13:20:51.05 ID:CtxJncrm ”<公開処刑 続く> (『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか?』に向けて と (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてww ;p) rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” < あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない> ご苦労様です。 >>668-670 >それは P(A)-Φから要素を選ぶ選択関数fそのまま それ、”選択”という日常語に 流されている 選択公理は、無限集合族を定義域とする関数だから、特別に公理が必要だ ”P(A)-Φ”という 定義域が ただ一つならば、置換公理の関数で間に合う つぎに >"Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence >(aα: α < θ) that enumerates A. >That we can do by induction, using a choice function f for the family S of all nonempty subsets of A." >「Aを集合とする。Aを整序するには、Aを列挙する超限的一対一列(aα:α<θ)を構成すれば十分である。 > これは、Aのすべての空でない部分集合の族Sに対する選択関数fを用いて、帰納的に行うことができる。」 >「Aは集合である」はともかく「Aのすべての空でない部分集合の族Sに対する選択関数f」を抜いたよな なんで? いいかな 無限集合Aの 空集合を含まない べき集合P(A)-Φ(空集合を除いておく)で いま Aの濃度が可算であるとするして べき集合P(A)-Φ は非可算だ のように、無限の濃度ランクが一つアップする ことを 注意しておく さて、以前にも書いたが、 1)Aに 順序数の付番付け をするために、そのべき集合P(A)-Φの 順序数の付番付け が必要とする考えは 無限後退になるので まずい。(そのまた べき集合・・・となるから) 2)また、べき集合P(A)-Φに 順序数の付番付けができたとしよう そのままでは、>>667の Jech氏の意図した {A,A-{a1},A-{a2},・・・} の 順序数の付番付けにならない ∵ 例えば、Aが可算だとして べき集合P(A)-Φの 順序数の付番付けそのままでは 非可算レベルの順序数の付番付けが混じってしまう から 3)よって、"Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence >(aα: α < θ) that enumerates A. That we can do by induction, using a choice function f for the family S of all nonempty subsets of A." のJech氏の意図は、べき集合P(A)-Φの部分集合として {A,A-{a1},A-{a2},・・・} が、置換公理で取り出せるってことだね そして、a1、a2、・・・は、決して一意ではなく、as desired であることも注意しておく(>>631 en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem ご参照 ) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/674
675: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/27(月) 13:24:16.84 ID:CtxJncrm >>674 タイポ訂正 いま Aの濃度が可算であるとするして べき集合P(A)-Φ は非可算だ ↓ いま Aの濃度が可算であるとして べき集合P(A)-Φ は非可算だ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/675
684: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/27(月) 15:02:00.66 ID:CtxJncrm ”<公開処刑 続く> (『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか?』に向けて と (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてww ;p) rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” < あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない> >>676-683 >>682 ID:VZyTU7BUと >>681 ID:zED1d/2g とは、同一人物か そうすると、>>683 の ID:T6In1xa/ と合わせて、相手は ”例の”あほ二人かw ;p) さて 1)”P(A)-ΦはAの空でない部分集合全体からなる集合族だろ”で いま、問題は 関数の定義域だろ? つまり、選択公理の選択関数fの意義とは、fの定義域として 無限集合族が取れるってこと いま、簡単に 順序数で添え字された無限集合族 P0,P1,P2,・・,Pλ,・・があったとして (ここに 0,1,2,・・,λ,・・ ∈ON ) f:Pλ→pλ∈Pλ (pλ≠Φ :空集合ではない) とできる。つまり、なにか無限集合族から 各 必ず一つの要素を取り出す関数が、選択関数だ 順序数の添え字が 無制限ならば、フルパワー選択公理 順序数の添え字が 加算ならば、可算選択公理 両者の中間が、従属選択公理 2)一方、P(A)-Φから、その部分集合を作り出す 置換公理の関数は あくまで 定義域は ただ一つ P(A)-Φ のみ あとは、意味不明のたわごとだから 流すよ ww ;p) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/684
692: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/27(月) 18:28:08.37 ID:CtxJncrm >>685-691 ”<公開処刑 続く> (『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか?』に向けて と (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてww ;p) rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” < あほ二人は、選択公理−選択関数が 全く分かっていない> >だったら何も書くな ID:LSdHrjXv は、御大か 午後の巡回ご苦労様です 箱入り無数目スレで、いかにも自分たちが 選択公理−選択関数が分かっているかのように ほざくが その実、この<公開処刑>の通りw 選択公理−選択関数が、さっぱり分かってない やつらですw ;p) >> P(A)-Φから、その部分集合を作り出す 置換公理の関数 > 何勝手にJechが行ってないこと妄想してんだw まず、論点を整理しよう ・Jechの証明 >>667 を、是とするか あるいは否とするか? 立場をはっきりさせろ 否とするならば、どの点が 証明として問題なのか? そこをはっきりさせろ 証明として問題点が指摘できないならば、是にしかならんw ;p) ・補足すると、Jech氏のテキストの初版は1978年で おそらく、Jech氏自身も大学講義に使ったろう だから、疑問点や問題点は、それなりに指摘され、タイポなども 修正されているだろう ・次に、JechのTheorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)の 証明中の関数 ”We let for every α aα=f(A-{aξ:ξ<α}) if A-{aξ:ξ<α} is nonempty.” が分からない というので、>>667に私の見解を書いた ・で、この見解に不満ならば、てめえの見解を書いたらいいでしょw 自分の見解を書けないならば、黙ってな!! ってことよww ;p) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/692
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