ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
上下前次 1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

518: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/23(木) 07:33:01.69 ID:y/IThbaj

can は、mustではないｗ ；ｐ）
例えば、下記のスコットのトリック（下記）

そして、循環論法でないことは、”最初は グー”だから、すぐ分ることよ
”A∖{aξ∣ξ<α}”から初めて、この段階では選択関数 f は、使われていない
　A∖{aξ∣ξ<α}”が、最初の定義だよ”ってこと！■

実際の勝負のジャンケンで、グーでも 循環してないよｗｗｗ ；ｐ）
あたま 弱そうだなｗ

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%83%E3%83%88%E3%81%AE%E3%83%88%E3%83%AA%E3%83%83%E3%82%AF
スコットのトリック(英: Scott's trick)とは真クラス上の同値関係についての同値類の定義を、累積的階層のレベルを参照することによって与える方法である[1]。
この方法は選択公理でなく正則性公理に依存している。選択公理を仮定しないZFにおいて順序数の代表元を定義するのに用いることができる[2]。この方法は Dana Scott (1955) によって導入された。
順序数の代表元を集合として定義する問題を超えて、スコットのトリックは基数の代表元を得たり、もっと一般的な同型類（英語版）にも用いることができる。例えば、全順序集合の順序型はその一例である[1]。

en.wikipedia.org/wiki/Scott%27s_trick
Scott's trick
In set theory, Scott's trick is a method for giving a definition of equivalence classes for equivalence relations on a proper class (Jech 2003:65) by referring to levels of the cumulative hierarchy.

The method relies on the axiom of regularity but not on the axiom of choice. It can be used to define representatives for ordinal numbers in ZF, Zermelo–Fraenkel set theory without the axiom of choice (Forster 2003:182). The method was introduced by Dana Scott (1955).

Beyond the problem of defining set representatives for ordinal numbers, Scott's trick can be used to obtain representatives for cardinal numbers and more generally for isomorphism types, for example, order types of linearly ordered sets (Jech 2003:65). It is credited to be indispensable (even in the presence of the axiom of choice) when taking ultrapowers of proper classes in model theory. (Kanamori 1994:47)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/518

533: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/23(木) 13:43:30.28 ID:OWxAi42s

＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/

>>521 >>529-532
>選択公理から整列定理が導けるが、可算選択公理から”可算整列定理”が導けるなんて誰もいってない

ふっふ、ほっほ
さあ、徹底的にやろうな！！ｗｗｗ ；ｐ）
そこは>>480 に整理したよ。百回音読してね

>>480より
”可算選択公理(可算無限ωに制限) ←→ 可算整列可能定理 (列長さ 可算無限ωに制限) *)
　*) 逆 ←は、可算和定理を認めた上で、選択公理の集合族について、各集合を可算に制限することとする
　そうすると、可算和定理より 可算の集合の 可算個の族は可算になる”
ってことだね

下記の(参考)を使って 状況を整理しよう
１）従属選択公理：『従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[4][5]
従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる。認める長さを際限なくした場合、それは完全な選択公理と同値になる』
２）可算選択公理：『ZF に ACωを付け加えた公理系では、可算集合の可算和が可算であること 略 が証明できる』
３）独語（google英訳）Countable Axiom of Choice：”if the association ∪A well-ordered , because then the smallest element in terms of well-ordering can be taken from any set”
　（補足：the association ∪A が、可算で収まれば、これを 可算整列させて 各Aからその最小元への選択関数が定義できる）
４）Axiom of choice Weaker forms：”Given an ordinal parameter α ≥ ω+2 — for every set S with rank less than α, S is well-orderable. Given an ordinal parameter α ≥ 1 — for every set S with Hartogs number less than ωα, S is well-orderable. As the ordinal parameter is increased, these approximate the full axiom of choice more and more closely.”
　つまり、”As the ordinal parameter is increased, these approximate the full axiom of choice more and more closely.”
　これを、百回音読して 噛みしめましょう！！ｗｗｗ ；ｐ）

以上より
Axiom of choice で、well-orderable な 列長さ（順序数）で、各種選択公理のパワーが決まる！！■
（逆の well-orderable な 列長さ（順序数）→ 弱い選択公理 の証明には、付加条件が必要 >>480 ご参照）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/533

534: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/23(木) 13:43:59.70 ID:OWxAi42s

つづき

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理
このような公理が無いとしても、各 n について普通の帰納法によって最初の n 項を有限列としてとることはできる。
従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということである。
公理 DC は AC の断片であって、超限帰納法の各ステップで選択をする必要があって、それまでの選択に独立した選択ができない場合に、可算長の列を構成するのに必要である。
DCはツォルンの補題の弱い形と同値である; 具体的には
DC は全ての整列された鎖が有限で有界であるような半順序は必ず極大元を持つという命題と同値である。[3]

他の公理との関連
完全な AC と違って、DC は(ZF の下で) 実数の不可測集合やベールの性質を持たない集合や perfect set property を持たない集合の存在を証明するのに不十分である。
これはソロヴェイモデルにおいては ZF+DC が成り立ちながら実数の集合が全てルベーグ可測でベールの性質を持ち perfect set property を持つからである。
従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[4][5]
従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる。認める長さを際限なくした場合、それは完全な選択公理と同値になる。

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
可算選択公理
空でない集合からなる可算な集合族があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるという公理である。
ACωとも表記される。名前の通り、選択公理を可算集合族に限定したものになっている。
応用
ZF に ACωを付け加えた公理系では、可算集合の可算和が可算であることや、
任意の無限集合がデデキント無限であることなどが証明できる[1]。
実数論においては選択公理ではなく可算選択公理で事足りる場合が多い[1]。例えばすべての集積点
xがある数列の極限点であること、すなわち
「xが実数Rの部分集合Sの集積点ならば、
xに収束する数列S∖{x}が存在する」
という命題を証明したい場合には(フルパワーのACでなく)ACωを用いれば十分である。
また、距離空間論において、可分距離空間の任意の部分集合が可分であることを示す際にも用いられる

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/534

上下前次 1-新書関写板覧索設栞歴

あと 468 ﾚｽあります
ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.013s