[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 (1002ﾚｽ)
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64(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/25(日)23:47 ID:4mPovfMa(5/5) AAS
>>62
> ま、頑張って
なんだよｗ
それは、おれのセリフだよｗｗ
>>63
>＞広い意味で
> 勝手に広げちゃダメだよ
良いんだよ
私的な試行錯誤のときはｗ
自由に考えて良いんだ
それが出来ないやつは、落ちこぼれる
但し、院試では正規の用語を使うべし
院試は、独創性のような採点不可能な能力を見るのでは無く
ちゃんと学部の勉強が出来ているかを見るためのもの
正規の用語は、その採点の一部ですから
それで、クンマー理論・クンマー拡大のベースの体の話に戻ると
元の体は、有理数体Qであっても
べき根を取る a^1/n で、aの属する体はQを拡大した体になるべし
具体例は、下記の”11乗して1になる数を求める円分多項式”にある
（但し、下記の C0^5 ∈ Q(√-11)→C0^5 ∈ Q(√-11,σ) σは1の5乗根 だろうね、C0はラグランジュ・リゾルベントを使っているから）
（ラグランジュ・リゾルベントの利点は、巧まずして、例えばσ1の5乗根を導入するところにあるんだよね。フーリエじゃないよ、ラグランジュ！ｗ）
(参考)
外部ﾘﾝｸ:ror.hj.to
元祖ワシ的日記
眠れない夜に円分多項式 （一応その３）2008年05月28日
11乗して1になる数を求める円分多項式
F11(x) = x^10 + x^9 + x^8 + ... + x + 1 = 0
の根は10次の方程式ながら解けてしまうのです。
ガロア理論では5次以上の方程式に解の公式がないこともまた証明されているので、このような次数の高い方程式が解けてしまうのはまた実にフシギだなぁと思うわけです。
ちなみに解ける理由を一言でいうと、F11のガロア群、すなわち1の11乗根はZ/10Zに同型だから累乗根を数回繰り返すことで解ける。ということになりますがチンプンカンプンですね。
しかも、多くの数学の本では具体的な解き方というのが明かされていないのです。ということで具体的にこの方程式を解いてみる。というのがこのシリーズの主題です。前回はF7(x)を解きました。今回は7の次の素数である11にチャレンジです。
C0 = ξ + σξ^4 + σ^2ξ^5 + σ^3ξ^9 + σ^4ξ^3
σは1の5乗根でσ^5 = 1
C0^5 ∈ Q(√-11)
(引用終り)
以上
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