[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 (1002ﾚｽ)
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106: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/29(木)21:33 ID:672StsPz(6/7) AAS
>>104 いえるのはそれだけですか なさけないねぇ
107(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/29(木)22:08 ID:Dt/DNUrE(5/6) AAS
>>103
> β1、β2、β3、β4は、全部絶対値√11の複素数であり
> β1とβ4、β2とβ3は、互いに共役である
それ、クンマー理論との関係で、1の5乗根との対応つかない？
つまり、複素数を極形式 re^iθ で表したとき
θ＝72°、144°、216°、288°
のどれかに
なってないかな？
108(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/29(木)22:18 ID:672StsPz(7/7) AAS
>>107
自分で根からラグランジュ分解式の値を求めて確かめてみたら？
まあ、そんな単純なことなら誰も苦労しませんよ
ということで
下手な考え 休むに似たり
109: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/29(木)23:08 ID:Dt/DNUrE(6/6) AAS
>>108
ああ、やってみるよ
ありがとうね
110(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)08:37 ID:bjNnsn/s(1/21) AAS
さて、そろそろ投下するか
n=1 X-1
ζ1=1
n=2 X^2-1=(X-1)(X+1)
ζ2=-1
n=3 X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)
X^2+X+1=(X-ζ3)(X-ζ3^2)
ラグランジュ分解式
ζ3+ζ3^2 ?
ζ3-ζ3^2 ?
省11
111(4): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)08:48 ID:bjNnsn/s(2/21) AAS
n=4 X^4-1=(X-1)(X+1)(X^2+1)
X=(-1)^(1/2)
n=5 X^5-1=(X-1)(X^4+X^3+X^2+X+1)
ラグランジュ分解式
ζ5+ ζ5^2+ζ5^4+ ζ5^3 ?
ζ5+iζ5^2-ζ5^4-iζ5^3 ?
ζ5- ζ5^2+ζ5^4- ζ5^3 ?
ζ5-iζ5^2-ζ5^4+iζ5^3 ?
?=-1
?^2
省10
112(3): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)08:49 ID:bjNnsn/s(3/21) AAS
>>111を踏まえて
?^2
=(ζ5+iζ5^2-ζ5^4-iζ5^3)^2
=((ζ5-ζ5^4)+i(ζ5^2-ζ5^3))^2
=((ζ5-ζ5^4)^2-(ζ5^2-ζ5^3)^2+2i(ζ5-ζ5^4)(ζ5^2-ζ5^3))
=((ζ5^2+ζ5^3-2)-(ζ5^4+ζ5-2)+2i(ζ5^3-ζ5-ζ5^4+ζ5^2))
=((-1-2i)√5)
?^2
=(ζ5-iζ5^2-ζ5^4+iζ5^3)^2
=((ζ5-ζ5^4)-i(ζ5^2-ζ5^3))^2
省22
113(2): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)08:50 ID:bjNnsn/s(4/21) AAS
>>112 したがって
ζ5
=1/4(?+?+?+?)
=(-1+√5)/4+i√(10+2√5)/4
ζ5^4
=1/4(?+?-?-?)
=(-1+√5)/4-i√(10+2√5)/4
ζ5^2
=1/4(?-?+i?-i?)
=(-1-√5)/4+i√(10-2√5)/4
省3
114(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)08:53 ID:bjNnsn/s(5/21) AAS
>>110-113
ま、この程度は高校生どころか
中学生でもできるだろう
所詮二次方程式だからね
1ことSET Aクンにはできるかな？
もちろん これで終わりではない
続きがあるのだよ 乞うご期待
115: 2022/12/30(金)09:08 ID:ObhvbfaG(1/3) AAS
√2=ζ_8+ζ_8^{-1}
116(3): 2022/12/30(金)09:12 ID:OGmV5zzW(1/6) AAS
ラグランジュ分解式=指標和(character sum)であることが説明されてない本は素人本だね。
わたしは大学の頃自分で気づいたが、後で見たらラングだったかの本にはちゃんと書いてあった。
117(1): 2022/12/30(金)09:13 ID:OGmV5zzW(2/6) AAS
大学の頃図書館にあって参照していて、もう一度見たいと思って
アマゾンで見たら絶版になってプレミアまで付いていた本が
オンデマンドで復刊されている...。高いわｗ
岩波基礎数学選書 体とガロア理論
藤?ｱ源二郎 | 2020/12/10
オンデマンド (ペーパーバック)
￥8,580
Wikipedia含めてwebに必要な情報はある程度落ちている時代に
手元に置いておく価値があるかは微妙。
118: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)09:16 ID:bjNnsn/s(6/21) AAS
>>116
そこは、そもそも指標とは何なのか、から、来年頑張らせてもらうｗ
年末はとりあえず 「ラグランジュであそぼ」
119(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)09:21 ID:bjNnsn/s(7/21) AAS
>>116-117
大学の頃は、整数論は「敬して遠ざける」態度だったが
実にもったいないことをした
専門とするか否かはともかくとして、円分多項式は実に面白い
三角関数が分かってるなら、なんとかなるだろう（理屈はともかく）
120(2): 2022/12/30(金)09:34 ID:OGmV5zzW(3/6) AAS
円分体の場合は、ラグランジュ分解式の計算は全てガウス和の計算に帰する。
そして、ガウス和の積に関してJacobi和との間にある関係式が成立する
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ので、結局「べき根の中身」の計算はJacobi和から計算される。
χをk次の指標とすると
G(χ)^k=χ(-1)pΠ_{j=1}^{k-2}J(χ,χ^j)∈Q(exp(2πi/k).
121: 2022/12/30(金)09:45 ID:OGmV5zzW(4/6) AAS
>>119
円分体は特別な体で、様々な理論（類体論、岩澤理論等）
の雛型にもなった重要な体。ガウスが"Disquisitiones Arithmeticae"
の第7章で扱った歴史的な意味もある。「目の付け所」はいいと思う。
122: 2022/12/30(金)09:56 ID:OGmV5zzW(5/6) AAS
志村五郎が「数学のあゆみ」だったか、大昔の冊子に書いていたと思うが
「合同関係式」の最も簡単な場合が三角函数の場合。
具体的にはpを奇素数とするとき
sin(px)≡(-1)^{(p-1)/2}sin(x)^p (mod p)
が成立する。意味は
左辺はsin(x)の整数係数多項式であらわされるが
その多項式としての合同関係を言う。
これを使って、平方剰余の相互法則が得られる。
函数の世界にこんな秘密が隠されていることが
垣間見れるのも数論の魅力。
123(2): 2022/12/30(金)09:59 ID:OGmV5zzW(6/6) AAS
ガロア理論の本が山ほど出ているが
正直「志」が低いというか、19世紀数学の気韻には
遠く及ばない。
124(1): 2022/12/30(金)10:26 ID:ObhvbfaG(2/3) AAS
>>123
ではガロア理論をめぐる話をまとめて
数学の現況に迫り
将来の展望を夢見ることができるような本を
出版計画に加えることにしましょう
125(1): 2022/12/30(金)10:43 ID:JCUkh7Yn(1) AAS
抽象化による一般論は、個別の個性を切り捨てて成立するもの。
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