[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね 470 (1002ﾚｽ)
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60: 2022/01/02(日)13:34 ID:YP7Of53M(1) AAS
わからないんですね
61(1): 2022/01/02(日)13:56 ID:VJAPunju(3/14) AAS
(1) n 次実対称行列 A は、直交対角化可能です。
(2) n 次実正方行列 A は、固有ベクトルのみからなる基底が存在するとき、対角化可能です。
L_A は、(1)の場合が一番分かりやすいです。
L_A は、(2)の場合も分かりやすいです。
(1), (2)以外の場合、 L_A はどんな写像になるんですか？
62: 2022/01/02(日)13:58 ID:VJAPunju(4/14) AAS
n = 2 として、 A が回転行列である場合には、(1)でも(2)でもありませんが、 L_A は分かりやすいです。
63: 2022/01/02(日)14:01 ID:VJAPunju(5/14) AAS
(1)でも(2)でもない場合に、 A を分かりやすい行列に分解することはできますか？
64(1): 【小吉】 2022/01/02(日)15:26 ID:BBcGQXha(1) AAS
前>>27
>>32
y=x^3-x
y'=3x^2-1=1
x=√2/√3=√6/3
y=6√6/27-√6/3=(2-3)√6/9=-√6/9
∴P(√6/3,-√6/9)
65: 2022/01/02(日)17:21 ID:/NpXhhXK(1) AAS
>>54
立体の形状は簡単につかめるでしょ
だから体積も簡単に出るでしょ
和をとって極限もいけるでしょ
はい出来た、この通りにやってね
66(3): 2022/01/02(日)19:50 ID:VJAPunju(6/14) AAS
A を n 次複素正方行列とする。
A の異なる固有値に対する固有空間が直交するならば、 A は正規行列であることを証明せよ。
67(3): 2022/01/02(日)20:00 ID:VJAPunju(7/14) AAS
A の異なる固有値を α_1, …, α_k とする。
α_1 に対する固有空間を V_{α_1}
…
α_k に対する固有空間を V_{α_k}
とする。
V_{α_1} の正規直交基底、…、V_{α_k} の正規直交基底をすべて並べたものは、正規直交系をなす。
この正規直交系が基底になることはどうやって示すのでしょうか？
68: 2022/01/02(日)20:09 ID:VJAPunju(8/14) AAS
佐武一郎著『線型代数学』
特異値についても一応、例として書いてあるんですね。
69: 2022/01/02(日)20:11 ID:VJAPunju(9/14) AAS
>>67
なんか成り立たない反例がありそうな気がします。
反例をお願いします。
70: 2022/01/02(日)20:13 ID:12jVebBj(1) AAS
固有空間は元の空間を分割しますから当然かと思います
71: 2022/01/02(日)21:12 ID:VJAPunju(10/14) AAS
>>67
V_{α_1} + … + V_{α_k} ⊃ C^n が成り立たない例があるような気がします。
V_{α_1} + … + V_{α_k} ⊃ C^n が成り立たない例を教えて下さい。
72: 2022/01/02(日)21:17 ID:VJAPunju(11/14) AAS
佐武一郎著『線型代数学（新装版）』を調べました。
やはり、
>>67
は成り立たないのではないかと思います。
p.175
定理7
複素正方行列 A がユニタリー行列によって対角化できるためには、 A が正規行列であることが必要十分である。
A がユニタリー行列によって対角化されるためには、明らかに、 A の相異なる固有値に対する固有空間が互に直交し、かつ V がそれらの
直和になることが必要十分である。
73(1): 2022/01/02(日)21:18 ID:VJAPunju(12/14) AAS
訂正します：
佐武一郎著『線型代数学（新装版）』を調べました。
やはり、
>>66
は成り立たないのではないかと思います。
p.175
定理7
複素正方行列 A がユニタリー行列によって対角化できるためには、 A が正規行列であることが必要十分である。
省2
74: 2022/01/02(日)21:19 ID:VJAPunju(13/14) AAS
>>73
わざわざ、「かつ V がそれらの直和になることが」と書いてあるので、この条件は省けないのではないでしょうか？
>>66
が成り立たない例をお願いします。
75(1): 2022/01/02(日)21:42 ID:VJAPunju(14/14) AAS
>>61
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
求めていた答えを見つけました。
76: 【大吉】 2022/01/03(月)00:02 ID:TlyTpMFR(1) AAS
前>>64
>>32(別解)
A(1,0),B(0,1),P(p,p^3-p)
加法定理よりcos(∠OPA+∠OPB)=cos∠OPAcos∠OPB-sin∠OPAsin∠OPB
=(→OP・→AP)(→OP・→BP)/(OP・AP)(OP・BP)-sin∠OPAsin∠OPB
=｛p(p-1)+(p^3-p)^2｝｛p^2+(p^3-p)^2-(p^3-p)｝/｛p^2+(p^3-p)^2｝√｛(p-1)^2+(p^3-p)^2｝√｛p^2+(p^3-p-1)^2｝-√1-｛p(p-1)+p^2(p^2-1)^2｝^2/｛p^2+(p^3-p)^2｝｛(p-1)^2+(p^3-p)^2｝√1-｛p(p-1)+(p^3-p)^2｝｛p^2+(p^3-p)^2-(p^3-p)｝/｛p^2+(p^3-p)^2｝｛p^2+(p^3-p-1)^2
これを微分して=0を与えるpがこれを最小にして∠OPA+∠OPBを最大にするんじゃないか？
77: 2022/01/03(月)02:12 ID:a6/1CByL(1/5) AAS
>>66
A := {{1, 1, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 0}}
とすると
A は正規行列ではありません。
そして、 A の異なる固有値に対する固有空間は直交します。
省3
78(3): 2022/01/03(月)09:55 ID:MvPkQRfA(1/2) AAS
a,b,cを実数の定数とする。
（1）|ax^2+bx+c|≦1を満たす実数xが存在するために、a,b,cが満たすべき必要十分条件を求めよ。
（2）実数xが動くとき、|cx^2+bx+a|の最小値をm(a,b,c)とおく。a,b,cが（1）の条件を満たしながら動くとき,m(a,b,c)の最小値を求めよ。
79(2): 2022/01/03(月)10:02 ID:a6/1CByL(2/5) AAS
>>75
任意の n 次実正方行列 A が A = Q * S と直交行列と対称行列の積に一意的に分解されるってすごい定理じゃないですか？
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