[過去ﾛｸﾞ] ０は自然数か？ [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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594: 2018/05/13(日)15:20 ID:r7KSqVuU(1/8) AAS
＞思ったんだけどペアノシステムって(先頭,後者)の組だけで十分じゃない？
集合論では「後者」は後者関数という写像として定義するのだから、
その写像の定義域すなわち台集合をセットで指定しなければ定義にならない。
別の言い方をすれば、台集合を使わずに「後者」の概念を定義する場合、
写像ではない何らかの形で「後者」を定義しなければならない。
＞5を満たす集合はこの組から一意に定まるしこっちの方がしっくりくると思う
台集合を使わずに「後者」の概念を定義する場合、写像ではない何らかの形で
「後者」を定義しなければならない。そのような新しい定義のもとでは、
1〜5に相当する新しい公理が必要である。また、1〜4に相当する公理だけが
満たされているのでは全くペアノの公理系として機能せず、結局は5に対応する公理まで必要になる。
省2
595: 2018/05/13(日)15:28 ID:r7KSqVuU(2/8) AAS
＞言っちゃえば (1, ÷2) だってペアノシステムだよね。
論理が滅茶苦茶。台集合を使わずにペアノシステムに相当する概念を
定義しようとする君が、その具体的な定義を与えずに台集合なしの対象を持ってきて
「言っちゃえばこれもペアノシステムだ」
と言ったところで1ミリも意味をなさない。まずは
「台集合を使わないペアノシステム」
省1
599: 2018/05/13(日)19:51 ID:r7KSqVuU(3/8) AAS
>>596
＞>592 で示したいのはペアノシステムが２つ組で十分って事で
台集合がない「2つ組」だけで どうやってペアノシステムを定義するのかと聞いているのだが？
なんで具体的に定義しないの？
>>597
＞{ 2^-n(nは自然数) }, 1, ÷2 )
＞この組がペアノシステムであるっていうのならokなの？
それはオーケー。台集合が { 2^-n(nは自然数) }, 先頭が 1, 後者関数が "÷2" の
ペアノシステムになっている。
600(1): 2018/05/13(日)20:06 ID:r7KSqVuU(4/8) AAS
>>598
＞a = b ⇒ f(a) = f(b)
＞写像の定義ってこれだけじゃダメなんかね？
ぜんぜん定義になってない。それで何を定義したつもりになっているのだ。
「ペアノシステム」についてはキチンと定義込みで調べているくせに、
「写像」については全く調べることをせずに自己流のトンデモ解釈で
写像を定義しようとする体たらく。やっていることの順番が滅茶苦茶。
A,Bを集合とする。A×B の部分集合 f ⊂ A×B が
・ ∀a∈A, ∃b∈B [ (a,b)∈f ],
・ ∀a∈A, ∀b_1,b_2∈B [ (a,b_1),(a,b_2)∈f ⇒ b_1＝b_2 ]
省5
601: 2018/05/13(日)20:19 ID:r7KSqVuU(5/8) AAS
>>596
＞>592 で主張したい事と >593 で主張したい事は全く別物なんだ。
＞分かりにくくてスマン。
>593の後半部分は>592と違うことを言っているが、
>593の前半部分は明らかに>592の続きである。
>592では、「ペアノシステムは2つ組だけで十分」という内容が主張されている。
続く>593の前半部分では、「その具体例として(1,÷2)が考えられる」と言っている。
なぜなら、>>593の1行目は
＞言っちゃえば (1, ÷2) だってペアノシステムだよね。
であり、文脈上は明らかに >592 の続きとして >593 が書かれており、
省5
604: 2018/05/13(日)21:42 ID:r7KSqVuU(6/8) AAS
>>603
＞少なくとも「一意的に定まる」という意味の定義はこれでいいんじゃないの？
a,b は何を指すのか？その a,b に対して 「f(a)」「f(b)」という記号列は何を指すのか？
これらを指定しなければ何も定義してないのと同じ。
そして、きちんと指定し出すと、結局は>>600になってしまう。
＞それを写像と同じ意味だと俺は解釈してたって事だけど。
間違った解釈なので今すぐに改めましょう。
＞教科書にもそう書いてあったし教授もそう言ってたしそう解説してるサイトもあったからそこは流儀によるんじゃない？
省8
606: 2018/05/13(日)21:48 ID:r7KSqVuU(7/8) AAS
>>602
問題点1： (s f) や (s (s f)) といった対象を集合論の中でどのように定義するつもりなのか？
問題点2： {f, (s f), ((s (s f)), ... } という表現における「…」には大きなゴマカシが入り込んでいる。
単に「…」と書いただけでは、「超限回」の繰り返しが許されているのと論理的に区別がつかず、
それではペアノシステムにならない。君は {f, (s f), ((s (s f)), ... } と書くことで、いわゆる
(s(s(s 〜 (s(s(s (s f)))) 〜 ) ) ) (s は有限個しか登場しない)
に相当する対象のみを集めた集合を表現したつもりでいるのだろうが、
単に {f, (s f), ((s (s f)), ... } と書いただけでは
(s(s(s 〜 (s(s(s (s f)))) 〜 ) ) ) (s は "超限個" 登場する)
省2
608(2): 2018/05/13(日)23:43 ID:r7KSqVuU(8/8) AAS
>>607
＞今回みたいにペアノシステムを２つ組で定義できたら正誤は置いといて綺麗な定義だと思うんだけどどう？
＞だって直感的には先頭が1で後者が÷2だと台集合になりそうなのは一つに定まりそうだし。
より少ない記述で済むならそちらの方が綺麗であるのは当然であり、正誤は置いておいて そのこと自体は賛成する。
そして、君がやろうとしている「2つ組」の感覚が分かってきた。しかし、結局は「問題2」により破綻する。
大雑把に言って、既存のペアノの公理系では、1〜4が「先頭」及び「後者」に関する素朴な性質を述べていると考えられる。
そして、5 では「台集合」に関する性質を述べていると考えられる。1〜4から5は証明できないので、
結局、「2つ組」の素朴な性質のみを考える限り、台集合に関する性質は記述できそうにないと予想され、
ペアノの公理系の代替物は得られないことになる。また、「2つ組」から台集合の性質を無理して述べようとしても、
結局はペアノの公理系と変わらないシロモノが出来上がると予想される。つまり、君が察している障害そのものに出くわす。
省10
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