[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね433 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)

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905: １３２人目の素数さん [sage] 2017/09/10(日) 08:49:27.24 ID:Z+PSAn+R >>892 ＞Σ[k=0,n](k*C(n,k)^2) ＞=n*Σ[k=1,n](C(n-1,k-1)*C(n,k)) から出発する。C(n,k)=C(n,n-k) だから、Σ[k=1,n] C(n-1,k-1)*C(n,n-k) について 考えればよい。 ( Σ[k=1,n] C(n-1,k-1)x^{k-1} ) * (Σ[k=1,n] C(n,n-k)x^{n-k} ) を展開したときの x^{n-1} の係数は Σ[k=1,n] C(n-1,k-1)*C(n,n-k) である。一方で、 ( Σ[k=1,n] C(n-1,k-1)x^{k-1} ) * (Σ[k=1,n] C(n,n-k)x^{n-k} ) ＝(1＋x)^{n-1} * ((1＋x)^n−x^n)＝(1＋x)^{2n-1}−x^n(1＋x)^{n-1} だから、x^{n-1} の係数は C(2n-1,n-1) である。よって、 Σ[k=1,n] C(n-1,k-1)*C(n,n-k)＝C(2n-1,n-1) となるので、求める答えは n*C(2n-1,n-1) となる。 C(2n,n)＝2C(2n-1,n-1) を使えば、求める答えは n*C(2n,n)/2 とも表せる、 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1504362539/905

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