[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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936(3): 2017/09/08(金)14:38 ID:Xvh/PpT+(4/4) AAS
>>930 >>934

〔補題〕
0<a≦b,　0<c≦d のとき
a^c + b^d ≧ a^d + b^c,

(略証)
m =（c+d)/2，h=（d-c)/2 > 0 とおく。
題意より、0 < a^m < b^m，0 < a^h < b^h,
よって
a^c - a^d - b^c + b^d
= a^(m-h）- a^(m+h）- b^(m-h）+ b^(m+h)
省4

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938: 2017/09/08(金)14:48 ID:iwl1FmH8(5/10) AAS
>>936
ｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!

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942: 2017/09/08(金)22:02 ID:iwl1FmH8(9/10) AAS
>>936と、第２章 466-467 より、
a, b >0 に対して、a^a + b^b ≧ a^b + b^a >1

第３章 109-111 より、
a, b, c >0 に対して、a^b + b^c + c^a >1

[疑問]
次式は成り立ちそうだけど、証明が分かりませぬ。
a^a + b^b + c^c ≧ a^b + b^c + c^a

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944: 2017/09/09(土)00:56 ID:fG3xA4Le(1/2) AAS
>>936
簡単ぢゃなかった......orz
0<a,b≦1 のときは？だった。

凡例　0<a<1/3，b=2a，c=1, d=2，（c/a = d/b ≧3）

大風呂敷　広げすぎたけど、 c/a = d/b ≦ e に限れば成り立つかも。

懲りずに作るでござる。

〔補題〕
0<a,b，0≦k≦e のとき
　a^(ka）+ b^(kb）≧ a^(kb）+ b^(ka),
省2

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