[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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1(3): 不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ) 2017/06/25(日)17:20 ID:dLSgUfzK(1/9) AAS
AA省
2(9): 2017/06/25(日)17:21 ID:dLSgUfzK(2/9) AAS
不等式の和書
[1] 不等式（数学クラシックス11），ハーディ・リトルウッド・ポリヤ，シュプリンガー，2003年
外部ﾘﾝｸ:amazon.jp
[2] 不等式（数学選書），大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
[3] 不等式への招待（数学ゼミナール６），大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年
外部ﾘﾝｸ:amazon.jp
[4] 不等式入門（数学のかんどころシリーズ９），大関清太，共立出版，2012年
外部ﾘﾝｸ:www.kyoritsu-pub.co.jp
[5] 不等式入門（数学ライブラリー教養篇４），渡部隆一，森北出版，2005年
外部ﾘﾝｸ:amazon.jp
省10
26(4): 2017/06/28(水)11:25 ID:GT7HZs9l(1) AAS
Σ(a_i)^2≧(1/n)(Σ(a_i))^2
和は１からｎまで
a_iは実数です
これって成り立ちますかね？
a^2+b^2≧(1/2)(a+b)^2
a^2+b^2+c^2≧(1/3)(a+b+c)^2
みたいな感じです
成り立つならその証明を、成り立たないなら反例をおしえてほしいです
47(6): 2017/06/30(金)18:19 ID:g/dkToLH(1/2) AAS
>>42
左辺が ｐｐ+ｐｑ+ｑｑ の形になるのは、アイゼンシュタイン整数Ｚ[ω］のノルムみたいなもの？
ナゴヤ△と関係あるの賀茂鴨
48(4): 2017/06/30(金)18:39 ID:g/dkToLH(2/2) AAS
>>47
z1 = a - cω,
z2 = d - bω （a〜d∈Ｚ）
をアイゼンシュタイン整数とすると、
z1･z2 = (ad-bc) - (ab+bc+cd)ω,
49(3): 2017/07/04(火)01:40 ID:Wi3Yphfr(1) AAS
>>47
ナゴヤ△ ＝ ノルムが平方数であるアイゼンシュタイン整数
69(9): 2017/07/13(木)05:10 ID:aYclV8OY(6/9) AAS
(1)
正の数 a,b,c に対して、
(a+b+c)^5 ≧ 27(ab+bc+ca)(ab^2 + bc^2 +ca^2)
(2)
ab+bc+ca=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、
a+b+c ≧ abc+1
(3)
a+b+c=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、
(a^2 + bc^4)(b^2 + ca^4)(c^2 + ab^4) ≦ 64
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
省16
70(4): 2017/07/13(木)05:12 ID:aYclV8OY(7/9) AAS
>>69の訂正
(2)
ab+bc+ca=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、
a+b+c ≧ abc+2
71(3): 2017/07/13(木)07:03 ID:aYclV8OY(8/9) AAS
(4)
正の数 a,b,c に対して、
{(b+c)/a}^3 + {(c+a)/b}^3 + {(a+b)/c}^3 ≧ 24
72(4): 2017/07/13(木)10:54 ID:aYclV8OY(9/9) AAS
B.3989
外部ﾘﾝｸ[cgi]:www.komal.hu
a, b, c are positive numbers, such that a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4. Prove that a+b+c<3.
A.422、B3987 にも不等式があるね。
77(6): 2017/07/14(金)02:41 ID:5qutPAyo(1) AAS
>>72
蒐集癖に火がついたでござる ( ﾟ∀ﾟ) ﾊｧﾊｧ…
以下、a, b, c は a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 をみたす正の実数とする。←非負実数でいいよね？多分…
(1) a+b+c ≧ ab+bc+ca
(2) abc+2 ≧ ab+bc+ca ≧ abc
(3) a+b+c<3
(4) (2+a)(2+b)(2+c) ≧27abc
(5) sqrt{(2-a)/(2+a)} + sqrt{(2-b)/(2+b)} + sqrt{(2-c)/(2+c)} ≧ 3
(5)は、リンク先を見ると
sqrt{(2-a)/(2+a)} + sqrt{(2-b)/(2+b)} + sqrt{(2-c)/(2+c)} ≧ 3sqrt{3} ≧ sqrt(4-a^2) + sqrt(4-b^2) + sqrt(4-b^2)
省7
167(3): 2017/07/19(水)08:58 ID:OXFuyCoZ(2/5) AAS
>>69 (1)
>>163
0 ≦ a ≦ b, c としてよい。
この場合は基本対称式よりも b+c-2a = x の方がいいんぢゃね？
(左辺）=（a+b+c)^5 =（3a+x)^5
= 243a^5 + 405a^4x + 270aaaxx + 90aaxxx + 15ax^4 + x^5,
ab+bc+ca = 3aa + 2a(b+c-2a）+（b-a)(c-a）≦ 3aa + 2ax +（1/4)xx,
abb+bcc+caa = 3aaa+3aa(b+c-2a)+a(b+c-2a)^2+(b-a)(c-a)^2 ≦ 3aaa+3aax+axx+(4/27)xxx,
(右辺)=27(ab+bc+ca)(abb+bcc+caa)≦243a^5+405a^4x+(1053/4)aaaxx+(345/4)aaxxx+(59/4)ax^4+x^5,
(左辺）-（右辺）≧ a(27aa+15ax+xx)xx/4 ≧ 0,
184(4): 2017/07/20(木)17:09 ID:27eqirM3(1/6) AAS
>>167-168
難しいです…。 検索して別のを見つけたが、bを中央の項としたとき、
なぜ 4(a^2+ac+c^2)(ab+bc+ca) ≦ (a+c)^2*(a+b+c)^2 となるのか分かりませぬ。
外部ﾘﾝｸ:artofproblemsolving.com
さらに強い不等式が載っている。
a,b,c>0 のとき、108(a+b+c)^5 ≧ (ab+bc+ca)(3125(a^2b+b^2c+c^2a)-627abc)
>>171
n=6の式変形が神。
分かってて変形しないと出来そうにない。
225(4): 2017/07/21(金)07:34 ID:aIensghT(2/4) AAS
>>184 >>202
3a=A、b-a=y、c-a=z とおく。（x=y+z)
a+b+c = A+x,
ab+bc+ca =（AA +2Ax +3yz)/3,
abc = (AAA +3AAx +9Ayz)/27,
aab+bbc+cca = (AAA +3AAx +3Axx +9yyz)/9,
(a+b+c)^5 = (A+x)^5 = A^5 + 5A^4･x + 10AAAxx + 10AAxxx + 5Ax^4 + x^5,
27(ab+bc+ca)(abb+bcc+caa) = A^5 + 5A^4･x + AAA(9xx+3yz) + AA(6xxx+9xyz+9yyz) + A(9x+18y)xyz + 27yyyzz,
省2
261(5): 2017/07/27(木)23:44 ID:1T4+Oazx(1) AAS
〔問題1.96改〕
x, y, z ≧ 0 のとき
x^3 + y^3 + z^3 -3xyz ≧ 4|(x-y)(y-z)(z-x)|,
ルーマニアMO-2007（改）
［9］ 佐藤、演習問題1.96（改） >>2
-------------------------------
（略証）
yはxとzの中間にあるとする。
（x-y)(y-z）≧0,
xx+yy+zz-xy-yz-zx =（x-y)^2 +（x-y)(y-z）+（y-z)^2,
省5
381(3): 2017/08/05(土)09:23 ID:Ulw6Zmyj(3/6) AAS
>>375
(1) a≧b≧cとする。
|ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)|
＝ |(a-b)(b-c)(c-a)|
≦ {(|a-b|+|b-c|+|c-a)|)/3}^3
＝ (8/27)*(a-c)^3
(a+b+c)^3 - (a-c)^3 = (b+c)(3a^2+3ab+b^2+bc+c^2) > 0
388(11): 2017/08/05(土)19:20 ID:Ulw6Zmyj(6/6) AAS
>>2 [10] 思考力を鍛える不等式（大学への数学・別冊）、栗田哲也、東京出版、2014年 より
(1) [10] P.28
a>b>c>0 に対して、(a-b)sqrt(x+c) + (b-c)sqrt(x+a) + (c-a)sqrt(x+b) < 0
a,b,cの大小関係いらないんじゃ？
(2) [2006 山形大(医)] [10] P.77
三角形の辺長 a,b,c に対して、(2+a^2)(2+b^2) > 2c^2
⇒ (2+a^2)(2+b^2) ≧ 2(a+b)^2 > 2c^2
省24
389(5): 2017/08/05(土)22:22 ID:BdLSvd9B(1/2) AAS
別にこのスレの参加者ではないが
面白い問題を見つけたので
平面上にA(p,q),B(r,s),C(t,u)とD(v,w)があるとき
(Dが△ABCの内部および周上)
⇔ ∃k, ∀(x,y)>0 (x^v)(y^w)≦k((x^p)(y^q)+(x^r)(y^s)+(x^t)(y^u)
出典：近大数コン2009-A4
414(4): 2017/08/07(月)14:18 ID:8+FZkWXB(1) AAS
[不等式スレ 第７章 984] 出典 「平成24年 第1回 東大入試プレ(文科)」
> 実数 a,b,c,d が a+b+c+d=0, a^2+b^2+c^2+d^2=100 をみたすとき、
> a^3+b^3+c^3+d^3 のとりうる値の範囲を求めよ。
> （-1000/√3, 1000/√3）に一票
エレガントな解法か、エロイ解法あるかな？
449(11): 2017/08/09(水)17:01 ID:A2I5YGTu(4/10) AAS
AA省
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