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不等式への招待 第8章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002レス)
不等式への招待 第8章 [無断転載禁止]©2ch.net http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/
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628: 132人目の素数さん [sage] 2017/08/19(土) 22:28:51.70 ID:HQ7H9Ohy >>597 >>598 a,b,c が△の辺長の場合は Ravi変換で簡単でござるよ。 >>594 b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C, a+b+c=A+B+C. HM = 3abc/(ab+bc+ca) =(3/2)(A+B)(B+C)(C+A)/{(A+B+C)^2 +(AB+BC+CA)} ≧(4/3)(A+B+C)(AB+BC+CA)/{(4/3)(A+B+C)^2} =(AB+BC+CA)/(A+B+C) ≧(4√3)S/(a+b+c) =(2√3)r, したがって a,b,c>0 で成立するかがミソのようでござる… >>608 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/628
639: 132人目の素数さん [sage] 2017/08/20(日) 11:39:21.71 ID:XEX21MRP >>628 かたじけない。その証明が難しいので、もう少し時間を。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/639
652: 132人目の素数さん [sage] 2017/08/20(日) 18:47:22.79 ID:XEX21MRP >>628 ようやく理解。ところでRavi変換は (b+c-a)/2 = x、… なのでは? 基本対称式を使って、力任せに証明してみた。 a, b, c の基本対称式を s, t, u とおくと、 HM^2 - (2√3*r)^2 = 3{3s(st-u)^2 - 4u(s^2+t)^2}/{s(s^2+t)^2} 分子 = u(s^2t+3su-4t^2) + s^2(st^2-4s^2u+3tu) + 2s^2t(st-9u) ≧0 週末が始まったと思ったら、もう終わっていたでござる… ('A`) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/652
665: 132人目の素数さん [sage] 2017/08/20(日) 22:50:23.44 ID:mA3fdDEU >>609 〔Schur 不等式の拡張〕 P,Q,R≧0 かつ(P,Q,R)(a,b,c)が同順または逆順ならば P(a-b)(a-c)+ Q(b-c)(b-a)+ R(c-a)(c-b)≧ 0. (略証) bはa,cの中間にあるとしてよい。 (a-b)(b-c)≧ 0 題意より、P,Q,R≧0 かつ QはP,Rの中間にあるから、 P-Q+R ≧0 これらより、 P(a-b)(a-c)+ Q(b-c)(b-a)+ R(c-a)(c-b) = P(a-b)^2 +(P-Q+R)(a-b)(b-c)+ R(b-c)^2 ≧ 0, (終) いろいろな拡張があり、まとめて Vornicu−Schur 不等式と云うらしい。 詳しくは、ニコニコ大百科の「シューアの不等式」の項を参照 >>640 (1) >>449(1)と同じでつ。 (2)同次式ゆえ、定数でつ。 >>654 それなら、>>652 は >>628 と同じでつね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/665
668: 132人目の素数さん [sage] 2017/08/21(月) 09:09:30.43 ID:QiJqP8rB >>628 a,b,c が△の辺長でない場合も簡単でござるよ。 A+B=2c≧0,B+C=2a≧0,C+A=2b≧0, ∴ A,B,Cのうち負となるのは1つだけ。 ∴ HM^2 ≧ 0 ≧ 3ABC/(A+B+C), http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/668
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