[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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931(1): 2017/09/08(金)08:37 ID:iwl1FmH8(1/10) AAS
Cauchyより、
{a^(2b) + b^(2c) + c^(2a)}*{a^(2c) + b^(2a) + c^(2b)} ≧ {a^(b+c) + b^(c+a) + c^(a+b)}^2
そこで、
{a^(2a) + b^(2b) + c^(2c)}^2 ≧ {a^(2b) + b^(2c) + c^(2a)}*{a^(2c) + b^(2a) + c^(2b)} …(★)
が成り立てば解決と考えたけど、(★)が証明できない。
試しに b=c=1 を代入してみたらいけるので、成り立っているような感じだけど、ニンともカンとも…。
932(1): 2017/09/08(金)08:44 ID:iwl1FmH8(2/10) AAS
>>930
ベルヌーイの式はどうやって証明するのですか？
ベルヌーイの不等式
r≦0 or 1≦r のとき、(1+x)^r ≧ 1+rx
0≦ｒ≦1 のとき、(1+x)^r ≧ 1+rx
とは別物ですか？
935: 2017/09/08(金)14:38 ID:iwl1FmH8(3/10) AAS
>>928
> ≧ 2^{abc√(ab)} + 2^{abc√(bc)} + 2^{abc√(ca)}
≧ 2^{√(abc√(ab))} + 2^{√(abc√(bc))} + 2^{√(abc√(ca))}
の間違いだな。
937: 2017/09/08(金)14:40 ID:iwl1FmH8(4/10) AAS
>>934
むむむ…。すると >>930 の補題の 0<a,b≦1 のときが示されれば解決ですか。
938: 2017/09/08(金)14:48 ID:iwl1FmH8(5/10) AAS
>>936
ｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!
939: 2017/09/08(金)16:10 ID:iwl1FmH8(6/10) AAS
検索したら…
面白スレ六問目 208 (出題のみ解答なし)
a, b >0 のとき、(a^b+b^a)/(a^a+b^b) のとりうる範囲を求めよ。
940(1): 2017/09/08(金)16:24 ID:iwl1FmH8(7/10) AAS
>>930
> >>925
> 上は対数とってチェビシェフで。
私は (a-b)(log a - log b) ≧0 を巡回させて加えて整理しますた。
チェビシェフって、具体的にどうやるんですか？ きっと前スレも同じ方法。
> 正の数a,b,cに対して (a^b)(b^c)(c^a)≦(a^a)(b^b)(c^c) を示せ。
> 対数とってチェビシェフ
941(1): 2017/09/08(金)18:03 ID:iwl1FmH8(8/10) AAS
>>930
> 〔補題〕
> a,b>0 のとき a^a + b^b ≧ a^b + b^a,
この間からずっと探していて、先程手書きメモから発掘。そのメモによると、
a,b,c,d>0 かつ ab≧cd かつ b = min{a,b,c,d} のとき、a+b ≧ c+d ……(☆)
対称性から a≧b として、(a^a)(b^b) ≧ (a^b)(b^a) かつ a^a, a^b, b^a ≧ b^b で、(☆)を適用。
とだけ書きなぐってあった。例によって出典メモもなく、数学板の過去ログを検索してもヒットせず。
942: 2017/09/08(金)22:02 ID:iwl1FmH8(9/10) AAS
>>936と、第２章 466-467 より、
a, b >0 に対して、a^a + b^b ≧ a^b + b^a >1
第３章 109-111 より、
a, b, c >0 に対して、a^b + b^c + c^a >1
[疑問]
次式は成り立ちそうだけど、証明が分かりませぬ。
a^a + b^b + c^c ≧ a^b + b^c + c^a
943: 2017/09/08(金)23:40 ID:iwl1FmH8(10/10) AAS
>>940
もしかして、並べ替え不等式のことを言っているのかな？
同順序積の和 ≧ 乱順序積の和 ≧ 逆順序積の和
チェビシェフは、
同順序積の和の平均 ≧ 平均の積 ≧ Σ 乱順序積の和の平均
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