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Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74

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引用切替：ﾚｽｱﾝｶｰのみ

>>539
> >>531 補足
> 　>>518 より
> https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
> ペアノの公理
> 自然数の集合論的構成
> N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
> ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである
> https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
> 無限公理
> 定義
> 集合を構築する記法を用いた場合は
> ∃I(∅∈I∧∀x(x∈I⇒(x∪{x})∈I)).
> である
> (引用終り)
> 
> 補足するよ
> 下記の 順序数 での 無限集合部分を使う
> 名前を付ける
> S0=ω,
> S1=S(ω),
> S2= S(S(ω)),
> S3=S(S(S(ω))),
> 　・
> 　・
> Sn=S(Sn-1),
> ここで、Peano axioms en.wikipedia 訳で ”各自然数は、それより小さい自然数の集合と（集合として）等しくなります”
> に注目しよう。これは、無限順序数でも成り立つ
> いま、S3=S(S(S(ω)))＝{0,1,2,・・・,ω,S(ω),S(S(ω))} となる
> そこで、上記”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”において
> A=S3=S(S(S(ω)))＝{0,1,2,・・・,ω,S(ω),S(S(ω))} としよう
> すると ”∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”が Aにおける 無限集合の積と解釈できるとして（要証明事項）
> ∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}＝ω∩S(ω)∩S(S(ω)) と書ける
> ここで、ω∩S(ω)∩S(S(ω))＝ω は簡単に分ること
> 
> 同様のことが、任意nのSnで言えるだろう(数学的帰納法でも使えば)
> さて、問題は順序数 での 無限集合という素性の知れた集合だから簡単に言えることだが
> 
> 無限公理の主張に戻ると、無限公理は 有限の帰納的に生成される集合全てを含む なにか無限集合Iの存在を主張するものである
> 無限集合Iで分っていることは、”有限の帰納的に生成される集合全てを含む”だけ
> だから、素直に 無限集合Iから ”有限の帰納的に生成される集合全てを含む”を取り出す式を書けば良いだけと 単純に考えることができる
> 
> 集合積∩を使う問題点は、上記のように 無限集合Iの大きさと具体的な構成に依存して
> 式 ”∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”が変わってしまうこと
> （なお、無限集合Iは、順序数に限定されない）
> 
> 結論として、”ωが最小の無限集合で、全ての無限集合の共通部分”は分っていることだから
> いずれ 手間を掛ければ その結論には達するが
> 無限集合Iの大きさと その具体的な構成に依存する式を使うと
> 話が 大袈裟になるってことだ■
> 
> つづく

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