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純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21

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>>52 > 初期の集合論における内包公理からはラッセルのパラドックスとなる集合{x|¬x∈x}を構成可能。 > そのため公理的集合論では分出公理に置き換える。 > > 和集合の公理が必要な理由は、分出公理で和集合を構成できないため。 > [参考]内包公理による和集合の構成 > ∪X:={x|∃Y∈X:(x∈Y)} > > 対の公理、無限公理、べき集合の公理が必要な理由も同じ。 > > 尚、 > 標準的ZFでは分出公理を置換公理に置き換える。 > 空集合の公理が必要な理由は、置換公理で空集合を構成できないため。 > [参考]分出公理による空集合の構成 > Xを任意の集合とする。{}:={x∈X|x≠x} > > 置換公理で空集合を構成できない理由。 > 置換公理では既存の集合を定義域とする関数の像を集合と定めることで新たな集合を構成可能とする。 > 定義域の任意の元に対する関数値が必要なため、関数の像が空集合になることはない。よって置換公理で空集合を構成できない。
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