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純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21

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引用切替：ﾚｽｱﾝｶｰのみ

>>231
> >>223
> (引用開始)
> 「無限集合の存在を公理に持たない体系Ｓ」を考えて、
> その外側でＳを自然に内包する「無限集合の存在を公理に持つ体系Ｓ'」
> を考える。
> そうして体系Ｓの中では証明を導くことのできない「体系Ｓ内部での命題」を、
> 体系Ｓ’の中であれば無限集合の存在を利用して証明ができるとするとき、
> 果たしてそれは「Ｓ内部の命題」に対しての証明になっているといえるの
> だろうか？
> (引用終り)
> 
> それは、実に数学的かつ哲学的な意味で、面白い問いですね
> 
> ・最近 感心したのが 下記「フェルマーの最終定理はZFCの下で証明できるか？」池上大祐 数学セミナー 2025年3月号
> 　要するに、下記「ワイルズは、代数幾何学（特に楕円曲線と群スキーム（英語版））や数論（モジュラー形式やガロア表現、ヘッケ環、岩澤理論）の高度な道具立てを用いて証明を試みた」
> 　で、代数幾何学（特に楕円曲線と群スキーム（英語版））が、グロタンディークの数学で
> 　ZFCの外（グロタンディーク宇宙を使用）らしい
> 　物語風にいえば、一旦宇宙空間に出て そこを経由して 目的地に辿り着いたのです
> ・さらに振り返ると、n = 3：オイラーが、”複素数を用いる”アイデアを出し
> 　クンマーは、”複素数を用いる”＋理想数（現代数学のイデアル）を使った
> ・要するに、フェルマーの最終定理は整数の話だから、整数だけで証明できないの？
> 　どっこい、整数の中にとどまると、狭いし見通し悪い。だから、話を 整数の外に広げるのだ
> 　それが、オイラーであり クンマーの理想数であり、ワイルズさんの代数幾何学＝グロタンディーク宇宙
> 　かように、数学史的視点でみれば、数学の世界を広げて より高い立脚点から 問題にアプローチしてゆく
> 　そういう流れがあります
> ・戻ると、「体系Ｓ内部での命題」についても もう少し広い 高い立脚点から 解決を考える
> 　解決後、体系Ｓ内部だけで完結でないか？ それは後から考えることも可能でしょう
> ・なお、”無限”について これを導入することは、古代ギリシャからあったと思うが
> 　顕著な例は 射影幾何の無限遠点や、リーマン球面の無限点の導入。これで、議論の見通しがスッキリするのです
> 
> (参考)
> https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/9438.html
> 数学セミナー 　2025年3月号
> 集合論の雑学――無限についてのおはなし
> フェルマーの最終定理はZFCの下で証明できるか？／
> グロタンディーク宇宙と到達不可能基数
> 　　……池上大祐　60
> 
> https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86
> フェルマーの最終定理
> 個別研究の時代
> n = 3：オイラー
> 1770年に刊行した著書『代数学』（Vollständige Anleitung zur Algebra）ではその証明とは異なり（複素数を用いる）エレガントながら不完全な証明を公開した
> クンマーの理想数
> （後にリヒャルト・デーデキントがイデアルの理論として発展させる）
> 
> 近代的アプローチへ
> モジュラー予想（谷山-志村予想）
> 最終的解決
> ワイルズは、代数幾何学（特に楕円曲線と群スキーム（英語版））や数論（モジュラー形式やガロア表現、ヘッケ環、岩澤理論）の高度な道具立てを用いて証明を試みた

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