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純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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引用切替：ﾚｽｱﾝｶｰのみ

>>930
> >>920-921 補足
> 
> 補強しておくよ　；ｐ）
> 　>>563より
> https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
> ペアノの公理
> 自然数の全体を特徴づける公理
> 自然数の集合論的構成
> N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}*
> 0:=∅
> S(x):=x∪{x}
> 具体的な自然数は
> 1:=S(0)={0}={∅}
> 2:=S(1)={0,1}={∅,{∅}}
> 3:=S(2)={0,1,2}={∅,{∅},{∅,{∅}}}
> 4:=S(3)={0,1,2,3}={∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}}}
> のようになる。この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる**[7]。
> ( 注*)ここに ∩ を使っているが、下記 坪井明人 筑波大 は ∩は使わない
> 　**)この構成法のS(x):=x∪{x}で、S(x)はそれまでの自然数をすべて含み
> 　例えば4の濃度は4 など となり、綺麗な自然数構成になる（by スレ主）)
> 
> 対して
> https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf (>>563)
> 数理論理学II 坪井明人 筑波大
> P8
> 1.1.9 無限公理
> 無限公理：
> 集合 x に対して，x ∪ {x} を S(x) で表す．例えば，S(∅) = {∅}, S^2(∅) =S(S(∅)) = {∅, {∅}} である．
> S は，successor の頭文字で，次の元*)という意味を持たせている．
> ( 注*)しばしば後者 あるいは後者関数と呼ばれる（by スレ主）)
> 無限公理：
> ∃x(∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)).
> x は ∅（0 と思う）を含んでいて，y が x に属すれば，y の次の元 S(y) も x に
> 属している．そのような x が存在することを主張するのが無限公理である．
> 直観的には，自然数全体のような集合が存在することを意味する．
> 無限公理によって保証される集合は， ∅, S(∅), S^2(∅), S^3(∅), . . . をすべて元
> として含む集合である．しかし余分な元を含んでいるかも知れない．そこで自然数全体の集合 ω を
> {∅, S(∅), S^2(∅), S^3(∅), . . . }
> として定義したい．しかし「. . . 」の部分は直観的な説明としては容認できるが，
> 我々の立場では定義とは言い難い 1．そこで ω を条件
> ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x)
> を満たす最小の集合 x として定義したい：無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び，
> ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)}*
> とする．ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である．このようにす
> れば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん X の取り
> 方に依存しない）．
> ( 注*)ωは 最初の無限順序数を表し、ノイマン構成では ω＝Nである
> 　坪井明人は、∩を使わない。この方が 簡明に思える（by スレ主）)
> (引用終り)
> 
> 要するに 坪井明人 筑波大の方が、ja.wikipediaの ペアノの公理 自然数の集合論的構成の
> 記号 ∩ を使った人よりも ちょっと賢い気がする今日この頃だなｗ ；ｐ）

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